第五章 桩基础的计算与分析,5.1 概述（略）5.2 竖直荷载下桩基础的受力分析 5.2.1 竖向荷载下单桩受力的性状 在实际工程中，桩基通常是由一群桩所组成而群桩分析的理 论很大程度取决于单桩的受力分析因而许多学者对单桩工作 机理进行了研究，并提出许多预估的方法目前，大体上可归 纳为四种方法，即：荷载传递法；弹性理论法；剪切位移法； 有限单元法 1.荷载传递法 荷载传递法首先是由Seed和Reese在1995年提出此后， Kezdl(1957)、佐藤悟（1965），Coyle和Reese（1966）、 Holloway(1975)以及Vijayvergiya(1977)等相继在此基础上有 所发展这些方法的基本概念是把桩视作由许多弹性单位组成， 每一单元与土体之间（包括桩尖）都用非线性弹簧联系，如,图11.1所示这些非线性弹簧表示桩侧摩阻力（或桩尖阻力） 与剪切位移（或桩尖位移）之间的关系，通常统称为荷载传递 函数或t-s曲线 在桩上取一单元体，由单元体的静力平衡条件可得：,,荷载传递法的计算图式,式中 --桩截面周长， --桩侧壁摩阻力考虑到单元的弹性 应变量随深度z值得增加而减小，于是有,对式（11.2）求导，并与式（11.1）联合，则有,式（11.3）式传递函数法的基本微分方程，桩身的竖向位移 s的求解取决于桩土之间的传递函数 曲线（即 曲线）。
Vijayvergiya(1977)对桩测、桩底分别提出相应的传递函数表 达式：,其中,（粘土）,（砂土）,式中 —桩单元的位移—位移为z时，桩侧的摩阻力；—桩侧摩阻力达到时的桩单元的临界位移值；在粘土或砂土中，=0.51~0.97cm；—桩身范围内土的不排水抗剪强度平均值；—地表至桩尖范围内土的竖向有效应力的平均值；—桩身范围内土的不排水抗剪强度平均值；—土的侧压力系数；—土的竖向有效应力；—桩间土的摩擦角,桩尖传递函数，如图11.2（c）所示式中 —桩尖位移值；—位移为s时，桩尖的阻力；—桩尖阻力达到 时的临界位移值，B为桩径或宽度—桩尖最大阻力，可按下式计算：,（粘土）,（砂土）,式中 —分别为承载力系数；— 桩尖粘土的不排水抗剪强度；—桩尖处土的竖向有效应力一旦桩土间的传递函数确定后，就可求得在竖向荷载下桩侧摩 阻力，桩身轴力分布以及桩身各截面处的位移求解方法通常 采用变形协调法和矩阵位移法 （1）变形协调法 该法是在离散成许多单元的桩的底部，假设有某一位移值，然 后根据桩身的轴向变形与桩侧土变形相协调的关系，可逐段地 向上递推而求出桩段各点（包括桩顶）处的相应轴力、桩侧压 力。
若桩底假设不同的位移值，于是就可获得一组相应的轴力、 位移以及桩侧和桩底的阻力 2）矩阵位移法 矩阵位移法实质上是杆件系统的有限单元法对已经离散了的 每个桩单元（图5.3），可建立轴力之间的关系 若桩顶上作用一个竖向力Q，桩段划分的长度不一，分别以示之，则对整根桩可写出分段点的力和位移方程组：,图5.3 单桩矩阵位移法的计算图式,图5.4 桩侧摩阻力、桩尖阻力与位移的关系曲线,由于传递函数呈非线性特性，可用迭代法计算式（5.7），其 步骤如下： 1）根据已知的传递函数曲线，假设各结点的初始刚度 和 （即假定各结点初始位移 ） 2)按式（11.7）算出相应的位移 ； 3)若 与 的差值超过容许值，则根据 和 ;从 图5.4求出 和 ，并代入式（5.7）算出第二次迭代 计算所得的位移 ； 4)重复上述计算过程，直 到前后两次计算所得位移的差值小于 容许误差为止； 5)将最后求得的位移值 ，代入式（5.6）后，可求出各结 点处的轴力 和摩阻力 . 从上述计算可见，荷载传递法分析单桩的性状，其关键在于正 确确定荷载的传递曲线。
