AG不等式的证明及其推广

平均不等式AG 不等式：1.中学里面我们称之为基本不等式：（1）（a,b0）ab2ba（2）（a,b同号）ab ba0（3）a2+b22ab（a,b为实数）2.推广：设a=(a1,…，an)，ak，1，则 An(a)=称为a1，…，an的算0nk  nkkan11术平均值，Gn(a)=称为a1,…，an的几何平均值nnaaa21Gn(a)An(a)，即nnaaa21naaan21称为 AG 不等式，当且仅当a1=a1=…=an时等号成立.AG 不等式是最重要的基本不等式，利用这个不等式，可将和的形式缩小为积的形式，或者将积的形式放大为和的形式，因而这可以叙述成两个等价的共轭命题：（1）其和为S的n个正数之积，在这些数都相等的时候最大，最大值为(S/n)n.（2）其积为的n个正数之和，在这些数都相等的时候最小，最小值为n2.因此 AG 不等式有许多独特的应用价值，例如在几何学中求最大最小问题时，给定表面积的所有长方体中，正方体具有最大的体积；而给定体积的所有长方体中，正方体具有最小的表面积等.3.加权形式的 AG 不等式：Gn(a,q) An(a,q)，式中Gn(a,q)=，An(a,q)=，qk，kknkqa ^1）（  nkkkaq10， nkkq11通过对数变换可以将这两种平均联系起来，记lna=(lna1,…，lnan)，则lnGn(a,q)lnAn(a,q)，即正数a1，…，an的加权几何平均Gn(a,q)的对数等于a1，…，an的对数lna1,…，lnan的加权算术平均.同时，对于加权形式的 AG 不等式的进一步推广是：设ajk>0，qk>0，且， nkkq11则，当且仅当==…=， （j=1,…，m）  mjkijnkqa11))^((kmjjknkqa )^(11   mjjjaa111  mjjjaa122  mjjnjnaa1时等号成立.4.关于 AG 不等式的证明：这里面介绍的是几个典型的、简洁的和新的精彩的证明方法，为了叙述方便，下面将记为 Gn(a)An(a)，并设a1，…，an是不全相等的正nnaaa21naaan21数（因为a1=a1=…=an时，等号成立） ，与等价的是：nnaaa21naaan21若，则 nkka11 nkkna1;若，则()n. nkka11 nkka1n11821 年 Cauchy 用反向数学归纳法给出了一个精彩的证明：第一步：假设n=k时，成立，容易推出n=2k的nnaaa21naaan21时候该式也成立：=（+）[()1/k+(kaa 2k21 21 kaaak21 kaaakk2k21 21kaa 1)1/k]1/2kk21aak)(k21kk1aaaa由此推出n=2m时，成立.nnaaa21naaan21第二步：设n 2m，则比存在r，使得n+r=2m.N1/(n+r)（有r个An][)()()( 11 nnnnnnn nAAaarnAAaa rnArnA连乘）=[]1/(n+r).  rAnGnn^^ 即n+rnr. 从而. nA nG nAnnGA 另外一种思路是从推出成立，事实上11nnGAnnGA 1/(n+1)，即n+1，从而nnnnn nAaaanAaa nAnAA21n1 11 nAnnAaa 1n=n，即. nAnaa 1 nGnnGA同时也可以用数学归纳法来证明下式的成立，则 nkka11 nkkna1证明如下：n=1时，命题显然为真.假设时，命题为真，当时，若所有的，则其和等于，不1n1n1kx1n然不妨设（对若干个进行一个排列，把最小的重新定为，最大的定为1, 111nxxix1x） ，我们记，这时便有，由于归纳假设1nx11nxxy132yxxxn①nyxxxn32另外， ②11)1 (11111111nnnnxxxxxxyxx①+②得，，因而对的情况也成立，证毕！(Ehlers,1954)111nxxn1n教材大多采用的是利用函数的凹凸性去证明，这里我们直接证明加权平均不等式，AG 不等式只是其中的一种特殊情形。

