度量空间上的绝对连续函数

度量空间上的绝对连续函数度量空间上的绝对连续函数 胡昊宇 严再立 前言前言 在实变函数论中，闭区间上的绝对连续实函数无疑占据着十分重要的地位这一类函数有着连续、 几乎处处可微、 导函数勒贝格可积、 有界变差等重要性质，因而推广绝对连续函数的概念，并研究推广后的函数的性质是一项有意义的工作 Jakub Duda[5]给出了从闭区间到一般度量空间的绝对连续函数的概念，Jan Maly[3] 给出了从的开子集到的绝对连续函数的概念，Donatella Bongiorno[4] 给出了从的开子集 到的绝对连续函数的概念 本文上半部分是拟对一般的度量空间和，给出从到的绝对连续函数的概念，并证明了当，时，本概念与绝对连续的意义是不同的；而后引进绝对嵌入的概念，重点研究了它与绝对连续的关系下半部分是对紧度量空间，定义了绝对连续函数空间，并给出了一族范数，使其成为代数，最后还计算了它的谱 第一章 第一章 绝对连续函数和绝对嵌入 绝对连续函数和绝对嵌入 1.1 定义1.1 定义：绝对连续函数. 和为度量空间，固定，令， 是 一 个 映 射 ，是的 子 集 ，是 一 个 简 写 记 号 ， 为. 是绝对连续函数即，，，是 中两两不相交的开球，只要满足，就有. 注注： 1) Lipschitz 连续函数是绝对连续的. 2) 绝对连续函数是一致连续的. 1.21.2 在这一节中我们比较 Mal 的 －绝对连续和 1.1 中定义的绝对连续 I．I．定义[3，1]：为 －绝对连续，如果，，使得， ， ，以及，只要，及，， 那 么 就 有， 其 中。

II．II．可以举出例子说明当 是 －绝对连续时不一定绝对连续. 这表明这两个定义不是完全一样. 例 子例 子 ：是－ 绝 对 连 续 而 不 是 绝 对 连 续 . 定 义证明：先证明不是绝对连续的 . ，，满足，令， 取中 的 子 集， 满 足，其中表示球 的半径. 我们会有： 由绝对连续的定义知 不是绝对连续的. 再证明 是 －绝对连续的. 我们明显有这样的三个事实： 是中的一个开球半径为 ，如果仅与一个，()中交集不空，我们一定有，其中 是与内最大的开球，此时总有；如果开球，明显的有； 中任意一个开球 ，如果，仅与，中唯一的一个可能有非空的交集. ，， 使得， 取，， 若是个 互 不 相 交 的 开 球 ， 且 满 足， 那 么，.那么至多只与中的唯一的一个开球相交，这时：，当与中的某个开球相交时，有： ， 由前面的描述，， 所以当时，.将按是否与 或 中子集相交分成两个部分，因此我们有： 这就证明了 是 －绝对连续的.
1.31.3 从绝对连续， 我们定义绝对等价. 下面我们可以比较一下绝对等价，拓扑等价和度量等价的关系. 和为度量空间考虑下面三种定义： 1) 与 拓扑等价，若存在从 到 的既单又满的连续映射 ，使其逆映射也连续； 2) 与 绝对等价，若定义 1) 中的 及其逆映射绝对连续； 3) 与 度量等价，若存在从 到 的既单又满的连续映射 ，以及，满足，我们有： 。

