第三章 置换群置换群的理论体系虽然很庞大，但其结果却 简 单明了，从应用的角度来考虑，本章将主要介绍 置 换群的有关结论. §3.1 置换群 的共轭类 1. 置换的循环与对换分解在§1.2节我们曾介绍过置换的概念, n个符号 的任意置换记为：DateDate1 1数学与计算科学学院数学与计算科学学院其中 是1－n中的某一数字.(1)式所示的置换可以用一个更简洁的方式来 表示，这就是用若干个没有公共数字的独立循环 之 积来表示，如其中(5)称为单循环，它代表5变为5. 即5不变. (1 4) 为二循环，它代表1变为4，而4又变为1. (2 3 6) 为 三循环，代表2变为3，3变为6，6又变为2. 一般用记号DateDate2 2数学与计算科学学院数学与计算科学学院代表一个k循环，并称k为循环的长度，两个数字 的 循环(即循环长度k=2)又称为对换. 显然，两没有 公共数字的独立循环之间是相互对易的，如而同一循环中的数字可作轮换而不改变该循环的 结果，如 单循环往往省去不写，如(2)式可写成DateDate3 3数学与计算科学学院数学与计算科学学院任一循环可以分解为若干个含有相同数字对换之 积，如而一般情况下可以证明： DateDate4 4数学与计算科学学院数学与计算科学学院当两个对换含有相同数字时，这两个对换是不可对 易 的，如由此可见，一个置换可分解为若干个没有相同数字 的 独立循环之积，而一个循环又可分解为若干个含有 相 同数字的对换之积. 因此，一个置换可分解为若干个 含有相同数字的对换之积. 由于一个循环分解为对换 乘积的形式不是唯一的，如(3)式示, 所以一个置换 可 分解为对换之积的形式不是唯一的. 一个置换若能分 解 为奇数个对换之积，则称为奇置换. 反之, 一个置换 若 能分解为偶数个对换之积，则称为偶置换. 一个置换 可 分解为对换乘积的形式虽然不是唯一的，但其奇偶 性DateDate5 5数学与计算科学学院数学与计算科学学院却是唯一的. 因为任一置换可分解为形式一定的 循 环乘积，而每一循环长度k的奇偶性一定，若循 环 长度k为偶数，则该循环可分解为奇数个对换之 积, 如 . 反之，若长度k为 奇数，则该循环可分解为偶数个对换之积，如. 任一置换 和它的逆 具 有相同的奇偶性. 如 显然两个偶(奇)置换之积为偶置换，一个奇置换 与 一个偶置换之积为奇置换.记所有偶置换的全体为 ，则 的数目正 好DateDate6 6数学与计算科学学院数学与计算科学学院等于个 . 并且由于偶×偶=偶满足封闭, 单位元(恒等置换—零个对换) ，另 ，故 构成 的一个子群，且是一个不变子群. 因为对 于任意的 ， 有显然商群 是二阶群, 它有两个一维表示 与 , 而任何一商群的表示也一定是其大 群 的表示，所以 群一定有两个不等价的一维表示 , 其中一个是 ，即 中的所有置换都对应于单 位元1，此为恒等表示. 另一个一维表示是 , 在该表示中所有偶置换都对应于1，而所有奇置 换DateDate7 7数学与计算科学学院数学与计算科学学院都对应于－1. 2. 的共轭类现在我们来讨论一下置换群的共轭元素和类.设有两个置换 与 ，它们都是 的群元素 ， 其中则 的共轭元素为：DateDate8 8数学与计算科学学院数学与计算科学学院这一结果表明，欲求置换 的共轭置换 ， 只需对置换 中的上下两行数字同时施行置换 ,例如对 的上下两行数字同时施行置换 得：若将置换分解为独立循环之积的形式，上述 求 共轭元素的规则又可表述为：欲求置换 的共 轭 置换 , 先将 与 写成独立的循环之积的 形DateDate9 9数学与计算科学学院数学与计算科学学院式，然后对 的每个循环因子中的数字分别施行 置换. 如在上例中，我们有对 中的每个数字分别施行置换 得：与前面所得结果相同.由上面的讨论可见， 与它的共轭元素 有 相同的循环结构. 反之，有相同的循环结构的元 素DateDate1010数学与计算科学学院数学与计算科学学院一定是相互共轭的，而群中所有相互共轭的元素 组 成一个共轭类，为了确定 群中共轭类的数目, 人 们引入了配分的概念:约定按循环长度递减来排列独立循环之积的 次 序，而包括在n次循环中的循环总长度等于n，这 样n可分解为一些不增加的整数之和，称为n的一 个配分, 且每一个n次置换都对应于一个n的配分 ， 如置换其配分为：6=3+2+1 或简记为[3 2 1]. 由于相互共轭的元素具有相同 的DateDate1111数学与计算科学学院数学与计算科学学院循环结构，所以互为共轭元素的配分是相同的. 也 就是说 的一个共轭类中的所有元素对应于n的 同 一个配分，所以置换群 的共轭类数目等于n的 不 同的配分数.例1: 有两个类配分 [1 1]=[ ] , 有一个元素: (1)(2)= .配分 [2], 有一个元素: (1 2).有三个类配分 [1 1 1]=[ ], 有一个元素: (1)(2)(3)= .