滚动卷(一)(含一、二章)(时间:120分钟 满分:150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若直线l1:ax+3y+1=0与l2:2x+(a+1)y+1=0互相平行,则a的值是( A )(A)-3 (B)2(C)-3或2 (D)3或-22.直线l:ax-y+b=0,圆M:x2+y2-2ax+2by=0,则直线l与圆M在同一坐标系中的图形可能是( B )解析:由直线的斜率a与在y轴上的截距b的符号,可判定圆心位置,又圆过原点,故选B.3.若圆x2+y2=4和圆x2+y2+4x-4y+4=0关于直线l对称,则直线l的方程为( D )(A)x+y=0 (B)x+y-2=0(C)x-y-2=0 (D)x-y+2=0解析:l为两圆圆心连线的垂直平分线,(0,0)与(-2,2)的中点为(-1,1),k=1,所以y-1=x+1,即x-y+2=0.故选D.4.如图所示,正方体ABCD-A′B′C′D′中,M是AB的中点,则sin的值为( B )(A)12 (B)21015(C)23 (D)1115解析:以DA,DC,DD′所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系D-xyz,(图略)设正方体棱长为1,则D(0,0,0),B′(1,1,1),C(0,1,0),M(1,12,0),则DB→=(1,1,1),CM→=(1,-12,0）,cos=1515,则sin=21015故选B.5.设x+2y=1,x≥0,y≥0,则x2+y2的最小值和最大值分别为( A )(A)15,1 (B)0,1 (C)0,15 (D)15,2解析:x2+y2为线段AB上的点与原点的距离的平方,由数形结合知,O到线段AB的距离的平方为最小值,即d2=15,|OB|2=1为最大值.故选A.6.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是正方形ADD1A1和ABCD的中心,G是CC1的中点,设GF、C1E与AB所成的角分别为α,β,则α+β等于( D )(A)120(B)60(C)75(D)90解析:建立空间坐标系如图,设正方体的棱长为2,则B(2,0,0),A(2,2,0),G(0,0,1),F(1,1,0),C1(0,0,2)，E(1,2,1).则BA→=(0,2,0),GF→=(1,1,-1),C1E→=(1,2,-1),所以cos=|BA→GF→||BA→||GF→|=13,cos=|BA→C1E→||BA→||C1E→|=23,所以cos α=13,sin α=23,cos β=23,sin β=13,cos(α+β)=0,所以α+β=90.故选D.7.过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|等于( C )(A)26 (B)8 (C)46 (D)10解析:设圆心为P(a,b),由点A(1,3),C(1,-7)在圆上,知b=3-72=-2,再由|PA|=|PB|,得a=1.则P(1,-2),|PA|=(1-1)2+(3+2)2=5,于是圆P的方程为(x-1)2+(y+2)2=25.令x=0,得y=-226,则|MN|=|(-2+26)-(-2-26)|=46.故选C.8.如图,AB=AC=BD=1,AB⊂面M,AC⊥面M,BD⊥AB,BD与面M成30角,则C、D间的距离为( C )(A)1 (B)2(C)2 (D)3解析:|CD→|2=|CA→+AB→+BD→|2=|CA→|2+|AB→|2+|BD→|2+2CA→AB→+2AB→BD→+2CA→BD→=1+1+1+0+0+211cos 120=2.所以|CD→|=2.故选C二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.已知圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,则下列说法中正确的是( ABD )(A)圆M的圆心为(4,-3)(B)圆M被x轴截得的弦长为8(C)圆M的半径为25(D)圆M被y轴截得的弦长为6解析:圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,则(x-4)2+(y+3)2=25.圆的圆心坐标(4,-3),半径为5.显然选项C不正确.ABD均正确.故选ABD.10.已知ABCDA1B1C1D1为正方体,下列说法中正确的是( AB )(A)(A1A→+A1D1→+A1B1→)2=3(A1B1→)2(B)A1C→(A1B1→-A1A→)=0(C)向量AD1→与向量A1B→的夹角是60(D)正方体ABCDA1B1C1D1的体积为|AB→AA1→AD→|解析:由向量的加法得到A1A→+A1D1→+A1B1→=A1C→,因为A1C2=3A1B12,所以A1C→2=3A1B1→2,所以A正确;因为A1B1→-A1A→=AB1→,AB1⊥A1C,所以A1C→AB1→=0,故B正确;因为△ACD1是等边三角形,所以∠AD1C=60,又A1B∥D1C,所以异面直线AD1与A1B所成的夹角为60,但是向量AD1→与向量A1B→的夹角是120,故C不正确;因为AB⊥AA1,所以AB→AA1→=0,故|AB→AA1→AD→|=0,因此D不正确.故选AB.11.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-4x=0.