E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y2.1 线性定常齐次状态方程的解(自由解)2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵 2.3 线性定常系统非齐次方程的解2.4 * 线性时变系统的解2.5 * 离散时间系统状态方程的解2.6* 连续时间状态空间表达式的离散化第二章 控制系统状态空间表达式的解 E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y2.1 线性定常齐次状态方程的解(自由解) 所谓系统的自由解，是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动此时，状态方程为齐次微分方程：(1)若初始时刻 时的状态给定为 则式(1)有唯一确定解：(2)若初始时刻从 开始，即 则其解为：(3) 证明： 和标量微分方程求解类似，先假设式(1)的解 为 的矢量幂级数形式 E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y(4)代入式(1)得：(5) 既然式(4)是式(1)的解，则式(5)对任意时刻 都成立，故 的同次幂项的系数应相等，有： E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y在式(4)中，令 ，可得：将以上结果代入式(4)，故得：(6) E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y 等式右边括号内的展开式是 矩阵，它是一个矩阵指数函数，记为 ，即(7)于是式(6)可表示为： 再用 代替 即在代替 的情况下，同样可以证明式2)的正确性。
E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵2.2.1 状态转移矩阵齐次微分方程(1)的自由解为：或该式反应了状态矢量由初始状态到任意时刻的矢量变换关系，反应了反应了状态矢量在空间随时间转移的规律，因此称为状态转移矩阵状态矢量在空间随时间转移的规律，因此称为状态转移矩阵 E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵注：状态矩阵一般不是常数，而是时间的函数 起始矢量可以任意取，系统求解区间可任意选定—状态空间法的优点 满足初始状态满足初始状态 的解是：的解是：满足初始状态满足初始状态 的解是：的解是：令：令： 则有：则有： 线性定常系统的状态转移矩阵线性定常系统的状态转移矩阵 E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y2.性质二或(2)3.性质三或(3)1．性质一这就是组合性质，它意味着从 转移到0，再从0转移到 的组合。
或(1)2.2.2 状态转移矩阵(矩阵指数函数)的基本性质注：本性质可用于判断矩阵是否符合状态转移矩阵的条件注：本性质可用于判断矩阵是否符合状态转移矩阵的条件 E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y或(4)这个性质说明， 矩阵与A A矩阵是可以交换的注：本性质还表明，由状态转移矩阵注：本性质还表明，由状态转移矩阵 可反推可反推A A！！5.性质五 对于 方阵A和B，当且仅当AB=BAAB=BA时，有 而当AB≠BAAB≠BA是，则 这个性质说明，除非距阵A与B是可交换的，它们各目的矩阵指数函数之积与其和的矩阵指数函数不等价这与标量指数函数的性质是不同的4.性质四 E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y1．若 A A 为对角线矩阵，即(5)则(6)2.若 A A 能够通过非奇异变换予以对角线化，即2.2.3 几个特殊的矩阵指数函数 E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y则(7)3.若 A A 为约旦矩阵 E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y则(8)4.若 (9) E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y1.根据 的定义直接计算2.变换 A A 为约旦标准型（1）A A 特征根互异其中 T T 是使 A A 变换为对角线矩阵的变换阵。
由式（7），有：2.2.4 的计算编程，用计算机算，最终能得到收敛解但很难得到解析解例例2-12-1 E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y3.利用拉氏反变换法求(10)证明 齐次微分方程两边取拉氏变换即故 E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y4.应用凯莱—哈密顿定理求对上式两边取拉氏反变换，从而得到齐次微分方程的解：（1）由凯莱—哈密顿定理，方阵A满足其自身的特征方程，即所以有它是的线性组合同理 E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y以此类推， 都可用 线性表示。
(2)在 定义中，用上面的方法可以消去 A A 的 n及 n以上的幂次项， 即（11）（3） 的计算公式 E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy yA的特征值互异时，则 证明 根据A满足其自身特征方程的定理，可知特征值 和 A A 是可以互换的，因此， 也必须满足式（11），从而有：（12） E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y上式对 求解，即得式（12）A A 的特征值均相同，为 时，则证明 同上，有：(13) E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y上式对 ，求异数，有：再对 求异数，有：重复以上步骤，最后有：由上面的n个方程，对 求解，记得公式（13）。
