函数的连续性与间断点

第七节　函数的连续性与间断点一、函数的连续性1． 增量：变量 从初值 变到终值 ，终值与初值的差叫变量 的增量，记x12xx作 ，即 ＝ － （增量可正可负） x12例 1 分析函数 当 由 变到 时，函数值的改变量xy005.0x2．函数在点连续的定义　　定义１：设函数 ＝ 在点 的某个邻域内有定义，如果自变量 的增量)(f0x x= 趋向于零时，对应的函数增 ＝ 也趋向于零，则称函数x0y)(0xf＝ 在点 处连续y)(fx定义２：设函数 ＝ 在点 的某个邻域内有定义，如果函数 当y)(xf0 )(xf时的极限存在，即 ，则称函数 ＝ 在点 处连续0x)(lim0xfxy)(f0定义 3：设函数 ＝ 在点 的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正y)(f0数 ，总存在正数 ，使得对于适合不等式 的一切 ，所对应的函数0xx值 都满足不等式： ，则称函数 ＝ 在点 连续)(xf )(0xf y)(f0注：1、上述的三个定义在本质上是一致的，即函数 在点 连续，必须同x时满足下列三个条件：（1） 函数 ＝ 在点 的某个邻域内有定义（函数y)(xf0＝ 在点 有定义） ， （2） 存在；（3） 。

y)(xf0lim0x)(lim00xffx3．函数 ＝ 在点 处左连续、右连续的定义：)(f0（1）函数 ＝ 在点 处左连续 在 内有定义，且yx)(xf0,x（即 ） )(lim00fxfx)((00ff（2）函数 ＝ 在点 处右连续 在 内有定义，且yxxf0,（即 ） )(li00ffx )((00ff 显然，函数 ＝ 在点 处连续函数 ＝ 在点 处既左连续又右连y)(xf0y)(xf0续3)、函数 ＝ 在点 处连续是 存在的充分条件，而非必要条件)(f0)(lim0fx3、函数在区间上连续的定义定义 4：如果函数 ＝ 在某一区间上每一点都是连续的（如果此区间包含y)(xf端点，且在左端点处右连续，在右端点处左连续） ，则称函数 ＝ 在该区y)(xf间上是连续的例 1：讨论下列函数在区间 内的连续性),(（1） 2)(xf（2） cos（3） xef)(例 2：设 ，试确定 的值，使函数 在 处连续02sin)(xaf b)(xf0二、函数的间断点（一） ．间断点概念：设函数 在 内有定义（在点 处可以无定义） ，)(f),0xU0x如果函数 在点 处不连续，则称点 为函数 的一个间断点（或不连)(xf0 )(f续点） 。

函数 在点 连续： 函数 在点 不连续：)(f0 )(xf0（1）函数 在点 有定义， （1*） 函数 ＝ 在点 没有定义x y)(xf0（2） 存在； （2*） 不存在)(lim0fxlim0x（3） （3*） 存在，但 在点 没有定00)(0f)(xf0义， 或 li00x（二）.间断点的分类设 为函数 的一个间断点，0x)(xf1、第一类间断点， 都存在， )0(xf)(0xf（1）若 = ，即 存在，此类间断点称为可去间断点f )(lim0xf函数 在点 无定义，函数 在点 有定义，但 )(xf0 )(lim00xffx（2）若  ，即 不存在，此类间断点称为跳跃间断点))(0xf )(li0xf2. 第二类间断点与 中至少有一个不存在其中有两类特殊的间断点：无穷)0(xf)(0xf间断点和振荡间断点例 3：讨论下列函数的连续性，若有间断点，指出其类型（1） xf2sin)(（2） 1arct（3） 23)(2xf（4） f1sin。