配分 [2 1], 有三个元素: (1 2)、(1 3)、(2 3).配分 [3], 有两个元素: (1 2 3)、(1 3 2).DateDate1212数学与计算科学学院数学与计算科学学院有五个类配分 [1 1 1 1]=[ ], 有一个元素: (1)(2)(3)(4)= .配分 [2 1 1]=[2 ], 有六个元素: (1 2)、(1 3) 、 (1 4)、(2 3)、(2 4)、(3 4).配分 [2 2]=[ ], 有三个元素: (1 2)(3 4)、 (1 3)(2 4)、(1 4)(2 3).配分 [3 1]，有八个元素: (1 2 3)、(1 3 2)、 (1 2 4)、(1 4 2)、(1 3 4)、(1 4 3)、(2 3 4)、(2 4 3).配分[4]，有6个元素：(1 2 3 4)、(1 2 4 3)、 (1 3 2 4)、(1 3 4 2)、(1 4 2 3)、(1 4 3 2). 由§1.3节的讨论知， 与 群同构，所以 也 有两个一维与一个二维不可约表示.DateDate1313数学与计算科学学院数学与计算科学学院有不变子群其商群为：其中DateDate1414数学与计算科学学院数学与计算科学学院显然 与 群同构，因此， 群的三个不可 约 表示还是 的表示. 由于 有5个类(=5个不可 约表示)，它的阶数为4！=24. 所以由§2.6节(6) 式知，各不可约表示维数的平方和满足关系亦即所以故： DateDate1515数学与计算科学学院数学与计算科学学院所以 的5个不可约表示分别为：两个一维表示 、 一个二维表示及两个三维表示. DateDate1616数学与计算科学学院数学与计算科学学院§3.2 杨图与杨盘由上节的讨论可以看出， 群的类是和n的 配 分联系在一起的，n的各种配分可以形象地用杨 图 表示出来. 1. 杨图设n的某种配分为 ，其中 , 且 ，该配分是由n个格子组成的方格图， 其 中第一行为 个格子，第二行为 个格子等等. 如图所示. 上面一行的方格数大于等于下面一行 的 方格数，左侧一列的格子数大于等于右侧一列的 格 子数合起来总共有n个方格. 此方格图即称为n次 杨 图.DateDate1717数学与计算科学学院数学与计算科学学院例1: 群的杨图由两个格子组成，各配分 的 杨图为:DateDate1818数学与计算科学学院数学与计算科学学院群的杨图由三个格子组成，各配分的杨图 为:群的杨图由四个格子组成，各配分的杨图 为: DateDate1919数学与计算科学学院数学与计算科学学院显然杨图数=配分数=共轭类数=不等价不可 约表示数. 假设在n的配分中，单循环有 个，2循环有 个， n循环有 个等等，则对于 中一个确定的类，n的配分 是一定的，所以可以用数组 来标 记的共轭类，这种标记方法的好处之一是可以 用 数组 方便地求出各类中所包含的元素数，其 结 果是DateDate2020数学与计算科学学院数学与计算科学学院证: 设 中某置换的循环结构为在括号中点子的总数为n个，现在有n个不同的数 字放入上述括号中的点子处，若不考虑其它限制 条 件，总共有种 放法. 但 中有许多是属于相 同 的置换，一是各独立循环的对易不给出新置换， 所 以 个i循环中有 种置换是属于同一种置换， 因 此 中必须除去 ，再就是各循环中数 字的轮换不给出新置换，如(123)=(231)=(312). 所 以一个i循环中将重复置换i次， 个i循环要重复 置DateDate2121数学与计算科学学院数学与计算科学学院换 次，所以 中必须除去 ，因此得 结 果(1)式.例2: 对于群 ，在类 中，故 , 故按(1)式，在类 中包含的元素数为在类 中， 则 , 故DateDate2222数学与计算科学学院数学与计算科学学院在类 中， ，则 故在类 中， ，则 故在类 中， ，则 故DateDate2323数学与计算科学学院数学与计算科学学院这些结果与§3.1节例1的结果是一致的. 2. 杨盘置换群的不可约表示的个数与杨图的个数联 系 起来(二者相等)，再引入杨盘的概念，就可以确 定 出各不可约表示的维数.在 的杨图 上，将n个数字无重复地填满 n 个格子，并且每一行自左向右是按增加顺序排列 的，而每一列由上往下，数字也是增加的，由此 得 到的填了数字的杨图，称之为杨盘(或杨表).例3: , n=1, 2, 3, 4 时的杨盘如下图 示DateDate2424数学与计算科学学院数学与计算科学学院杨盘DateDate2525数学与计算科学学院数学与计算科学学院定理： 群中不可约表示 的维数 等 于 杨图 上杨盘的个数.例4: 对于 群杨图 , 杨盘1个, . 杨图 , 杨盘2个, . 杨图 ，杨盘1个， . 故在 群的三个不可约表示中，两个是一 维 的，另一个是二维的，这与§3.1节例1得到的结 论是一致的. 对于 群杨图 ，杨盘1个， .DateDate262。