一、选择题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得 0 分）b= 20， =10，则的值为（）．c112111021011（C）211121a+1b===解： D由题设得．c111b1012，则 a 的取值范围是 （）．2-2（C）a≤121D＝(-a) - 4´1´( a + 2)2≥0,解得 a≤22 33．如图，在四边形ABCD 中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=，BC=2 64 66，CF＝6．= (4 + 6) + ( 6) = (2 + 24)AD222 ＝4．在一列数……中，已知，且当 k≥2 时，-çêú ê123144kè ëû ë （取整符号 a 表示不超过实数 的最大整数，例如），则等于（）．a= 1=和 x x-可得êú ê44kk-1è ëû ëx =1， = 2 ， = 3， = 4 ，1x =1 x， = 2 ， = 3， = 4 ，xx5678……因为 2010=4×502+2，所以 x =2．5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为 A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y 轴上一点 P（0，2）绕点 A 旋转 180°得点 P ，点 P 绕点 B 旋转 180°得点 P ，112点 P 绕点 C 旋转 180°得点 P ，点 P 绕点 D 旋转 180°得点 P ，……，重复操作依次得到点 P ，P ，…，233412）．-2）解：B 由已知可以得到，点P ， P 的坐标分别为（2，0），（2，12P（a ，b )记，其中22222根据对称关系，依次可以求得：P (-4 - a ，－2－b ) ， P (2 + a ，4 + b ) ， P (-a ，- 2 - b ) ， P (4 + a ，b )．322422522622P4 + a ,bP 4´ 2 + a ,b），即 （ ），令 P6626222由于 2010=4´ 502+2，所以点 P 的坐标为（2010，5．32223232227．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了 10 分钟，小轿车追上了货车；又过了 5 分钟，小轿 车追上了客车；再过 t 分钟，货车追上了客车，则 t＝解：15．设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S 千米，小轿车、货车、客车的速度分别为a，b，c（千米/分），并设货车经 x 分钟追上客车，由题意得( )，，③由①②，得30（b - c）= S故t = 30 -10 -5 =15（分）．8．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，多边形 OABCDE 的顶点坐标分别是 O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线 l 经过点 M（2，3），且将多边形 OABCDE 分割成面积相等的．3 3由已知得点 M（2，3）是 OB，AF 的中点，即点 M 为矩形 ABFO 的中心，所以直线 把矩形 ABFO 分l设直线l 的函数表达式为 yï,故所求直线l 的函数表达式为 yïïî9．如图，射线 AM，BN 都垂直于线段 AB，点 E 为 AM 上一点，过点 A 作 BE 的垂线 AC 分别交 BE，BN=． 解：2见题图，设 FC．．nn= n(n + m)，又因为 FC＝DC＝AB，所以 m2即mmn5 -1==解得，或（舍去）．m2m2AEAD∽Rt△CFB，所以， 即=．AFE==2210．对于 i=2，3，…，k，正整数 n 除以 i 所得的余数为 i－1．若n 的最小值 满足，n00则正整数 的最小值为k．因为0[]n +1= 2，3， ，k ，0[] []由于[][]，k9的正整数 的最小值为 ．011．如图，△ABC 为等腰三角形，AP 是底边 BC 上的高，点 D 是线段 PC 上的一点，BE 和 CF 分别 ÐAEF = ÐABC = ÐACB = ÐAFD，所以，△ABC∽△AEF.作 AH⊥EF，垂足为 H，则 AH=PD. 由△ABC∽△AEF 可得==从而所以tan ÐPAD =.k>12．如图，抛物线2x在第三象限内，且△AOB 的面积为 3（O 为坐标原点）.（1）求实数 a，b，k 的值；k上，.x4t < 0，AB 所在直线的函数表达式为tì4ï，n =.