众所周知，桩的静再试验既费工又昂贵，因而近年来有人通过 桩、土间传递函数的研究来分析和估算桩的承载力，以减少桩 的静载试验工作量文献[11]介绍华南地区在试桩时，通过预 埋在桩内的电测元件，测定桩身各量测截面的应变，从而算出 桩侧摩阻力、桩尖阻力随位移变化的关系实测到的荷载传递 曲线可近似地用双曲线方程来描述，但为实用起见，可将 曲线简化为弹性-全塑模型，桩尖 曲线则简化为弹性-硬化模 型（如图5.6），并用 五个参数来表示按该模型 计算求得的桩顶处的P—s曲线与实测的试桩结果较好吻合文献[5]根据上海和我国沿海软土地区大量试桩与精力触探的对 比资料，发现触探探头阻力 与软土地区各类土的 （最 大桩侧摩阻力）、 （最大桩尖阻力）有较好的关系；,（淤泥质粘土、亚粘土）,（淤泥质粘土、亚粘土）,（轻亚粘土、粉砂）,（软塑、硬塑的粘土、亚粘土）,图5.6 荷载传递的双折线表示,图5.7 桩的实测与计算的P-s曲线（a） 桩轴向力实测值分布图（b）,式中 —触探探头阻力，以 表示；— 桩尖以上（3.75~8.0）d范围内探头阻力的平均值 ；—桩尖以下（1.0~2.75）d范围内探头阻力的平均值 。
而传递系数建议用抛物线方程表示，即；,式中其它符号与式（5.4）、（5.5）说明相同通过与软土 地区16根（桩长18~27m）实测试桩资料进行对比，结果说 明用建议的传递函数计算所得的桩顶P-s曲线与实测值较为接 近2.弹性理论法 弹性理论法的基本假定是，桩被插入在一个理想均质的各项同 性的弹性半空间体内，其弹性模量 和泊松比 ，不是因桩 的存在而变化；桩的周围粗糙而桩底平滑由于桩与土之间保 持弹性接触，因此具有桩身位移等于毗邻土位移的相容条件 在计算中，认为桩与土的径向变形甚小，可不计，只考虑桩在 竖向荷载下的竖向变形 把受荷的桩以及桩周围的土分成若干小段，现分布取桩周围的 土体（图5.8b）、桩身（图5.8c）作为分离体进行分析图5.8 弹性理论法的计算图式,（1）土的位移方程（按图5.8b建立）由 单元处的摩阻力 对桩端点 所引起的竖向位移 为：,式中 —单元j处单位摩阻力 对桩段 点所产生的竖向位移量，或称为竖向位移影响系数，,于是所有n个单元的桩侧、桩底阻力对i点所产生的位移：,同理，可写出所有单元对桩底所产生的位移量为：,式中 — 分别为竖向位移影响系数。
这样，土的位移方程可方便地写出：,式中 — 土的位移矢量，—桩周阻力（包括桩侧和桩底）的列向量，—土的竖向位移柔度矩阵，即,（2）桩身位移方程（按图5.8c建立）把桩身的微分方程式（5.3）改写成为：,并用有限差分法形式，写出点2到n-1的表达式，即,对于桩段点1，写出差分表达式时，会引入虚结点位移 ，为 此，要利用桩顶处应变的边界条件 ，于是 的表达式,把上式代入式（5.17），消去 ，则点1的差分表达式为,同理，利用非等间距的差分公式以及使用高阶级数的差分展 开式，于是点n和桩底（b点）的差分表达式：,于是，整根桩的位移方程为：,式中,—桩身位移列向量—桩身系数矩阵，其值为,其中,（3） 单桩的差分方程 把桩土交界面处毗连点的位移相容条件 代入 式（5.21）,便可获得单桩的差分方程：,式中 —单位阵;其它符号说明同前 解方程组（式5.22），求出 ，即获得桩侧摩阻力 和桩底 阻力 ；再利用式（5.15）和式（5.2）分别求出桩段的位 移 和轴力 。
