1995年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题.)、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上(1)设1f(x)-x,则f(n)(x).1x⑵设zxyf(y),f(U)可导，则X乙VZyx⑶设f(Inx)1x,则f(x).100⑷设A220,a是A的伴随矩阵，则(A)345⑸设X1,X2/-,Xn是来自正态总体N(,2)的简单随机样本,其中参数和2未知,1nn记X丄XiQ2(XiX)2,则假设H0的t检验使用统计量tni1i1二、选择题合题目要求二、选择题合题目要求(本题共5小题，每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一项符,把所选项前的字母填在题后的括号内.)f(1)f(1x)(1)设f(x)为可导函数，且满足条件limx2x1,则曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为(A)2(A)2(B)(C)(D)(2) 下列广义积分发散的是(A)：1dx1sinx(A)：1dx1sinx(B)(C)0e"dx(D)⑶设矩阵Amn的秩为r(A)Em为m阶单位矩阵，下述结论中正确的是()(A) A的任意m个行向量必线性无关(B) A的任意一个m阶子式不等于零(C) 若矩阵B满足BA0,则B0(D) A通过初等行变换,必可以化为(Em,0)的形式⑷设随机变量X和Y独立同分布，记UXY,VXY,则随机变量U与V必然、(本题满分6分)4(1cosx),x0x设f(x)1,x0,试讨论f(x)在x0处的连续性和可导性1x2.0costdt,xx0(5)设随即变量X服从正态分布N((5)设随即变量X服从正态分布N(2),则随的增大，概率PX(A)单调增大(B)单调减少(C)保持不变(D)增减不定四、(本题满分6分)已知连续函数f(x)满足条件f(x)已知连续函数f(x)满足条件f(x)3xtcf-dte2x,求f(x).o五、(本题满分6分)将函数yln(1x2x2)展成x的幕级数，并指出其收敛区间六、(本题满分5分)计算min{x,y}e(xy)dxdy.七、(本题满分6分)设某产品的需求函数为(p),收益函数为RpQ,其中p为产品价格，Q为需求p0,对应产量为Qo时,边际收益p0,对应产量为Qo时,边际收益dRdQa0,收益对价格的边际效应dRdppPoc0,需求对价格的弹性Epb1.量(产品的产量),Q(p)为单调减函数•如果当价格为求Po和Qo•八、(本题满分6分)设f(x)、g(x)在区间[a,a](a0)上连续,g(x)为偶函数，且f(x)满足条件f(x)f(x)A(A为常数)•aa(1)证明f(x)g(x)dxAg(x)dx；a0(2)利用⑴的结论计算定积分2|sinxarctanexdx•2九、(本题满分9分)已知向量组(I)!,2,3；(n)1,2,3,4；(川)1,2,3分别为r(I)r(ll)3,r(III)4.证明：向量组1,2,3,54的秩为4.十、(本题满分10分)已知二次型f(x-!,x2,x3)4x；3x34x^24x1x38x2x3.(1) 写出二次型f的矩阵表达式；(2) 用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵十一、(本题满分8分)假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.70可以直接出厂；以概率经调试后以概率0.80可以出厂；以概率0.20定为不合格品不能出厂n(n2)台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立).求：(1)全部能出厂的概率；(2)其中恰好有两台不能出厂的概率；(3) 其中至少有两台不能出厂的概率5,如果各向量组的秩0.30需进一步调试.现该厂新生产了十二、(本题满分8分)已知随机变量X和Y的联合概率密度为f(x,y)4xy,0x1,0y1,0,其他，求X和Y联合分布函数F(x,y)•1995年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】2(1)nn!(1nx)所以【解析】由于f(x)总12(1x)11,⑵【答案】所以f(X)f(x)f(n)(x)2xyf—x1)(1X)2,1)(2)(1x)3,…,2(1)nn!(1x)【解析】根据复合函数求导法则Zxzyxzx(n1)2(1)nn!