有限元分析及应用Finite Element Analysis and Application第一章 绪论1-1 工程和科学中典型问题在工程技术领域内，经常会遇到两类典型的问题第一类问题 ，可以归结为有限个已知单元体的组合例如，材料力学中的连续梁 、建筑结构框架和桁架结构把这类问题称为离散系统如左图所示 平面桁架结构，是由6个承受轴向力的“杆单元”组成尽管离散系统 是可解的，但是求解右图这类复杂的离散系统，要依靠计算机技术 1-1工程和科学中典型问题第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程 和相应的边界条件例如弹性力学问题，热传导问题，电磁场问题等 由于建立基本方程所研究的对象通常是无限小的单元，这类问题称 为连续系统，或场问题尽管已经建立了连续系统 的基本方程，由于边界条件 的限制，通常只能得到少数 简单问题的精确解答对于 许多实际的工程问题，还无 法给出精确的解答，例如图 示V6引擎在工作中的温度分 布为解决这个困难，工程 师们和数学家们提出了许多 近似方法1-2 场问题的一般描述 ---微分方程+边界条件1) 应力场----弹性力学 2) 温度场----热传导 3) 电磁场----电磁学 4) 流速场----流体力学A、B----微分算子（如对坐 标或时间的微分） u----未知场函数，可为标量 场（如温度），也可为矢 量场（如位移、应变、应 力等）• 基本方程：• 边界条件：实例：二维热传导（稳态）问题•原理：从两个方向传入微元体的热量与微元体内热源 产生的热量Q平衡数值计算方法分类特 点优缺点差分法离散求解域；差分代替微分 ；解代数方程组要求规则边界，几何 形状复杂时精度低等效积分法 （加权余量法 或泛函变分法 ）整体场函数用近似函数代替 ；微分方程及定解条件的等 效积分转化为某个泛函的变 分，--求极值问题适合简单问题，复杂 问题很难解决有限元法离散求解域；分片连续函数 近似整体未知场函数；解线 形方程组节点可任意配置，边 界适应性好；适应任 意支撑条件和载荷； 计算精度与网格疏密 和单元形态有关，精 度可控1-3 有限元法基本思想• 先将求解域离散为有限个单元，单元与单元只在节点 相互连接；----即原始连续求解域用有限个单元的集合 近似代替 • 对每个单元选择一个简单的场函数近似表示真实场函 数在其上的分布规律，该简单函数可由单元节点上物 理量来表示----通常称为插值函数或位移函数• 基于问题的基本方程，建立单元节点的平衡方程（即 单元刚度方程） • 借助于矩阵表示，把所有单元的刚度方程组合成整体 的刚度方程，这是一组以节点物理量为未知量的线形 方程组，引入边界条件求解该方程组即可。
1-3 有限元法基本思想实例1(离散系统)结构离散• 节点位移向量表示：• 节点力向量表示：• 节点1沿x方向的位移 、其余节点位移全为 0时轴向压力为： 实例1（单元分析）• 节点1作用于单元1上的力，在x和y方向的分量分别为： • 同理，节点2作用于单元1上的力，其大小与之相等， 方向相反，x和y方向的分量分别记为： 注： 表示第e个单元的第j个自由度产生单位位移，而其 它自由度上的位移为零时，第i个自由度上所受的力常 称其为单元的刚度系数 实例1（单元分析）• 同理可求 分别作单位位移时相应的刚度系 数，考虑到节点的实际受力为 和实际 位移为 ，则据各个节点节点力平衡得： • 单元1节点力平衡方程• 单元2节点力平衡方程实例1（整体分析）• 整体分析： 作用于每个节点上的节点力平 衡，即• 结合前式推导得：实例1（引入约束求解）• 整体矩阵记为： • 将 代 入可得整体方程实例2 （连续问题）通过材料力学求解和有限元求解进行比较 例：等截面直杆在自重作用下的拉伸 图(a) 单位杆长重量为q，杆长为L，截面面积为A，弹性模数为E实例2材料力学方法求解直杆拉伸： 图(b)---位移法考虑微段dx，内力 N=q (L-x)dx的伸长为x截面上的位移：根据几何方程求应变，物理方程求应力。
这里应变应力实例2 （结构离散）有限单元法求解直杆拉伸： 1、离散化2、外载荷集中到结点上，即把投 影部分的重量作用在结点i上实例2 （单元分析）有限单元法求解直杆拉伸： 3、假设线单元上的位移为线性函数实例2 （单元分析）有限单元法求解直杆拉伸： 4、以i结点为对象，列力的平衡方程令 将位移和内力的关系代入得 用结点位移表示的平衡方程，其中i=1，2，… n有n个方程 未知数也有n个，解方程组，得出结点位移，进而计算应力 实例2 （整体分析与求解）有限单元法求解直杆拉伸： 假设线单元数为3个的情况， 平衡方程有3个： i=1时，i=2时,i=3时， 联立解得 与材料力学的精确解答在结点处完全相同1-4 有限元法的基本步骤• 所研究问题的数 学建模 • 物体离散 • 单元分析 • 整体分析与求解 • 结果分析及后处 理力学模型 (平面应力问题)有限元模型1-5 有限单元法的形成与发展在寻找连续系统求解方法的过程中，工程师和数学家从两种不同 的路线得到了相同的结果，即有限元法有限元法的形成可以回顾到 二十世纪50年代，来源于固体力学中矩阵结构法的发展和工程师对结 构相似性的直觉判断。