均质土中不同比值 情况下的桩侧摩阻力 的分布情 况；对于K值大的不可压缩桩， 沿桩身的分布比较均匀，且 与土的泊松比 值关系不大4）弹性理论法的若干改进计算方法改进用方程式（5.22）求解时，桩的分段长度必需相同，因为 建立式（5.7）时，为了简便，采用了等间距的差分形式，若 采用矩阵位移法，可求解非均质土中分段长度不等情况下的 桩先按图5.3和式（5.6）建立桩身位移方程，得,改写土的位移方程式（5.15），得,式中 —系数矩阵，其值为：,根据变形相容条件 ，把上式代入式（5.23）后得：,解上式求得桩段各点的集中摩阻力 后，就不难获得 值以及位移 应当指出，桩顶荷载Q并不是作用在桩段结点1处（图5.3），为了使式（5.25）符合实际情况，在分段时，应尽量使 长度缩小桩-土间的滑移 众所周知，桩土之间的摩阻力是有限的，当桩上荷载足够大时， 桩土间摩阻力得到充分地发挥，以至于桩土间产生滑移丧失支撑 能力对此，方便的做法是先按式（5.25）计算，然后检查所求 出的各结点的摩阻力 ，是否超过某一指定的极限 值 ；若 ，则在式（5.25）等式左边的矩阵中第i行的主对 角元素充以一个大数（如 ），而在相应的右端项 中第i行充 以 的数，再作一轮计算，直到计算得的摩阻力均小 于 为止。
非均质土的考虑 为了把均质土中已有的分析公式应用到非均质土的情况，Poulos,近似地假定土体内的应力与原均质体中的分布情况相同，而计 算土位移时所用到土的模量与该点所在的位置有关于是i点土 的位移计算式变成,桩身范围内土的位移方程：,式中符号见式（5.15）说明由于桩的位移方程式（5.23）保 持不变，则按照位移相容条件，联合式（5.27），（5.23）后 便可求得桩身各结点的轴力，位移和摩阻力，Poulos曾经对支 撑在较硬土层中的桩进行分析，结果表明：桩尖土层模量 愈 大，则轴力 的传递作用就愈不明显对于桩尖以上若干土层的情况，Poulos建议也可取加权平均模 量 来代替，即,式中 —分别是土层i的模量和厚度—桩身长度L范围内的土层个数非均质土处理的另一途径是，先用Mindlin应力公式积分后求 得计算点i处的竖向应力 ，然后运用熟知的分层总和法公 式计算该点的位移量（不考虑土的侧胀）该方法基于下述 假设：1）地基土非线性性质只对土体的位移有较大的影响，而 对土中应力，特别是对竖向应力影响不大；2 ）考虑到桩基分析中，计算点离地面较深，而且前勘察 部门一般只提供压缩模量，很少提供土的弹性模量；3）分层总和法计算变形公式有较长的使用历史，并积累着 与实测变形对比的资料。
采用这一途径进行单桩分析，只需对前述土的位移方程,式（5.24）中的竖向位移影响系数 作适当的修改， 而式（5.23）和式（5.25）依旧不变有限深度的近似处理 前面土的位移柔度矩 中的元素（见式5.15）仅适用于无限深的土体对于有限厚度H的土层，层内任一点的竖向位移影响系数，可近似地按下式计算：,式中 —在无限土体介质中，单元j上的单位摩阻力引起i点处的竖向位移影响系数；—在无限土体介质中，单元j上单位摩阻力对地表下 H深度处点 的竖向位移影响系数（ 在 点的正下方） 综上可见，弹性理论法的优点是考虑了实际土体的连续性。