E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y2 2）用）用标准型法标准型法求解求解特征值互异特征值互异 ，转化成对角标准型，且，转化成对角标准型，且A A为友矩阵为友矩阵特征值：特征值：例例2-12-1，，2-22-2，，2-42-4：求以下矩阵：求以下矩阵A A的的状态转移矩阵状态转移矩阵[ [ [ [解解解解] ] ] ]：：：： 1 1）直接算法（略））直接算法（略） E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y 3 3）用）用拉氏变换法拉氏变换法求解求解 例例2-62-6，，利用凯莱利用凯莱- -哈密顿定理哈密顿定理——----------------------------------自学！自学！例例2-32-3与例与例2-72-7也请注意自学！也请注意自学！ E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y 2.3 线性定常系统非齐次方程的解 现在讨论线性定常系统在控制作用 作用下的强制运动。
此时状态方程为非齐次矩阵微分方程：当初始时刻 初始状态 时，其解为：式中， 1）（2）当初始时刻为 ，初始状态为 时，其解为： E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y式中， 3）证明 采用类似标量微分方程求解的方法，将式（1）写成：等式两边同左乘 ，得：即（4） E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y对式（4）在 上间积分，有：整理后可得式（2）：同理，若对式（4）在 上积分，即可证明式（3）式（2）也可从拉氏变换法求得，对式（1）进行拉氏变换，有：即 E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y上式左乘 ，得：（5）注意式（5）等式右边第二项，其中：两个拉氏变换函数的积是一个卷积的拉氏变换，即以此代入式（5），并取拉氏反变换，即得 ： E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y 在特定控制作用下，如脉冲函数、阶跃函数和斜坡函数的激励下，则系统的解式（2）可以简化为以下公式：1.脉冲响应即当 时2.阶跃响应即当 时3.斜坡响应即当 时（6）（7）（8）例例2-8 2-8 要求掌握！要求掌握！ E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y例例例例2-82-82-82-8：已知系统状态方程中：已知系统状态方程中试求解该系统的单位阶跃响应。
试求解该系统的单位阶跃响应解法一解法一解法一解法一：：积分法积分法 E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y例例例例2 2 2 2- - - -8 8 8 8：已知系统状态方程中：已知系统状态方程中试求解该系统的单位阶跃响应试求解该系统的单位阶跃响应解法二解法二解法二解法二：：拉氏变换法拉氏变换法 E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y2.4 * 线性时变系统的解2.4.1 时变系统状态方程解的特点 为了讨论时变系统状态方程的求解方法，现在先讨论一个标量时变系统： 采用分离变量法，将上式写成：对上式两边积分得：（1） E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y因此（2）或者写成： 仿照定常系统齐次状态方程的求解公式，式(2)中的 也可以表示为状态转移矩阵，不过这时状态转移矩阵不仅是时间t 的函数，而且也是初始时刻t。
的函数故采用符号 来表示这个二元函数：（3）于是式(2)可写成：（4） E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y能否将式(3)这个关系式也推广到矢量方程： 遗憾的是，只有当 满足乘法可交换条件，上述关系才能成立现证明如下：使之有（5） 如果 是齐次方程的解，那么 必须满足：（6） E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y把 展开成幂级数：上式两边对时间取导数：(7)(8)(9)把式(7)两边左乘 有：比较式(8)和式(9)，可以看出，要使 E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y成立，其必要和充分条件是：（10） 即 是乘法可交换的。
但是，这个条件是很苛刻的一般是不成立的从而时变系统的自由解，通常不能像定常系统那样写成一个封闭形式2.4.2 线性时变齐次矩阵微分方程的解 尽管线性时变系统的自由解不能像定常系统那样写成一个封闭的解析形式，但仍然能表示为状态转移的形式对于齐次矩阵微方程： E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y（11）其解为：（12） 式中， 类似于前述线性定常系统中的 ，它也是 非奇异方阵，并满足如下的矩阵微分方程和初始条件：（13）（14）证明 将解式(12)代入式(11)，有 E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y即又在解式(12)中令 ，有：即 这就证明了，满足式(13)、式(14)的 ,按式(12)所求得的 是齐次微分方程(11)的解。