I.I. 很明显，上述定义中，3)强于 2)，2)强于 1). 同时可以举出 1)，2)不等价和2)，3)不等价的例子. II.II. 1)，2) 不等价的例子：，， ，. 其中 ， 的度量是 的通常度量， 保证了 与 是拓扑等价的， 但 与 不是绝对等价的. 证明：首先 和都是连续函数，所以 与 是拓扑等价. 若对于任意的一个一一 映 射， 因 为， 而当. 所以 不是 与 绝对等价. 所以 与 不是绝对等价. III.III. 2)，3)不等价的例子：，， ， 的度量是作为 的子空间被 的通常度量赋予的的度量，，. 给出了 与 的绝对等价但 与 不是度量等价的. 证明：，，是中不相交的开集，只要，那么中至多只有一个点， 于是，因此 是绝对连续. 同样的方法可以证明也是绝对连续的，这就证明了 与 绝对等价. 下面说明 与 不是度量等价的. 如果现在存在一个映射使得这是一个度量等价， 这是一个一一对应，必然存在的子列使得. 因此. 由于当时，，所以不存在映射使得 与 度量等价. 1.41.4 在这节中我们将看到的实值绝对连续函数的一些性质. I． 命题． 命题： 取中的度量为： (中的子集的这种度量简称通常度量， 以后中子集不加声明均指这种度量). 绝对连续，则，，均绝对连续. 证明： 只需证明是绝对连续即可. 绝对连续，，，，是 中两两不相交的开球，， 就有， 取与线段的交，，又有，即有： 是绝对连续的.
II．．其逆命题不真，例子如下：. 证 明：， 是 一 个 常 数 函 数 . 显 然 是 绝 对 连 续 的 . ， 这 关 于也 明 显 是 一 个 绝 对 连 续 函 数 . 下 面 证 明不 是 绝 对 连 续 的 . 取个 不 相 交 的 球 为，，当时，这个圆都包含在中且互不相交. ， 于是. 同时注意到. 那么给定，，总可以找到充分大的 ，使得取球，，时，所以 不是绝对连续的. 1.51.5 两个绝对连续函数的复合不一定是绝对连续的，为此我们引入绝对嵌入. I．定义I．定义： 和 为度量空间，定义为绝对嵌入，如果对，，使得对任意的，对任意的，以及对任意的，只要及， 当， 那么就存在及， 满 足且，， . IIII．由定义可见，若 绝对嵌入则必为绝对连续. 是一个单射，这是因为如果，有. 那么，使得，但由绝对嵌入的定义，矛盾. IIIIII．命题 是度量空间，为绝对嵌入，是绝对连续(绝对嵌入)，那么是绝对连续(绝对嵌入). 证明：可由定义直接得到.
1.61.6 在这节中，我们描述从到 的绝对嵌入. I．命题I．命题 ， 绝对嵌入当且仅当 严格单调并且绝对连续. 证明： 是绝对嵌入，必然是一个单射，再由绝对嵌入的定义， 是一个绝对连续函数. 是道路连通的，由连续函数的界值性，的连续单射是严格单调的. 是严格单调的且是绝对连续的， 自然 是一个单射. 不妨设 是单增的 是绝对连续的，，满足，以及，,使得，注意到，是中的开球. 是单射，所以. 这正好满足绝对嵌入的定义. II．推论．推论 ， 单一并且连续可微，则 绝对嵌入. 证明：闭区间上连续可微的函数一定是绝对连续的，再由命题 1 即可. 1.71.7 在这节中我们讨论从 到的对角线映射是否绝对嵌入. 命题命题 为度量空间，乘积空间,,其中和分别定义: 则 为绝对嵌入。

证明：先证 为绝对嵌入 那么就 满足 至于 为绝对嵌入，其证明过程类似，只需取.
1.81.8 以下我们来看一下在取值的绝对嵌入的一些性质. I. 命 题I. 命 题 函 数是 单 一 的 连 续 可 微 函 数 ，有，则 是绝对嵌入. 证明：因为 是连续可微的，所以是一个大于 的定义域为的连续函数， 因此是可求长的曲线. 在中取两点，，分别在这两点作的两条法线，那么存在唯一的中的开球与相切于，. 由 导函数的一致连续性，不难得到，以及一个只和有关的常数，只要，就有且；，， 满足，， 就有. 取，，，是中不相交的开区间，满足，那么是中互不相交的开球，有，且. 因此 是绝对嵌入. II.II. 若在上面的命题中把去掉，则结果不一定成立. 例子例子：. 则是单一的连续可微，但不是绝对嵌入. 证明： 都是连续可微的，， ， 总存在， 使得，，且，. ，是的 子 集 ，当时. 因此，时，连续的改变超过了，从原点出发的任意一条射线与，都有交点. 那么在中包含，的开球都必须包含原点，即有. 这就和绝对嵌入的条件矛盾. IIIIII. 若 ， 均为的绝对嵌入函数，则，未必绝对嵌入。

