关于抛物线焦点弦的弦长公式在高中教材第八章中有关于已知倾斜角的焦点弦,求焦点弦的弦长的问题，其中只介绍了开口向右时的焦点弦的长度计算问题:⑴已知：抛物线的方程为2y 2px（p 0），过焦点F的弦AB交抛物线于A B两点,且弦AB的倾斜角为，求弦AB的长解：由题意可设直线 AB的方程为y k（x 卫）（i）将其代入抛物线方程整理得:2 2 2 2 24k X (4pk 8p)x p k 0，且 k tan设a,b两点的坐标为（xp yi'xz’y?）贝"：x x2Pk__,2kXi X2| AB | 1——2 2k (xi X2) 4XiX22p2(sin )1 , |AB|=2p.即为通径则以上弦长公式成立吗这只能代表开口向右时的弦当 时，斜率不存在，sin2而如果抛物线的焦点位置发生变化,长计算公式，其他几种情况不尽相同现在我们来探讨这个问题2）已知：抛物线的方程为 x2 2py（p 0），过焦点的弦AB交抛物线于A,B两点，直线AB倾斜角为 ，求弦AB的长tan ），而焦点坐标为（0,卫），故2解：设A,B的坐标为（x）,y1）,（x2，y），斜率为k（kAB的方程为y 卫 kx，将其代入抛物线的方程整理得：22 2x 2pkx p 0,从而 Xi X2 2pk，X1X2弦长为：|AB| 1 (.(Xi X2)2 4XiX22p2(cos )0, cos 1,| AB | 2 p，即为通径。
22 px与（1）的结果一样，x2py与（2）的结果一样，但是（1）与（2）的两种表达式不一样，为了统一这两种不同的表达式， 只须作很小的改动即可现将改动陈述于下:2(3)已知：抛物线的方程为 y 2px (p 0)，过焦点F的弦AB交抛物线于 A , B两点，且弦AB与抛物线的对称轴的夹角为，求弦AB的长解：由题意可设直线 AB的方程为y2 24k x2(4pkk(x E)( -)将其代入抛物线方程整理得:2 22 2p k8p)x若倾斜角-，则2tantan ；若倾斜角i，则,k tantan(2 p 4设A,B两点的坐标为(刈%)，仪2，『2)2贝 y： pk 2 p则：Xi X2 2 ，Xi X2k1 AB 1 I 1 k \ ( X 1 X 2 ) 4 x 12(tan(p k 2 2 p)(sin而sinsin,si n()sin ，故 | AB |2p2 ；(sin )sin1 , |AB|=2p.即为通径2px 与(3)的结果一样同理：(4)已知：抛物线的方程为 x22py(p0)，过焦点的弦 AB交抛物线于 A,B两点，直线AB与抛物线的对称轴的夹角为，求弦AB的长解：设a,b的坐标为(冶y/'x?，y2)，若倾斜角为 ，斜率为k,则k tan ，而焦点坐标为(0占),故AB的方程为y p kx，将其代入抛物线的方程整理得：22 2 2x 2pkx p °,从而 X1 X2 2pk,X1X2 p，弦长为：| AB | 1(xi2X2)4XiX22p(cos )当倾斜角 一，则,coscos(-)sin ；222当倾斜角 —,则,coscos(-) sin222所以| AB | ——2p二恒成立。
sin )当 ©■时，sin 1, |AB|=2p.即为通径而x 2py与(4)的结果一样故只要直线 AB与抛物线的对称轴的夹角为 ，那么不论抛物线的开口向上，向下，向左还是向右，过焦点的弦的弦长都可以用一个公式表示，即 | AB| ——2P一2这个公式(sin )包含了抛物线的四种开口形式， 没有了因为开口不同而导致的公式不同， 便于记忆，便于应用，是一个很好的弦长公式，这里推荐给大家使用。