下证明：Gn(a,q) An(a,q)，式中Gn(a,q)=，An(a,q)=，qk，kknkqa ^1）（  nkkkaq10， nkkq11证明：注意到如果中有等于 0 时，不等式自然成立，现在只需要考虑都是正数的情kaka况.因为指数函数为严格的上凸函数，所以我们有：)exp(^xxe^=，当且仅当都相 nkka1)(kq knkknkkknkkkaaa   111]exp[lnlnexpka等的时候成立这时候我们再令时，该式子就是非负的几何平均数不大于,1 nknk,2 , 1算术平均数（AG 不等式）还可以利用 Young 不等式：1/p1/q，，得到abbqap/1/1pqp1 , 1/1/11/n·(1-1/n)1na1nA1 1111  n nAnna记1/n·(1-1/n)，.G1na1nAA1 1111  n nAnna则1/2n，即) 1(^) 1(^2111nAnGGGAAAAAnnnnn n证毕！（Diananda）. 11nnGA补充说明的是 young 不等式的证明：Young 不等式（p-q 不等式）：设，则当时，成立111, 0,qpqp p1pq；当的时候，不等式反向，当且仅当p-1的时||1||apab ||1bq10 p||||ab 候等号成立.证明这个不等式的方法有许多，这里只给出四种证明的方法：①代数方法：利用 Bernoulli 不等式：再取.11)^.(10 , 0xxxxq,1q/p.(Bernoulli 不等式的证明很容易，只需要用数学归纳法即可证明，这里不再去证明)ba②微分法：固定求一元函数, 0x在上的极值，在   xyqyqpxpy^1^1), 0[（式中）时取到最小值.即 ^00xy 11 q  . 00yy③积分法：设是上严格递增的连续函数， xy], 0[a比较面积得（这里的和函数互为反函数） ，  0,, 00badyydxxabba然后我们取p-1即可证得！ xx ④考虑二元函数1/p1/q 在凸域上的凸性.xqy pxyxf),(y}0,:,{yxyxDLagrange 乘数法：求在条件下的最大值，作辅助函数 nnxxxf1axxn11/n+.  nxxxF1)(1axxn对求偏导数，得出Fkx0'kxF即 .,, 1,nknkxxfk对求和，得到即k .1anxxnxnfn.axf)(由以上两个式子，我们可以得到.于是在点取得最大值naxkf na na,,即.，na na na n nnnxxnnaxx111再补充利用四个个不等式去证明的方法：利用不等式，得出 xx1expn.  nnnknknknknknk AG Aa AanAa111}1exp{}exp{)0exp(1利用不等式e，即于是xx )exp(ex .ln xex .,, 1,lnnkaeakk我们可以选择权系数且使得, 0),,,(1kn nkkq1, 1.^)(),(1eqaqaGknkkn于是从式子对求和，得到.,, 1,lnnkaeakkk，这就是加权平均不等式.  knkknknkknkkkkkkqaeqaeaqeaq^^lnln1111    利用不等式得到对求和得到，,01lnxxx, 1log kkkk Aa Aak即从而我们, 0)log(11   nAaAannkknknk. 0)log(^loglog1    nnnnnknk AGnnAG Aa得到即. 证毕！, 0log nn AG1 nn AG利用不等式. 0, 1)]1()^([xnnxnx取1/(n-1)，则从不等式上方的不等式得到nn-1，)(1nAax  nA 12 1naaan对上式逐次使用不等式得到：nn-2n. 证毕！ nA 23 21naaaan)(21nnGaaaLL（Akerberg,B. 1963）5.深度的推广我们通过加权平均不等式来证明：设则有不等式 miiiikminka1. 1,,, 1, 0,, 1, 0LLLL iminkiknkmiiikaa^^1111     证明：当上述右边等于 0 时，显然左边也等于 0.我们考虑右边不为 0 的情况，利用加权平均不等式，得：        miiminkiknkikinkminkikik iinkninkikikmiinkiknkmiiikaaaaaaaa111111111111111^ ^^  当且仅当个向量，.成比例时成立. 证毕！miniaa,,1LLmi,, 1LL特殊的情况：当p，q，时，这就是 Hölder 不等式， kkxam1, 2)(2kkya1,1,1 2121qp1/p+1/q nkkkyx1  nkkpx1^  nkkqy1^上式中当且仅当向量与向量成比例时等号成pxpxn)^( ,,)^(1LLqyqyn)^( ,,)^(1LL立.再对上式中取时就得到 Cauchy 不等式.当且仅当和向量2, 2qpnnxx,,1LL成比例时等号成立.nyy,,1LL当然还能推导得到 Minkowski 不等式，这里由于篇幅有限，不再叙述，请感兴趣的读者参考其他书籍！。