反例如下：令. 证明：，即有，，显然都是绝对嵌入. 取个不相交的球为，，当时，这个圆都包含在中且互不相交. ， 于是. 同时注意到. 那么给定，，总可以找到充分大的 ，使得取球，，时，所以 不是绝对连续的. 第二章 第二章 紧度量空间上的绝对连续复函数紧度量空间上的绝对连续复函数 是紧度量空间，若,对任意 定义 记所有绝对连续复函数的全体为，所有连续复函数的全体为 很容易看出是绝对连续函数使 以下命题中的是从参考文献[6]的思路中得到的 命题命题 ，则有以下性质： ,当 若，则 证明 按定义显然成立 则按定义，对于存在满足， 当由知， ； 当时，对任意 不失一般性，可假设 有上述构造知 从而 ， 对任意 从而 从而 则按定义 满足对任意 从而 因此 从我们知道，当；一般来说，当 例子：例子： ，满足当. 证明：只要证明，即可.首先任取，显然有， 那么由的定义， 有. ，，使得. 另为圆形为以正方形的中心为圆心，半径为的开球， 明显有所以， 因此是两两互不相交的开球，且. 此时有： 综上所述. 证毕. 在本节中我们证明是的稠密子代数，对其证明我们须要 定理[2] ：若 是的包含所有常数且分离 内的点的子环，则 在中稠。

命题 命题 是紧度量空间, 则是的稠密子代数 证明:是的子代数 ,由其定义易知 ，再由的知 ，显然，，从而由 定理知是的稠密子代数 在这节中，我们证明对于所有，在之下是代数 定理定理 为代数 证明 显然成立，当取到等号时有 由的知 从而 也即 由于 从而 由的知 现在说明的完备性 设为的柯西列，则由定义知 为的柯西列，从而存在满足 下证 由为的柯西列知 对于，及上述，按照定义存在，满足对任意 也即 取,则由定义知, 对任意 由于当时，，从而有 对，又因一致收敛于 ，从而有 进而 即，再者 类似上面证明过程，，对任意 从而 由 的任意性知 因此 也即 上述证明说明了是代数 在上定义映射,容易验证映射 是上的对合，并且 ,从而在范数 和映射 下是代数 我们知道一个代数的范数是由它的代数结构唯一地决定的，就是说若和 是代数并是同构，则 一定是保范的 但这性质代数则不一定成立， 由和我们找到非可数个不相同的，使得是拓扑同构和同构但不是保范的 最后我们来计算的谱 Ⅰ Ⅰ 定义：设 是具有单位元的交换代数，称为同态，若满足： 令，则由知，赋予弱星拓扑并称为 的谱(见)。

ⅡⅡ 若 是复数域上具有单位元的交换代数，则它的谱是紧豪斯道夫空间若是 的一个极大理想，则存在一个同态满足 反过来若是一个非零同态，则是一个极大理想并且相关映射是一一的 （见） 众所周知，的谱同胚于 ⅢⅢ 下面我们要证明的是 为此，先给出一个引理： 引理引理 设是的一个极大理想， 则是 ； 反过来，若 是的极大理想，则唯一存在的一个极大理想满足 证明 由于是的子代数， 从而若是的一个真理想， 则是的真理想； 若 是的极大理想，则 作为的子代数，考虑由 生成的理想 ，下证不然存在 满足 由于是的稠子代数，从而对每一 存在,满足 从而 由此知，存在，从而，因此从知 ，从而，矛盾由此可知，再由的极大性知 由于的极大理想皆可表示为如下形式,从而若为中不同的极大理想， 则显然 并且若是的一个极大理想， 则是的极大理想 ⅣⅣ 的所有极大理想的集合记为 ，的所有极大理想的集合记为， 则由引理知映射是既单又满的 定理定理 证明 考虑映射，其中，从而由此知交换，因此映射 既单又满 下证 连续，由于当且仅当 ， 从而 也即 即 连续这说明 是从紧空间到豪斯道夫空间的既单又满的连续映射，从而 是同胚。

因此 第三章 有待解决问题第三章 有待解决问题 以下是一些绝对连续函数的有待解决的问题 1 描述所有的绝对嵌入函数. 2 描述所有的绝对连续函数. 3 为 －绝对连续，问当 绝对连续时是否一定 －绝对连续. 4 设，的映射， 令, , 。