单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第五节 标准形,一二次型的标准形,二化二次型为标准形的方法,1,一二次型的标准形,只含平方项的二次型，称为,标准,形.,如,标准,形,的矩阵是一个对角阵，且主对角,定义：,说明:,元素是其平方项的系数2,数域,P,上任意一个二次型都可以经过,可逆线性替换化成标准形.,数域,P,上任意一个对称矩阵都合同于一,个对角阵,定理：,推论：,问题：,由定理可知，将一个二次型化为标准,形，关键是要找到可逆替换，如何找,?,如果对称矩阵,A,合同于一个对角阵，则,称这个对角阵是,A,的合同标准形,定义：,3,二化二次型为标准形的方法,二次型 含有变量的平方项,例1 用配方法化二次型,为标准形，并求出可逆线性替换,(P193-例6.5.1),1配方法,4,解：,用配方法把变量,x,1,x,2,x,3,逐个配成完全平方,的形式：,5,则有,所,作的可逆替换是,6,例2 用配方法化二次型,为标准形，并求出可逆替换,(P194-例6.5.2),解：,为了能够配方,首先要变成有平方项.为此令,二次型不含变量的平方项,则,7,(按例1的方法),8,则,为了写出所作可逆替换,先从式解出,把,式带入式得所作可逆替换:,9,设,设存在,初等矩阵,P,1,P,2,P,t,使得,则,2初等变换法,经过可逆替换,X=CY,化成标准形,Y,T,DY,其中,D,是对角阵.则,初等矩阵有三种类型,P,(,j,i,(,k,),P,(,i,j,),P,(,i,(,c,),10,因此,即,它们的转置矩阵分别为,像这种初等行、列变换类型相同，称为,成对初等行、列变换,。
11,对于,即,同样地，对于,即,12,设,对,A,作成对的初等行列变换,对,E,只作初等列变换,其中,D,是对角阵，即当,A,变成对角阵时,E,就变成了可逆矩阵,C.,且,C,T,A,C=D,由以上讨论，我们得到求二次型标准形的另一种方法：,13,例3 用初等变换法化二次型,(P196-例6.5.3),为标准形，并求出可逆替换,解：,的矩阵为,14,15,16,17,18,则可逆替换为,得,19,化成标准形,则,(1),同一个二次型其标准形不唯一.,(2),不同标准形中系数不为0的平方项的个数相同设二次型,X,T,AX,经过非退化线性替换,X=CY,比较例2和例3的结果可看出：,因为同一个二次型,用不同的线性替换,可,以得到不同的标准形.,20,系数不为0的平方项的个数,r,等于它的矩阵 A,因此,R,(,A,)=,r,.这表明二次型,X,T,AX,的标准形中,的秩（即二次型的秩），因而是唯一的21,问题:,由例2和例3的结果可看出，同一个二次型,的标准形中系数不为0的平方项的个数相同，且,系数为正的平方项的个数也相同.前者对于任意,数域P上的二次型都成立，后者是否也成立？,我们将证明后者对于实数域上的二次型是,成立的。
22,第六节 唯一性,一.实规范形,n,元实二次型,X,T,AX,经过一个,适当的,可逆线性替换,X=CY,可以化成下述形式的标准形,d,1,y,1,2,+,d,2,y,2,2,+,d,p,y,p,2,d,p,+1,y,p,+1,2,-,d,r,y,r,2,（1）,其中,d,i,0(,i,=1,2,r,);且,r,是这个二次型的秩，因为正实数总可以开平方，所以可以再作一个可逆线性替换：,23,则二次型（1）可以变成,如下形式的标准形,z,1,2,+,z,2,2,+,z,p,2,-,z,p,+1,2,-z,p,+,q,2,称为,X,T,AX,的,实规范形,.,实规范型的特征：,只含平方项，且平方项的系数为1、-1,或0；系数为1的平方项都写在前面24,例1 用初等变换法化二次型,(P196-例6.5.3),为规范形，并求出可逆替换,解：,用初等变换法经可逆替换,25,得标准形,得规范形,再作线性替换,问题：,实二次型的规范形是不是唯一呢？,26,二.唯一性的几个结论,惯性定理:,实二次型的规范形是唯一的.,定义:,实二次型,X,T,AX,的规范形中,正平方项的个数,p,称为,X,T,AX,的,正惯性指数,负平方项的个数,r,-,p,称为,负惯性指数,正、负惯性指数之差 2,p,-,r,称为,X,T,AX,的,符号差,.,任意实规范形中系数不为0的平方项的个数等于二次型的秩，故,实二次型的规范形被它的秩和正惯性指数决定。
注：,27,实二次型,X,T,AX,的任一标准形中，系数为正的平方项个数是唯一确定的,且等于,X,T,AX,的正惯性指数.系数为负的平方项个数也唯一确定且等于,X,T,AX,的负惯性指数,推论1,所以，,n,阶实对称矩阵,A,的合同标准形中，主对角元素为正(负)数的个数等于,A,的正(,负),惯性指数28,任意一个实对称矩阵,A,都,合同于一个主对角元只有1,-1,0的对角阵.其中1,-1的个数共有,R,(,A,),个，1的个数等于,X,T,AX,的正惯性指数,-1的个数等于,X,T,AX,的负惯性指数.这个对角阵成为,A,的,合同规范形,;,1和-1的个数分别称为,A,的,正惯性指数,和,负惯性指数,.,推论2,两个,n,阶实对称矩阵合同的充要条件是它们的秩和正惯性指数相同.,推论3,29,作 业,P213,12,17(1)(3),30,。