为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划合同变换的概念 第十二讲合同变换与二次型的标准化教学目的： 1.介绍合同变换：另一种对角化途径，只用于对称阵； 2.对“可逆的矩阵变换”做个小结 3.介绍二次型及其矩阵形式； 4.介绍二次型标准化的概念：与合同变换的关系 教学内容： 第六章：合同变换； 第七章：二次型及其标准形； 二次型的标准化； 教案提纲： 合同变换 概念：定义 ：“对称初等变换” 例， 三、合同标准形：规范形； 定义； 惯性指数：惯性定理→定义 ?正交变换：既是相似变换，也是合同变换，更是初等变换 ?四个矩阵变换的比较 第七章二次型 二次型及其标准形 二次型：定义：两种写法：式、 由二次曲面的标准方程引入，定义?与对角阵的对应； 标准化：与合同变换的对应f(X ) ?X? AX X?PY，使X?AX?Y?P?APY?? A找可逆阵P,使P?AP??为对角阵 二次型的标准化 一、正交变换法：由于二次型的矩阵是实对称阵，而实对称阵必可经正交变换化为对角阵，正交变换又是一种特殊的合同变换，因此这里理论上并没有新内容。
A→求特征值→求正交的特征向量组→分别单位化→构成正交变换阵P→验证 P?AP?P?1AP??→得到标准形f(Y)?Y??Y 例 ?阶段性习题：：16、19、21；：56； ：1、 作业：：20； ：56； ：1、2、 ?备例 几何变换 变换与变换群 1．基本概念： 1）设A、B是两个非空集合，给出映射f：A→B，如果B=A，那么映射f叫做集合A上的变换 2）若变换f：A→A是一一映射，则f叫一一变换 3）一一变换f：A→A，若?a?A,有f=a，则f叫A上的恒等变换或单位变换，通常记为I4）f1:A?A,f2:A?A是两个变换，变换f与f的12合成f2?f1叫做f1与f2的乘积 5）一一变换f：A→A，若存在变换g：A→A，使得fg=gf=I，则g=f?1叫f的逆变换 6）一一变换f：A→A，且f?I，若?a?A，使f=a，则a叫f下的二重点；若存在直线l，使得f=l，则l叫f下的二重线 2．一一变换的性质： 1）f、g：A→A是一一变换，则gf也是一一变换 2）f、g、h：A→A是一一变换，则有h=f 3）f：A→A是一一变换，则f也是一一变换。
1 3．变换群： 1）将几何图形按着某种法则或者规律变换成另一个图形的过程叫几何变换 2）A是一个集合，如果G是由集合A上的某些一一变换所组成的集合，且满足： 若f1?G,f2?G，则f2?f1?G； 若f?G，则f 群 3）若H是变换群的一个子群，且H自身也构成一个变换群，那么H叫做G的子群 4）两变换群G1,G2，若它们的元素之间可以建立一 一对应关系f，且有?g1,g2?G1,f(g2g1)?f(g2)f(g1)?1?G；那么集合G就叫做集合A上的变换群，简称为变换，则称G1,G2同构 平面几何变换 一、合同变换 1．基本概念 1）一个平面到其自身的变换W，若对于平面上的任意两点A与B，都有距离 WW=AB，则称W为平面上的合同变换 2）若平面上图形F是图形F在合同变换W下的像，/ 则称F是F的合同图形 2．合同变换的性质： 1）合同变换是一一变换 2）合同变换的逆变换是合同变换 3）两合同变换的积是合同变换 4）合同变换把直线变成直线 5）在合同变换下的不变量：距离、角度 6）在合同变换下的不变性质：点的共线性与结合性、直线上点的顺序性、线的共点性与平行性。
3．合同变换的基本形式：平移变换、旋转变换、直线反射变换 平移变换： 定义：平面到自身的变换T把平面上的任一点P变换到P点，使得射线PP/有给定的方向，线段PP有给定的长度则称T为平面上的平移变换射线PP的方向叫做平移方向 性质：①平移变换是合同变换 ②平移变换的逆变换也是平移变换③两个平移变换的积是平移变换 ④在平移变换下，直线的像是它自己或者是与它平行的直线；平行直线变换成平行直线 在平移变换下的不动点：无不动线：平行于平移方//// 向的直线 确定平移变换的条件：一对对应点 例题： 1．在△ABC中，已知AB：AC=7：5，BC=18，在边AB、AC上分别取一点D、E，使AD=CE，且DE∥BC，求DE的长 2．求证：两中线相等的三角形是等腰三角形 3．在平行四边形的内部有一点P，若∠PAD=∠PCD，则∠PBC=∠PDC 第3题第4题 4．段BC上取两点M与N，使BM=CN，动点A在BC外移动，当∠BAM=∠NAC时，求证：△ABC为等腰三角形 5．设D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB上的点，满足BD：BC=CE：CA=AF：AB=1：n，又S与s分别是△ABC和线段AD、BE、CF构成的三角形的面积，求S：s。
