函数恒成立、能成立问题及课后练习(含问题详解)恒成立、能成立问题专题一、基础理论回顾1、恒成立问题的转化：恒成立；2、能成立问题的转化：能成立；3、恰成立问题的转化：在M上恰成立的解集为M 另一转化方法：若在D上恰成立，等价于在D上的最小值，若 在D上恰成立,则等价于在D上的最大值4、设函数、，对任意的，存在，使得,则5、设函数、,对任意的，存在，使得,则6、设函数、，存在，存在，使得，则7、设函数、,存在，存在，使得，则8、若不等式在区间D上恒成立,等价于在区间D上函数和图象在函数图象上方;9、若不等式在区间D上恒成立，等价于在区间D上函数和图象在函数图象下方；二、经典题型解析题型一、简单型例1、已知函数，，其中,． 1）对任意,都有恒成立，求实数的取值范围；（构造新函数） 2）对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；（转化)简解：（1）由成立，只需满足的最小值大于即可．对求导，，故在是增函数，，所以的取值范围是． 例2、设函数，对任意，都有在恒成立，求实数的范围．分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数,再处理另一个参数．以本题为例，实质还是通过函数求最值解决．方法1：化归最值，;方法2:变量分离,或；方法3：变更主元（新函数）,，简解：方法1：对求导,，（单调函数）由此可知,在上的最大值为与中的较大者．，对于任意，得的取值范围是．例3、已知两函数,，对任意，存在,使得，则实数m的取值范围为 答案:题型二、更换主元和换元法例1、已知函数是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数，(Ⅰ)求的值；（Ⅱ)若上恒成立，求的取值范围； (Ⅱ)分析：在不等式中出现了两个字母：及，关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。
显然可将视作自变量，则上述问题即可转化为在内关于的一次函数大于等于0恒成立的问题.(Ⅱ）略解:由（Ⅰ）知:，，在上单调递减，在上恒成立，，只需，（其中）恒成立,由上述②结论:可令,则，，而恒成立,例2、已知二次函数对恒有，求的取值范围解: 对恒有即变形为 当时对任意的都满足只须考虑的情况 即 要满足题意只要保证比右边的最大值大就行现求在上的最大值令 （） 所以又是二次函数所以且例3、对于满足0a4的所有实数a求使不等式都成立的x的取值范围答案： 或题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来）此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧,将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则；若对于取值范围内的任一个数都有恒成立,则例1、当时，不等式恒成立，则的取值范围是 解析： 当时,由得∴.例2、已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数在区间上是减函数Ⅰ)求的值与的范围；(Ⅱ）若对(Ⅰ)中的任意实数都有在上恒成立，求实数的取值范围Ⅲ）若，试讨论关于的方程的根的个数.解：（Ⅰ)、（Ⅲ)略(Ⅱ）由题意知，函数在区间上是减函数.在上恒成立题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法）)例1、若对任意,不等式恒成立，则实数的取值范围是________解析：O对，不等式恒成立、则由一次函数性质及图像知,即。
例2、不等式在内恒成立，求实数a的取值范围解：画出两个凼数和在上的图象如图xy03 知当时，当时总有所以O例4、已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是 .解：在同一个平面直角坐标系中分别作出函数及的图象,由于不等式恒成立，所以函数的图象应总在函数的图象下方，因此,当时，所以故的取值范围是题型五、其它（最值)处理方法若在区间D上存在实数使不等式成立,则等价于在区间D上；若在区间D上存在实数使不等式成立，则等价于在区间D上的.利用不等式性质1、存在实数，使得不等式有解，则实数的取值范围为______解：设，由有解，,又,∴，解得.2、若关于的不等式恒成立，试求a的范围解：由题意知只须a比的最小值相同或比其最小值小即可，得由 所以 利用分类讨论1、已知函数在区间[—1，2] 上都不小于2,求a的值解：由函数的对称轴为x=a所以必须考察a与—1,2的大小，显然要进行三种分类讨论1)．当a2时f（x）在[—1，2]上是减函数此时= f(2)=4-4a+4即a 结合a2，所以a22）．当a 时 f（x)在［-1，2］上是增函数，此时f（—1)=1+2a+4= f（—1）=1+2a+4结合a 即a 3)．当-1〈a〈2时 = f（a）= 即a或a 所以综上1，2，3满足条件的a的范围为：a或 a利用导数迂回处理1、已知 若当时在[0,1］恒成立，求实数t的取值范围解：在［0,1] 上恒成立,即在[0，1］上恒成立即在［0，1]上的最大值小于或等于0令所以，又所以即在[0,1］上单调递减所以，即 得 2、已知函数存在单调递减区间，求的取值范围解： 因为函数存在单调递减区间，所以有解.即能成立, 设.由得， 。
