一、饱和土壤水流动的达西定律二、非饱和土壤水流动的达西定律三、非饱和土壤水分运动的基本方程四、土壤水分运动的通量法2.4 土壤水分运动的基本方程 1856年法国水力学家、工程师达西通过饱和砂层的渗透试验，提出了著名的 达西定律 通过饱和砂层的水流通量 q（单位时间通过单位面积砂层的水量），即渗透速率 v与水力梯度成正比Henry Darcy(1803-1858)一、饱和土壤水流动的达西定律一、饱和土壤水流动的达西定律19世纪中叶非恒定流动或非均质土非恒定流动或非均质土q = -Ks(dH /dL)达西定律(线性渗透定律，1856年)H为总水头，ΔΔ H为渗流路径始末的总水头差， (ΔΔ H / L或dH/dL)为水力梯度，Ks为饱和导水率（单位势梯度下土壤水的通量，在水势用水势头时，导水率的单位与通量单位相同，cm/s或 m/d ），负号表示水流方向和水势梯度方向相反恒定流动均质土恒定流动均质土q = -Ks(ΔΔH / L)达西定律由砂质土壤实验得到，也应用于粘土等它只适用于层流状态，当水流呈紊流状态时，水通量与水势梯度的关系不是线性的，达西定律不再适用当渗透速度较小时，渗透的沿程水头损失与流速的一次方成正比。
砂土、粘土中的渗透速度很小，其渗流可以看作是一种水流流线互相平行的流动 -层流，渗流运动规律符合达西定律，渗透速度 v与水力梯度i 的关系可在 v-i坐标系中表示成一条直线，如图 (a)所示少数粘土（如颗粒极细的高压缩性土，可自由膨胀的粘性土等）的渗透试验表明，它们的渗透存在一个起始水力梯度ib，这种土只有在达到起始水力梯度后才能发生渗透这类土在发生渗透后，其渗透速度仍可近似的用直线表示，即 v=k(i－ ib)，如图 (a)中曲线②所示达西定律的适用范围High细粒土的 v-i关系 (a)粗粒土的 v-i关系 (b)①砂土、一般粘土②颗粒极细的粘土粗颗粒土（如砾、卵石等）的试验结果如图 (b)所示 , 由于其孔隙很大，当水力梯度较小时，流速不大，渗流可认为是层流 , v-i关系成线性变化，达西定律也适用当水力梯度较大时，流速增大，渗流呈紊流状态，这时 v-i关系呈非线性变化 , 达西定律不再适用饱和导水率或渗透系数 Ks的确定饱和导水率 Ks是综合反映土壤导水性能的一个指标影响饱和导水率大小的因素很多，主要取决于土壤颗粒的形状、大小、不均匀系数和水的粘滞性等要建立计算饱和导水率的精确理论公式比较困难，通常可通过试验方法或经验估算法来确定Ks值。
1. 实验室测定法实验室测定饱和导水率 Ks值的方法称为室内渗透试验，根据所用试验装置的差异又分为定水头试验和变水头试验High定水头试验的过程见图试验时定水头试验的过程见图试验时将高度为将高度为l，，横截面积为横截面积为A的试样装的试样装入垂直放置的圆筒中，从土样的上入垂直放置的圆筒中，从土样的上端注入与现场温度完全相同的水，端注入与现场温度完全相同的水，并用溢水口使水头保持不变土样并用溢水口使水头保持不变土样在不变的水头差△在不变的水头差△h作用下产生渗作用下产生渗流，当渗流达到稳定后流，当渗流达到稳定后,量得时间量得时间t内流经试样的水量为内流经试样的水量为Q ，，而土样渗而土样渗流流量流流量q=Q/t，，根据下式可求得：根据下式可求得：①定水头试验恒定水头样品定水头试验适用于透水性较大（定水头试验适用于透水性较大（k >10-3cm/s））的土，应用粒组范围的土，应用粒组范围大致为细砂到中等卵石大致为细砂到中等卵石High当土壤透水性较差时，由于流量当土壤透水性较差时，由于流量太小，加上水的蒸发，使量测非常太小，加上水的蒸发，使量测非常困难，此时宜采用变水头试验测定困难，此时宜采用变水头试验测定k值。