作业： 1．已知ABCD是正方形，EF、GH分别是边AB与CD和AD与BC间的线段，且EF⊥GH，求证：EF=GH 2．设P是正三角形ABC的中线MN上的任一点，BP和CP的延长线分别与边AC、AB交于R、S，求证：CR 旋转变换 定义：如果一个平面到自身的变换R,使原点Ο变换到它自身，其他任意点X与它的对应点X/满足OX?OX，?XOX/1?1BS为定值/?θ，则称R为平面上的旋转变换，Ο叫做旋转中心,θ叫做旋转角性质：①旋转变换是合同变换 ②旋转变换的逆变换也是旋转变换 ③具有同一个旋转中心的两个旋转变换的积是旋转变换 ④在旋转变换下，直线的像是它自己或者是与它成旋转角的直线 在旋转变换下的不动点：旋转中心不动线：当旋转角为π时，过旋转中心的所有直线 确定旋转变换的条件：旋转中心与一对对应点例题： 学号：矩阵间合同、等价、相似的联系与区别 XX年05月 矩阵间等价、合同、相似的联系与区别 xxxX 摘要本文将要分三个步骤来逐步深入的探究矩阵间的三种关系及区别：首先，简要介绍矩阵作为高等师范院校数学与应用数学专业的基础学科的重要性,以及这一学科知识的理论性及应用性的特点；其次，简要介绍矩阵的概念及基本运算，给出矩阵的秩和逆的解法；最后，给出矩阵等价、合同、相似的定义，根据定义分析三者之间的联系与区别，并进一步给出具体例子使同学们有更加深刻的印象，组织学习小组联系实际自主学习将书面知识向实际能力转化，以自主创新的态度来对待生活中的难题,形成新思维使我们在未来学习工作中越走越顺. 关键词矩阵、矩阵的等价、矩阵的相似、矩阵的合同 Theconnectionanddistinctionamongthreerelationshipsofmatrices thoseareequivalent,contract,similar ZhuYan (CollegeofMathematicsandInformationScience,HenanNormalUniversity,XinxiangHenan,China) AbstractThepaperisdividedintothreestepstograduallyin-depthexplorationofthreekindsofrelationshipsamongmatricesandthesedifferences:First,wehavebrieflyintroducedtheimportanceofthematrixasaprofessionalbasisdisciplineinNormalCollegesandAppliedMathematicsinthepaper,meanwhile,wehaveintroducedtheknowledgeofthisdisciplineincludedit’stheoryandapplicationcharacteristics;Second,wehavebrieflyintroducedtheconceptsandbasicoperationsofthematrixinthepaperthenthesolutionofthequestionabouttherankofthematrixandtheinversearegiveninthepaper;Finally,wehaveintroduceddefinitionsofthematrix’sequivalent,contractandsimilarinthispaper,then,accordingtothedefinitionweanalysethecontactanddistinctionamongthoserelationships,andfurtheroffersspecificexamplestoanalyse,sothatstudentswillhaveamoreprofoundimpression.Organizedstudygroupspracticeself-learningandtransformingthewrittenknowledgetotheactualabilityofindependentinnovationattitudetodealwiththeproblemsinlife,theformationofnewthinkingtomakeourfuturestudyandworkfartherandShun. Keywordsmatrix;matrixcontract;matrixequivalent;matrixsimilarity 目录 前言???????????????????????????????????11矩阵的简介??????????????????????????????1 矩阵的简介?????????????????????????????1 矩阵的运算????????????????????????????? 矩阵乘积的行列式与秩???????????????????????? 矩阵的逆??????????????????????????????2矩阵间的三种关系??????????????????????????? 矩阵的等价????????????????????????????? 矩阵的合同????????????????????????????? 矩阵的相似?????????????????????????????3矩阵的等价、合同、相似之间的联系与区别???????????????? 矩阵间等价、相似、合同之间的联系??????????????????? 矩阵的等价、相似、合同之间的区别??????????????????4总结?????????????????????????????????参考文献?????????????????????????????????致谢??????????????????????????????????? 前言 随着科技的高速发展，数学在生产生活中的应用愈加宽广和深入，其中在经济方面尤为突出，马克思。