(1n1■x)yzyxyfxyf【相关知识点】复合函数求导法则:⑶【答案】xexC【解析】在f(Inx)f(t)1⑷【答案】-2103【解析】由AAy2f1x中令Inxxf_yxyfxyf1etdttyf_yx2xyf(f(x))的导数为y(f(x))ft,则f(t)1et,从而f(x)xexC._yx(x).AE,有AAE,故AA.100A22010,345所以10⑸【答案】q，:n(n1)【解析】假设检验是统计推断的另一个基本问题，它是根据具体情况和问题的要求，首先提出原假设H0,再由样本提供的信息，通过适当的方法来判断对总体所作的假设H0是否成立•首先分析该题是属于一个正态总体方差未知的关于期望值的假设检验问题•据此类型应该选取t检验的统计量是爲1)爲1)(XiX)21).经过化简得【相关知识点】假设检验的一般步骤：(1) 确定所要检验的基本假设H°；选择检验的统计量，并要求知道其在一定条件下的分布；(2) 对确定的显著性水平，查相应的概率分布，得临界值，从而确定否定域；由样本计算统计量，并判断其是否落入否定域，从而对假设H。
作出拒绝还是接受的判断•(1)【答案】(D)【解析】因、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.)f(1)limf(15f(1)色XXlimf(1x)f(1)X0X0limX0f(1)f(1x)Xf(1)f(1x)2x2,所以应选(D).(2)【答案】(A)【解析】由计算知arcsinx11厂dx2xln2xInx21ln2e"dx且泊松积分故应选(A).注：对于本题选项(A),由于当x0时sinx0,故在积分区间［1,1］中x0是瑕点,反常11积分—dx应分解为两个反常积分之和1sinx11而且1sinx11而且1sinx由于广义积分1^^dx1sinx011sinxdx收敛的充要条件是两个反常积分11dx0sinxInxtan—2dx110sinx—dx与dx,1sinx111dx都收敛•0sinx11即——dx发散，故0sinx在此不可误以为11——dx发散•1sinx1是奇sinx函数，于是dx0,从而得出它是收敛的错误结论1sinx(3)【答案】(C)【解析】r(A)m表示A中有m个列向量线性无关，有m阶子式不等于零，并不是任意的，因此(A)、(B)均不正确•经初等变换可把A化成标准形，一般应当既有初等行变换也有初等列变换，只用一种不010一定能化为标准形•例如，只用初等行变换就不能化成(E2，0)的形式，故(D)不正001确•关于(C)，由BA0知r(B)r(A)m，又r(A)m，从而r(B)0，按定义又有r(B)0,于是r(B)0,即B0•故应选(C)•⑷【答案】(D)【解析】Cov(U,V)Cov(XY,XY).Cov(X,XY)Cov(Y,XY)Cov(X,X)Cov(X,Y)Cov(Y,X)Cov(Y,Y)DXDY.由于X和Y同分布，因此DXDY,于是有Cov(U,V)0.由相关系数的计算公式Cov(X,Y)DX；DY'所以U与V的相关系数也为零【相关知识点】协方差的性质：,应选(D).Cov(aX,bY)abCov(X,Y)；Cov(XiX2,Y)Cov(Xi,Y)Cov(X2,Y).⑸【答案】(C)【解析】由于X---N(,2),将此正态分布标准化,故N0,1|XPXP—-1211计算看出概率PX的值与大小无关.所以本题应选(C).三、(本题满分6分)【解析】这是一道讨论分段函数在分界点处的连续性和可导性的问题.一般要用连续性与可导性的定义并借助函数在分界点处的左极限与右极限以及左导数和右导数limf(x)x0limx02(1cosx)limx0cost2dtlimf(x)x0limx02^x21,2cosxdlim1,x011x2.1f(x)f(0)costdtlimx0limx0x0x0xx14lim0costdtXlim2cosx1limx/一2x0xx02xx02xf(0),即f(x)在x0处连续.f(0)0,故f(00)f(00)f(0)limx02(1cosx)3~x2sinx2xlim厂x03xlimx02(cosx1)6x即f(0)f(0)0,故f(x)在x0处可导，且f(0)0.四、(本题满分6分)【解析】首先，在变上限定积分中引入新变量3xtfdt03x0f(s)ds.代入题设函数f(x)所满足的关系式,得f(x)30f(s)dse2x.在上式中令x0得f(0)1,将上式两端对x求导数得f(x)3f(x)2e2x.由此可见f(x)是一阶线性方程f(x)3f(x)2e2x满足初始条件f(0)1的特解•3x同乘方程两端，得f(x)e3x2ex,积分即得f(x)Ce3x2e2x.由f(0)1可确定常数C3,于是，所求的函数是f(x)3e32e2x.五、(本题满分6分)【解析】由12x2x(12x)(1x)知ln(12x2)ln(12x)ln(1x).因为ln(1x)x2x3nn1x(1)—n其收敛区间为1,1)；ln(12x)2x)(2x)2(2x)3其收敛区间为于是有ln(1x2x2)n其收敛区间为1)1(2x)nn1)n1)n1(2x)nnO^xnn1nn0(R,R)；若其收敛半径是,则收敛区间是).六、(。