值②变水头试验恒定水头样品变水头试验的过程为：试验时试变水头试验的过程为：试验时试样（截面面积为样（截面面积为A））置于圆筒内，置于圆筒内，圆筒上端与一根细玻璃量管连接，圆筒上端与一根细玻璃量管连接，量管的过水断面积为量管的过水断面积为At水在压力水在压力差作用下经试样渗流差作用下经试样渗流,玻璃量管中的玻璃量管中的水位慢慢下降，即让水柱高度水位慢慢下降，即让水柱高度h0随随时间时间t逐渐减小，然后读取两个时间逐渐减小，然后读取两个时间t0和和t对应的水头高度对应的水头高度h0和和h变水头试验演示变水头试验演示( ) ( )[ ]()0202/lnttRLhLhLrKs−++=2. 田间测定双环法 P70一般只用于地表导水率（稳定入渗率）的测定，这与饱和导水率在数值上相等还可用 Guelph渗透仪测定Clay 10-9– 10-6Silt 10-6– 10-4Silty Sand 10-5– 10-3Sands 10-3– 10-1Gravel 10-2– 1土壤饱和导水率Ks(cm/s)的变化范围ClaySiltSandGravel二、非饱和土壤水流动的达西定律二、非饱和土壤水流动的达西定律1907年， Edgar Buckingham 将达西定律引入非饱和土壤水流，他假定在非饱和土壤水流中，将达西定律公式中的饱和导水率换为非饱和导水率，而且非饱和导水率是土壤基质势 K(ψm)或土壤含水量 K(θ )的函数。
土壤水流的驱动力只包括重力势和基质势Buckingham-Darcy's law土壤饱和流和非饱和流的主要异同点相同点：都适合热力学第二定律和达西定律，即水分从土水势高向土水势低方向的流动不同点：（1 ）土壤水流的驱动力不同饱和土壤土水势包括重力势和 压力势；非饱和土壤土水势包括重力势和 基质势 2 ）导水率不同饱和土壤中孔隙全部充水，导水率是常数，称为饱和导水率 Ks或渗透系数；而非饱和土壤中部分孔隙被水充填，故非饱和导水率或水力传导度的值低于该土壤 Ks，而且非饱和导水率是土壤水基质势或土壤含水量的函数3 ）土壤孔隙对饱和水流和非饱和水流影响有差别粗孔隙是土壤饱和水流良好的通道，孔隙大的土壤透水率高大孔隙发育土壤，非饱和水流时，低吸力下，大孔隙透水性较细孔隙强，但水吸力增加到一定程度时，大孔隙中水被排空，则成为不导水的孔隙，土壤导水率急剧下降细孔隙发育土壤，在较高基质吸力下孔隙仍保持有水，故导水率虽低，但仍保持一定值，所以较高基质吸力下，砂质土壤的非饱和导水率低于粘质土壤对于饱和流和非饱和流，其水势和导水率都有不同的含意和特点： 饱和流 非饱和流 水势组成：pgψψψ += mgψψψ += 流动准则： 高 总水头 低 高 土水势 低 gψ 相对参考平面之高度 Pψ 至地下水面的高度 0=Pϕ mψ 0=mψ 取决于土壤的干湿程度 k sk ，渗透系数 ()θk 水力传导度，为土壤 .constks= 含水率的函数 ()θkks≥ θ ↗ ⇒ ()θk ↗ ()θk 随 θ的减小而减小的原因： a、 when θ↘， 孔隙的实际进水断面面积↘， 因而单位时间内通过单位土 壤面积的水量 q也随之减小，由（ 2.1）式可知， ()θk 亦随之减小。
b、 when θ↘，较大的孔隙排水，水分在较小的孔隙中流动，因而所受阻 力↗，导致孔隙中水流的真实流速降低，因此， ()θk 亦随之减小 c、 when θ↘，水分将趋于在小孔隙中流动，流程愈弯曲，导致实际的水流 梯度愈小（ B•-100cm 100 B•-100cm ∴ 水分由 A 流向 B（入渗） 情形 b: 0 参考平面 0 图 2.1 cmcmBTAT0100100300200500=+−=−=+−=ψψ∵ BTATψψ BAψψ 水分由 A 流向 B 