于是，,由题设，所以a的取值范围是3、已知函数（Ⅰ）当时，求的单调区间;（Ⅱ）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.解：（Ⅰ)略（Ⅱ)当时，不等式即恒成立由于，，亦即,所以令，则,由得且当时，；当时，，即在上单调递增,在上单调递减，所以在处取得极大值,也就是函数在定义域上的最大值.因此要使恒成立，需要，所以的取值范围为.注：恒成立问题多与参数的取值范围问题联系在一起,是近几年高考的一个热门题型，往往与函数的单调性、极值、最值等有关小结：恒成立与有解的区别：①不等式对时恒成立，即的上界小于或等于；②不等式对时有解， 或的下界小于或等于;③不等式对时恒成立，即的下界大于或等于；④不等式对时有解，.. 或的上界大于或等于；三、恒成立、能成立问题专题练习1、已知两函数，1)对任意，都有)成立,求实数的取值范围;（2）存在，使成立，求实数的取值范围；（3）对任意,都有,求实数的取值范围;（4）存在,都有，求实数的取值范围;2、设，若对于任意的,都有满足方程，这时的取值集合为（ ）（A） （B) (C） （D)3、若任意满足的实数，不等式恒成立，则实数的最大值是 ___ . 4、不等式有解，则的取值范围是 5、不等式在内恒成立,求实数a的取值范围。
6、设函数 （Ⅰ）求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）若对任意的不等式成立，求a的取值范围.7、已知A、B、C是直线上的三点，向量，，满足:1)求函数y＝f(x）的表达式；（2）若x＞0,证明：f（x)＞；（3)若不等式时，及都恒成立，求实数m的取值范围．8、设，且(e为自然对数的底数）（I） 求 p 与 q 的关系；（II)若在其定义域内为单调函数，求 p 的取值范围；(III)设，若在上至少存在一点,使得成立， 求实数 p 的取值范围.课后作业答案：1、解析：(1）设,问题转化为时，恒成立，故令，得或由导数知识，可知在单调递增，在单调递减，在单调递增，且，，，，∴，由，得2）据题意：存在，使成立，即为：在有解,故，由（1）知，于是得3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别,对任意，都有成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，,的取值在上具有任意性，∴要使不等式恒成立的充要条件是：.∵∴ ,∵，∴在区间上只有一个解.∴,∴，即.（4)存在，都有，等价于，由(3)得，，点评：本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件。
2、B解析：由方程可得，对于任意的，可得,依题意得3、答案：.解析:由不等式可得，由线性规划可得.4、解：原不等式有解有解，而,所以.5、解:画出两个凼数和在xy03上的图象如图知当时，当，时总有所以6、解:（Ⅰ） (1分)令得的单调递增区间为（a,3a）令得的单调递减区间为（－，a）和（3a，+） （4分）∴当x=a时，极小值=当x=3a时，极小值=b （6分） （Ⅱ）由|｜≤a，得－a≤－x2+4ax－3a2≤a.①（7分）∵0〈a<1，∴a+1〉2a∴上是减函数. （9分）∴于是，对任意，不等式①恒成立，等价于又∴7、解：（1）∵－[y＋2f /（1）］＋ln（x＋1)＝0，∴＝［y＋2f /（1）]－ln（x＋1）由于A、B、C三点共线 即［y＋2f /(1)]＋[－ln(x＋1)］＝1…………………2分∴y＝f(x）＝ln(x＋1)＋1－2f /（1）f /（x)＝,得f /(1)＝，故f(x）＝ln（x＋1)…………………………………4分（2）令g(x)＝f（x)－，由g/（x)＝－＝ ∵x＞0，∴g/(x）＞0，∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数………………6分 故g(x）＞g(0)＝0 即f(x）＞………………………………………………………………8分 （3）原不等式等价于x2－f(x2）≤m2－2bm－3 令h（x)＝x2－f(x2）＝x2－ln（1＋x2),由h/(x)＝x－＝………10分 当x∈［－1，1]时,h(x）max＝0，∴m2－2bm－3≥0令Q(b）＝m2－2bm－3，则 得m≥3或m≤－3………12分8、解：(I) 而，所以(II） 由 （I） 知 ，…… 4分令，要使在其定义域 (0，+¥) 内为单调函数，只需 h（x） 在 （0,+¥） 内满足：h（x）≥0 或 h(x)≤0 恒成立。
………… 5分① 当时，,所以在 (0，+¥) 内为单调递减，故；② 当时，，其图象为开口向上的抛物线,对称轴为,∴，只需，即p≥1时， h(x）≥0,，∴ f (x) 在 (0，+¥) 内为单调递增，故 p≥1适合题意 综上可得，p≥1或 p≤0 ………… 9分 （III） ∵ g(x) = 在 [1,e] 上是减函数∴ x = e 时，g(x)min = 2，x = 1 时，g（x)max = 2e 即 g（x) Î ［2，2e］ ………… 10分① p≤0 时,由 （II) 知 f （x) 在 [1,e］ 递减 Þ f （x）max = f (1) = 0 < 2，不合题意 ② 0 < p 〈 1 时，由x Î ［1，e］ Þ x－≥0∴f（x）=p （x－）－2lnx≤x－－2lnx 右边为 f (x) 当 p = 1 时的表达式，故在 [1,e] 递增∴ f （x）≤x－－2ln x≤e－－2ln e = e－－2 〈 2，不合题意 ………… 12分③ p≥1 时，由 （II） 知 f （x） 在 [1,e］ 连续递增，f (1) = 。