5抛物线(二次函数)中的三角形面积

抛物线中的三角形面积基本题型：为 与抛物线 相交，点 在抛物线上AB0kdxy:l 02acbxyP（1）已知 ，求点 的坐标：ABPS利用斜弦长公式求出 ，进而求出 边上的高 设点 为 ，ABABhcbta,t2利用点到直线的距离公式列出点 到直线 的距离 ，而 ，则可求得点PlPdABlPh的坐标P（2）如图，若点 在 上方的抛物线上时，求 的最大值：ABABPS利用斜弦长公式求出 作 ∥ 且与抛物线相切，则切点为所求/lAB设 为 代入抛物线 ，因为它们只有一个交点/l/dkxy02acbxy所以有： ，则可求出 ，利用平行线之间的距离公式求出042// cab/d与 的距离（即 边上的高 ） ，进而可求得 的最大值/lABABhABPS10987654321-1-2-3-4-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10ABP所需知识点：（1）点到直线的距离公式：已知点 与直线 ，点 P 到直线 的距离记作 ，则有0y,xP0kbxy:l llPd120kbyxdlP（2）弦长公式抛物线与 轴两交点之间的距离：若抛物线 与 轴两交点x 02acbxyx为 ，由于 、 是方程 的两个根，故021，，， BA12x02cxaacxbx12, acbacbxx  442221212121（3）斜弦长公式：一次函数 的图像 与二次函数 的图像 两个0knxyl 02cbxyG交点 ， 由于 、 是方程 的两个根，21BA，1x2 )n()k(acakb/ 42。

akxxk xknkxxy/221212 21221124 （4）两平行线之间的距离公式：已知两平行线 ，与 ， 与 之间的距11bkxy:l21220b,k,bxy:l 1l2离记作 ，则有 d2典型例题：例一（深圳）：如图 9，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象)0(2acbxy的顶点为 D 点，与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于 A、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0） ，OB＝OC ，tan∠ACO＝ ．31（1）求这个二次函数的表达式．（2）经过 C、D 两点的直线，与 x 轴交于点 E，在该抛物线上是否存在这样的点 F，使以点 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图 10，若点 G（2， y）是该抛物线上一点，点 P 是直线 AG 下方的抛物线上一动点，当点 P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时 P 点的坐标和△ APG的最大面积.图 9yxOEDCBAGA BCDO xy图 10例二（深圳）：已知， 的斜边长为 5，斜边上的高为 2，将这个直角三角形放置RtABC在平面直接坐标系中，使其斜边 AB 与 轴重合（其中 ） ，直角顶点 C 落在 轴xOABy正半轴上（如图 11） 。

1）求线段 OA、OB 的长和过点 A、B 、C 的抛物线的解析式 （4 分）（2）如图 12,点 D 的坐标为（ 2，0） ，点 是该抛物线上的一个动点（其中,Pmn） ，连接 DP 交 BC 于点 E0,mn①当 是等腰三角形时，直接写出此时点 E 的坐标 （3 分）BE②又连接 CD、CP（如图 13） ， 是否有最大面积？若有，求出 的最大面积和CCDP此时点 P 的坐标；若没有，请说明理由 （3 分）图 11 图 12 图 13例三：已知抛物线 y＝－x 2＋mx－m＋2. （1）若抛物线与 x 轴的两个交点 A、B 分别在原点的两侧，并且 AB＝ ，试求 m 的值；5（2）设 C 为抛物线与 y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点 M、 N，并且 △MNC 的面积等于 27，试求 m 的值.NMCxyO例四（09 茂名模拟）：如图，矩形 OABC 的长 OA= ，AB=1，将△AOC 沿 AC 翻折得3△APC1）填空：∠PCB=＿＿＿度，P 点坐标为＿＿＿＿＿（2）若 P、A 两点在抛物线 上，求抛物线的解析式，并判断点 Ccbxy234是否在这抛物线上。

3）在（2）中的抛物线 CP 段上（不含 C、P 点）是否存在一点 M，使得四边形MCAP 的面积最大？若存在，求这个最大值和 M 点坐标，若不存在，说明理由同步训练：1． （2010 河南省 11 分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A )0,4(， B ),(， C)0,2(三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m，△ AMB 的面积为 S．求S 关于 m 的函数关系式，并求出 S 的最大值．（3）若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 xy上的动点，判断有几个位置能够使得点 P、 Q、 B、 O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点 Q 的坐标．O ABCPDyxA O F B xyC E1xMCBA O xy2、如图，抛物线 2(0)yxbc≤ 的图象与 x轴交于 A， 两点，与 轴交于点 C，其中点 A的坐标为 (0)， ；直线 1与抛物线交于点 E，与 轴交于点 F，且456FEoo≤ ∠ ≤．（1）用 b表示点 的坐标；（2）求实数 的取值范围；（3）请问 BC△ 的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值；若没有，请说明理由．3、 （09 安徽芜湖）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为 ，(10)A，， ，将此三角板绕原点 顺时针旋转 ，得到 ．(0)B， ()O， O90°BO△（1）如图，一抛物线经过点 ，求该抛物线解析式；AB、 、（2）设点 是在第一象限内抛物线上一动点，求使四边形 的面积达到最大时点PP的坐标及面积的最大值．3211 2ABAO第 24 题图Bxy4、 （甘肃定西）如图 14（1） ，抛物线 2yxk与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C（0， 3） ． ［图 14（2） 、图 14（3）为解答备用图］（1） k　　　　　，点 A 的坐标为 　　　　　　，点 B 的坐标为 　　　　　；（2）设抛物线 yxk的顶点为 M，求四边形 ABMC 的面积；（3）在 x 轴下方的抛物线上是否存在一点 D，使四边形 ABDC 的面积最大？若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在抛物线 2yxk上求点 Q，使△BCQ 是以 BC 为直角边的直角三角形．5、 （09 肇庆）已知一元二次方程 的一根为 2． 2 10xpq（1）求 关于 的关系式； qp（2）求证：抛物线 与 轴有两个交点； 2y（3）设抛物线 的顶点为 M，且与 x 轴相交于 A（ ，0） 、B（ ，0）xq 1x2x图 14（1）　　　　　　图 14（2）　　　　　　　　图 14（3）两点，求使△AMB 面积最小时的抛物线的解析式． 6、 （山东临沂市）如图，抛物线经过 三点．(40)1(02)ABC， ， ， ， ，（1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过 P 作 轴，垂足为 M，是否存在 P 点，使得以xA，P ，M 为顶点的三角形与 相似？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不OC△存在，请说明理由；（3）在直线 AC 上方的抛物线上有一点 D，使得 的面积最大，求出点 D 的坐CA△标．7、如图，在平面直角坐标系中，点 AC、 的坐标分别为 (10)3)， 、 ， ， 点 B在 x轴上．已知某二次函数的图象经过 、 B、 三点，且它的对称轴为直线 1， 点 P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点 P与 、 不重合） ，过点 作 y轴的平行线交 于点 F．（1）求该二次函数的解析式；（2）若设点 P的横坐标为 m， 用含 的代数式表示线段 F的长．（3）求 △ 面积的最大值，并求此时点 的坐标．O xyABC412xyBFOAC Px=1（第 25 题）。