当补给量与溢出量相等时，水流处于恒定状态，此时： dxdqKψ−= i.e. HxqHHxqxqKABΔΔ=−Δ=−Δ−=12ϕϕ（ 2.5）严格来说，土柱内各点θ是变化的，因此由（ 2.5）式求得的 K 是相应平均基质势 )(21BmAmmψψψ += 的值 dxdzdtvyρzvxvyvdxdydzxzydzzvvzz∂∂+dxxvvxx∂∂+dyyvvyy∂∂+dydzdtxvρdydxdtvzρdydxdtvdxdzdtvdydzdtvmzyxiρρρ ++=流入单元体的质量质量守恒原理zvxvyvdxdydzxzydzzvvzz∂∂+dxxvvxx∂∂+dyyvvyy∂∂+流出单元体的质量dydxdtdzzvvzz)(∂∂+ρdxdzdtdyyvvyy)(∂∂+ρdydzdtdxxvvxx)(∂∂+ρdydxdtdzzvvdxdzdtdyyvvdydzdtdxxvvmzzyyxxo)()()(∂∂++∂∂++∂∂+=ρρρdydxdtvdxdzdtvdydzdtvmzyxiρρρ ++=dydxdtdzzvvdxdzdtdyyvvdydzdtdxxvvmzzyyxxo)()()(∂∂++∂∂++∂∂+=ρρρdxdydzdtzvyvxvmmmzyxoi)(1∂∂+∂∂+∂∂−=−=Δ ρ流入和流出单元体的质量差流入流出质量差dxdydzdttm∂∂=Δθρ2微小单元体内质量变化tt+dt)(zvyvxvtzyx∂∂+∂∂+∂∂−=∂∂θ质量守恒原理21mm Δ=Δdxdydzdtzvyvxvmzyx)(1∂∂+∂∂+∂∂−=Δ ρdxdydzdttm∂∂=Δθρ2饱和土壤水流0=∂∂+∂∂+∂∂zvyvxvzyx拉普拉斯方程)(zvyvxvtzyx∂∂+∂∂+∂∂−=∂∂θRichards方程⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂zKzyKyxKxtϕθϕθϕθθ)()()(根据达西定律有：1,, +∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂zhzyhyxhxϕϕϕzKzhKzyhKyxhKxt ∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂ )()()()(θθθθθzh+=ϕ而土壤总水势xKvx∂∂−=ϕθ )(zhzhyhyhxhxh∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂=∂∂ θθθθθθ,,θθθ∂∂=hKD )()(zKzhKzyhKyxhKxt ∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂ )()()()(θθθθθzKzDzyDyxDxt ∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂ )()()()(θθθθθθθθ以含水率θ为变量的基本方程扩散度：单位含水率梯度下，通过单位面积的土壤水流量xhhKxKvx∂∂−=∂∂−= )()(ϕθyhhKyKvy∂∂−=∂∂−= )()(ϕθ)1)(()( +∂∂−=∂∂−=zhhKzKvzϕθ达西定律：以基质势 h为变量的基本方程zhKzhhKzyhhKyxhhKxt ∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂ )()()()(θthht ∂∂∂∂=∂∂ θθzhKzhhKzyhhKyxhhKxthhC∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+⎥。