二重积分的对称性：If ( x, y)dD⑴若 D 关于 y 轴 (x0) 对称，①若 f ( x, y)f ( x, y), 则 I0，②若 f ( x, y)f ( x, y), 则 I2f ( x, y)d ， D1 ： x 0D1⑵若 D 关于 x 轴 ( y0) 对称，①若 f ( x, y)f ( x, y), 则 I0，②若 f ( x, y)f ( x, y), 则 I2f ( x, y)d ， D 2 ： y 0D2三重积分的对称性：If ( x, y, z) dv⑴若 关于 xoy面(z 0) 对称，①若 f ( x, y,z)f ( x, y, z), 则 I0，②若 f ( x, y,z)f ( x, y, z), 则 I2f ( x, y, z)dv, 1： z 01⑵若关于 yoz面 ( x0) 对称，①若 f (x, y, z)f ( x, y, z), 则 I0，②若 f (x, y, z)f (x, y, z), 则 I2f (x, y, z)dv,2 ： x02⑶若关于 xoz 面 ( y0) 对称，①若 f (x, y, z)f ( x, y, z), 则 I0 ，②若 f (x, y, z)f ( x, y, z), 则 I2f (x, y, z)dv,3 ： y03轮换对称性： 设 关于 x, y, z 具有轮换对称性 ( 既若 ( x, y, z) ，则将x, y, z 任意互换后的点也属于 ) ，则被积函数中的自变量可以任意轮换而不改变积分值：f ( x, y, z)dv f ( y, z, x) dv f ( z, y, x)dv特别： f (x)dv f ( y)dv f (z)dv从而 [ f (x) f ( y) f (z)] dv 3 f (x)dv1第一型曲线积分的对称性：If (x, y) dsL⑴若曲线 L 关于 x0对称 ,①若 f (x, y)f ( x, y), 则 I0 ，②若 f (x, y)f ( x, y), 则 I2f ( x, y) ds,L1 ： x0L1⑵若曲线 L 关于 y0对称 ,①若 f ( x, y)f (x, y), 则 I0，②若 f ( x, y)f ( x, y), 则 I2f ( x, y) ds,L2 ： y0L2If ( x, y, z) dsL②若 f (x, y, z)f ( x, y, z), 则 I⑶若曲线 L 关于 z0对称 ,①若 f (x, y,z)f ( x, y, z), 则 I②若 f (x, y,z)f ( x, y, z), 则 I第一型曲面积分的对称性：I f ( x, y, z)dS⑴若 关于 xoy 面 ( z 0) 对称，①若 f (x, y, z) f ( x, y, z), 则 I②若 f (x, y, z) f ( x, y, z), 则 I2f (x, y, z) ds, L2 ： y 0L20 ，2f (x, y, z) ds, L3 ： z 0L30 ，f ( x, y, z)dS ，1 ： z 01⑴若曲线 L 关于 x0对称 ,⑵若关于 yoz面 ( x0) 对称，①若 f (x, y, z)f ( x, y, z), 则 I①若 f (x, y, z)f ( x, y, z), 则 I0，②若 f (x, y, z)f ( x, y, z), 则 I②若 f (x, y, z)f (x, y, z), 则 I2f ( x, y, z) ds, L1 ： x 0L1⑵若曲线 L 关于 y0对称 ,⑶若关于 xoz 面 ( y0) 对称，①若 f ( x, y, z)f ( x, y, z), 则 I0①若 f (x, y, z)f ( x, y, z), 则 I，②若 f (x, y, z)f ( x, y, z), 则 I0 ，f (x, y, z) dS ，2 ： x 010 ，f ( x, y, z)dS ，3 ： y 012。