2.4.3 状态转移矩阵 基本性质 E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y与线性定常系统的转移矩阵类似，同样有：因为：且故式(15)成立2） ，见式（14）15）1）3）（16） E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y因为从式(14)和式(15)可得：或 那么无论右乘 ，或左乘 ，式(16)都成立，故 是非奇异阵，其逆存在，且等于 4）见式（13）在这里， 一般是不能交换的2.4.4 线性时变系统非齐次状态方程式的解 E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y线性时变系统的非齐次状态方程为：且 的元素在时间区间 内分段连续，则其解为：（17）（18） 证明 线性系统满足叠加原理，故可将式(17)的解看成由初始状态 的转移和控制作用激励的状态 的转移两部分组成。
即（19）代入式(17)，有： E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y即可知：在t t～t t区间积分，有：于是 E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y 在式(19)中令 ，并注意到中 ，可知 ，这样由上式即可得到式(18)2.4.5 状态转移矩阵的计算因为 A A 是常数矩阵，所以上式直接表示为：在定常系统中，齐次状态方程 的解是：式中， ，只与 有关 E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y在时变系统中，齐次状态方程 的解，一般的表示为：前已证明，只有当 是可交换时，即（20）才有：在一般情况下 对于不满足式(20)的时变系统， 的计算，一般采用级数近似法，即 E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y（21） 这个关系式的证明是十分简单的，只需验证它满足式(13)的矩阵方程和式(14)的起始条件即可。
可知式(21)满足式(13)和式(14) E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y2.5* 离散时间系统状态方程的解2.5.1 递推法线性定常离散时问控制系统的状态方程为：这个一阵差分方程 的解为：或（1） E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y即（2）2.5.2 Z Z 变换法 对于线性定常离散系统的状态方程，也可以来用 Z Z 变换法来求解 设定常离散系统的状态方程是：对上式两端进行 Z Z 变换，有：或 E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y所以：对上式两端取 Z Z 的反变换，得：(3)对式2)和式(3)比较，有：（4）（5） 如果要获得采样瞬时之问的状态和输出，只需在此采样周期内，即在 内，利用连续状态方程解的表达式： E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y 为了突出地表示f的有效期在 ，可以令 (这里0≤△≤10≤△≤1)于是上式变成：（6） 显然，这个公式的形式和离散状态方程是完全一致的，如果使△△的值在0和1之间变动，那么便可获得采样瞬时之间全部的状态和输出信息。
将式(2)和式(3)比较，有（7）（8）二者形式上虽有不同，但实际上是完全一样的 E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y2.6* 连续时间状态空间表达式的离散化2.6.1 离散化方法对于连续时间的状态空间表达式：将其离散化之后．则得离散时间状态空问表达式为：C C 和 D D 则仍与式(1)中的一样1）（2）式中（4）（3） E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y2.6.2 近似离散化 在采样周期 T T 较小时，一般当其为系统最小时间常数的l/10左右时，离散化的状态方程可近似表示为：（5）也就是说：（6）（7）证明 根据导数的定义： E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y以此代入 中，得现讨论 这一段的导数，有：整理后，即得式(5)。
2.6.3 线性时变系统的离散化1．线性时变系统离散化设原系统状态空间表达式为： E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y离散化之后的状态空间表达式为： 仿照时不变系统的证明方法，可以求出上式中的七 ，这里直接写出其结果如下：（8）（11）（9）（10） E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y 式中， 区段内的状态转移矩阵，可以在 附近用泰勒级数展开作近似计算：（12）考虑到 的下列性质： E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y 将以上诸式代人式(12)，并在 T T 很小时忽略 T T 的二次幂以上的高阶项，可得 的近似计算式：（13）据此，按式(11)不难求得 。
也可仿本节中介绍的近似离散化的方法，得近似的计算公式如下：（15）（14） E EA AS ST T C CHHI INNA A I INNS ST TI IT TU UT TE E OOF F T TE EC CHHNNOOL LOOg gy y2．离散化时变状态方程的解仿离散化定常状态方程解式时变状态方程式(9)的解为：（16）（17）式中， 应满足以下条件：本章完本章完 。