若直线y=k(x+1)上存在一点P,使过P所作的圆的两条切线相互垂直,则实数k的取值可以是( AB )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:圆C的方程为x2+y2-4x=0,则圆心为C(2,0),半径R=2.设两个切点分别为A、B,则由题意可得四边形PACB为正方形,故有|PC|=2R=22,所以圆心到直线y=k(x+1)的距离小于或等于|PC|=22,即|2k-0+k|k2+1≤22,解得k2≤8,可得-22≤k≤22,所以实数k的取值可以是1,2.故选AB.12.定义空间两个向量的一种运算a⊗b=|a||b|sin,则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有( AD )(A)a⊗b=b⊗a(B)λ(a⊗b)=(λa)⊗b(C)(a+b)⊗c=(a⊗c)+(b⊗c)(D)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊗b=|x1y2-x2y1|解析:对于A,a⊗b=|a||b|sin,b⊗a=|b||a|sin,故a⊗b=b⊗a恒成立;对于B:λ(a⊗b)=λ(|a||b|sin),(λa)⊗b=|λ||a||b|sin<λa,b>,故λ(a⊗b)=(λa)⊗b不会恒成立;对于C,若a=λb,且λ>0,(a+b)⊗c=(1+λ)|b||c|sin,(a⊗c)+(b⊗c)=|λb||c|sin+|b||c|sin=(1+|λ|)|b||c|sin,因为|1+λ|与1+|λ|不恒等,显然(a+b)⊗c=(a⊗c)+(b⊗c)不会恒成立;对于D,cos=x1x2+y1y2|a||b|,sin=1-(x1x2+y1y2|a||b|)2即有a⊗b=|a||b|1-(x1x2+y1y2|a||b|)2=|a||b|2-(x1x2+y1y2|a|)2=x12+y12x22+y22-(x1x2+y1y2x12+y12)2=(x12+y12)(x22+y22)-(x1x2+y1y2)2=x12y22+x22y12-2x1x2y1y2=|x1y2-x2y1|.则a⊗b=|x1y2-x2y1|恒成立,故选AD.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.不论a为何实数,直线(a+3)x+(2a-1)y+7=0恒过第 象限.解析:直线方程可变形为:(3x-y+7)+a(x+2y)=0.由3x-y+7=0,x+2y=0,得x=-2,y=1.所以直线过定点(-2,1).因此直线必定过第二象限.答案:二14.在四棱锥P-ABCD中,AB→=(4,-2,3),AD→=(-4,1,0),AP→=(-6,2,-8),则该四棱锥的高为 .解析:四棱锥P-ABCD中,AB→=(4,-2,3),AD→=(-4,1,0),AP→=(-6,2,-8),设平面ABCD的法向量为 n=(x,y,z),则nAB→=0,nAD→=0,可得4x-2y+3z=0,-4x+y=0,不妨令x=3,则y=12,z=4,可得n=(3,12,4),则AP→=(-6,2,-8)在平面ABCD上的射影就是这个四棱锥的高h,所以h=|AP→| |cos|=|AP→n|n||=|-18+24-32|13=2,所以该四棱锥的高为2.答案:215.已知圆心在x轴上,半径为2的圆O位于y轴左侧,且与直线x+y=0相切,则圆O的方程是 .解析:设圆心坐标为(a,0)(a<0),则由圆心到直线的距离为2知|a|2=2,故a=-2,因此圆O的方程为(x+2)2+y2=2.答案:(x+2)2+y2=216.已知正四棱台ABCDA1B1C1D1中,上底面A1B1C1D1边长为1,下底面ABCD边长为2,侧棱与底面所成的角为60,则异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为 .解析:设上、下底面中心分别为O1、O,则OO1⊥平面ABCD,以O为原点,直线BD、AC、OO1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.AB=2,A1B1=1,所以AC=BD=22,A1C1=B1D1=2.因为平面BDD1B1⊥平面ABCD,所以∠B1BO为侧棱与底面所成的角,所以∠B1BO=60,设棱台高为h,则tan 60=ℎ2-22,所以h=62,所以A(0,-2,0),D1(-22,0,62),B1(22,0,62),C(0,2,0),所以AD1→=(-22,2,62),B1C→=(-22,2,-62),所以cos=AD1→B1C→|AD1→||B1C→|=14,故异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为14.答案:14四、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知过点A(-1,0)的动直线l与圆C:x2+(y-3)2=4相交于P,Q两点,M是PQ的中点,l与直线m:x+3y+6=0相交于N.(1)求证:当l与m垂直时,l必过圆心C;(2)当|PQ|=23时,求直线l的方程.(1)证明:因为l与m垂直,且km=-13,所以kl=3,故直线l的方程为y=3(x+1),即3x-y+3=0.因为圆心坐标为(0,3)满足直线l方程,所以当l与m垂直时,l必过圆心C.(2)解:当直线l与x轴垂直时,易知x=-1符合题意.当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+1),即kx-y+k=0,因为|PQ|=23,所以|CM|=4-。