í4ttïæ4(t +1)ö，故÷tèø( )1-t = 3，整理得2t2 + 3t - 2 = 0，S2t1-2，2y = ax + bx>因为点 A，B 都在抛物线2所以…（10 分） （2）如图，因为 AC∥x 轴，所以 C（-4，4），CO22= 2.于是 CO＝4. 又 BO=2，所以BO= ax + bx设抛物线 y（a> 0）与 x 轴负半轴相交于点 D，2则点 D 的坐标为（-3，0）.因为∠COD＝∠BOD＝45°，所以∠COB=90°.（第 12 题）（i）将△BOA绕点 O 顺时针旋转90°，得到△B¢OA.这时，点 ( ，2)是 CO 的中点，点 的坐B¢ -2A11-1标为（4， ）.2OAE-2）是符合条件的点.延长OA 到点 E ，使得OE =，这时点 （8，11111¢-4（ii）作 △ BOA关于 x 轴的对称图形△ B OA ，得到点 A （1， ）；延长OA 到点 E ，使得OE ＝222222OA-8）是符合条件的点．，这时点 E （2，２2所以，点 E 的坐标是（8，-2），或（2，-8）.…………（20 分）2 p + p + 8 = m - 2m13．求满足的所有素数 p 和正整数 m.22解：由题设得 p(2 p +1) = (m - 4)(m + 2)，(m- 4)(m+ 2)，由于 p 是素数，故 p (m - 4)p (m + 2)，或 . ……（5 分）所以 p(m - 4)m - 4 = kp ，k 是正整数，于是m + 2 > kp，（1）若 p，令3p > p(2 p +1) = (m - 4)(m + 2) > k p222 ，故 k2 < 3，从而k =1.ìm -4 = p，ì p = 5，所以í解得 í…………（10 分）îm + 2 = 2p +1， îm = 9.(m + 2) m + 2 = kp，k 是正整数.（2）若 p，令当 p> 5时，有m - 4 = kp - 6 > kp - p = p(k -1)，3p > p(2 p +1) = (m - 4)(m + 2) > k(k -1)p22 ，故 k(k -1)< 3，从而k =1，或 2.由于 p(2 p +1) = (m - 4)(m + 2) 是奇数，所以k ¹ 2，从而k =1. ìm -4 = 2p +1，于是íîm + 2 = p，这不可能.= 5m - 2m = 63 m = 9p = 3 m - 2m = 29p = 2时，当 p时，2，；当，2，无正整数解；当m2 -2m =18，无正整数解.综上所述，所求素数 p=5，正整数 m=9.…………（20 分）14．从 1，2，…，2010 这 2010 个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被 33 整除？11+33 11+ 2´33 ，…，11+ 60´33， （即 1991）满足题设条件.（5解：首先，如下 61 个数：11，分）< a < < a另一方面，设a是从 1，2，…，2010 中取出的满足题设条件的数，对于这n 个数中的12n任意 4 个数 a，a ，a ，a，因为ijkm33 (a + a + a )a a a ，33 ( + + )，ikmjkm所以33 (a - a ).ji因此，所取的数中任意两数之差都是 33 的倍数.…………（10 分）= a + 33d设 a，i=1，2，3，…，n.i1i33 (a + a + a )33 (3a +33d +33d )由，得，12312333 3a 11 aa所以，，即 ≥11.…………（15 分）111a - a2010 -11d =n< 61，≤n13333故 ≤60. 所以，n≤61.dn综上所述，n 的最大值为 61.…………（20 分）ìm -4 = 2p +1，于是íîm + 2 = p，这不可能.= 5m - 2m = 63 m = 9p = 3 m - 2m = 29p = 2时，当 p时，2，；当，2，无正整数解；当m2 -2m =18，无正整数解.综上所述，所求素数 p=5，正整数 m=9.…………（20 分）14．从 1，2，…，2010 这 2010 个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被 33 整除？11+33 11+ 2´33 ，…，11+ 60´33， （即 1991）满足题设条件.（5解：首先，如下 61 个数：11，分）< a < < a另一方面，设a是从 1，2，…，2010 中取出的满足题设条件的数，对于这n 个数中的12n任意 4 个数 a，a ，a ，a，因为ijkm33 (a + a + a )a 。