从固体力学的角度来看，桁架结构等标准离散 系统与人为分割成有限个分区后的连续系统在结构上存在相似性1956年M.J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp在纽约举行 的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵位移法推广到求 解平面应力问题他们把结构划分成一个个三角形和矩形的“单元”， 利用单元中近似位移函数，求得单元节点力与节点位移关系的单元刚 度矩阵1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程杂志上发表了一组能量原理 和结构分析论文1960年，Clough在他的名为“The finite element in plane stress analysis”的论文中首次提出了有限元（finite element）这一术语1-5 有限单元法的形成与发展数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变分 原理和加权余量法在1963年前后，经过J.F.Besseling, R.J.Melosh, R.E.Jones, R.H.Gallaher, T.H.Pian（卞学磺）等许多人的工作，认识到有限元 法就是变分原理中Ritz近似法的一种变形，发展了用各种不同变分原 理导出的有限元计算公式。
1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（张佑启）发现只要能写成 变分形式的所有场问题，都可以用与固体力学有限元法的相同步骤求 解1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加权余量法特别是Galerkin 法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题1-5 有限单元法的形成与发展我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献，其 中比较著名的有：陈伯屏（结构矩阵方法），钱令希（余能原理）， 钱伟长（广义变分原理），胡海昌（广义变分原理），冯康（有限单 元法理论）遗憾的是，从1966年开始的近十年期间，我国的研究工 作受到阻碍有限元法不仅能应用于结构分析，还能解决归结为场问题的工程 问题，从二十世纪六十年代中期以来，有限元法得到了巨大的发展， 为工程设计和优化提供了有力的工具有限元法是一种数值计算方法可广泛应用于各种微分方程描述 的场问题的求解1-6 有限元法的几个热点问题• 新型单元的研究1、面向特性材料（如复合材料）的单元位移模式研究2、面向几何设计的新型单元（如超单元）的研究 • 面向物理问题的有限元建模如有限元建模专家系统、决策支持系统、网格划分算法 等 • 有限元法计算速度的研究如并行计算等 • 结构优化1-7 有限元法的基本概念•结构离散（有限元建模） •内容：1）网格划分---即把结构按一定规则分割成有限单 元2）边界处理---即把作用于结构边界上约束和载荷处 理为节点约束和节点载荷 •要求：1）离散结构必须与原始结构保形----单元的几何特 性2）一个单元内的物理特性必须相同----单元的物理 特性单元与节点•单元：即原始结构离散后， 满足一定几何特性和物理特 性的最小结构域 •节点：单元与单元间的连接 点。
•节点力：单元与单元间通过 节点的相互作用力 •节点载荷：作用于节点上的 外载 注意：1)节点是有限元法的重要概念，有 限元模型中，相邻单元的作用通过节 点传递，而单元边界不传递力，这是 离散结构与实际结构的重大差别；2）节点力与节点载荷的差别节点载荷节点力非法结构离散不同材料节点不合法典 型 单 元 类 型单元类型单元图形节点数节点自由度 杆单元22梁单元23平面单元32平面四边形42轴对称问题32板壳单元43四面体单元43插值函数（或位移函数）• 用以表示单元内物理量变化（如位移或位移场）的近 似函数由于该近似函数常由单元节点物理量值插值 构成，故称为插值函数，如单元内物理量为位移，则 该函数称为位移函数 • 选择位移函数的一般原则： 1）位移函数在单元节点的值应等于节点位移（即单元内部是连 续的）； 2）所选位移函数必须保证有限元的解收敛于真实解注：为了便于微积分运算，位移函数一般采用多项式形式，在单 元内选取适当阶次的多项式可得到与真实解接近的近似解1-8 位移函数的构造方法• 广义坐标法一维单元位移函数：为待定系数，也称为广义 坐标1-8 位移函数的构造方法• 插值函数法 即将位移函数表示为各个节点位移与 已知插值基函数积的和。
如一维单元• 二维单元注：Ni可为Lagrange、 Hamiton多项式或形函数 ，在+1~-1间变化1-9 有限元法的收敛准则•影响有限元解的误差：1）离散误差 2）位移函数误差 •收敛准则： – 1）位移函数必须包括常量应变（即线形项）； – 2）位移函数必须包括单元的刚性位移（即常量项）； – 3）位移函数在单元内部必须连续（连续性条件）； – 4）位移函数应使得相邻单元间的位移协调（协调性条件）；注：上述四个条件称为有限元解收敛于真实解的充分条件；前三 个条件称为必要条件满足四个条件的位移函数构成的单元称 为协调元；满足前三个条件的单元称为非协调元；满足前两个 条件的单元称为完备元。