概率论》案例分析题目 生日悖论与生日攻击班级学号姓名一、问题分析生日悖论：如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个 人的生日相同的概率要大于50%这就意味着在一个典型的标准小学班级（30 人）中，存在两人生日相同的可能性更高对于60或者更多的人，这种概率 要大于 99%从引起逻辑矛盾的角度来说生日悖论并不是一种悖论，从这个 数学事实与一般直觉相抵触的意义上，它才称得上是一个悖论大多数人会 认为，23人中有2人生日相同的概率应该远远小于50%在《著名的生日悖 论 》中说道： 23个人里有两个生日相同的人的几率有多大呢？居然有50%悖论定义：悖论是指一种导致矛盾的命题悖论（paradox）来自希腊语 “para+dokein”，意思是“多想一想”如果承认它是真的，经过一系列 正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推 理，却又得出它是真的生日攻击：生日攻击方法没有利用Hash函数的结构和任何代数弱性质， 它只依赖于消息摘要的长度，即Hash值的长度这种攻击对Hash函数提出 了一个必要的安全条件，即消息摘要必须足够长生日攻击这个术语来自于 所谓的生日问题，在一个教室中最少应有多少学生才使得至少有两个学生的 生日在同一天的概率不小于1/2？这个问题的答案为23。
二、问题求解不计特殊的年月，如闰二月先计算房间里所有人的生日都不相同的概率，那么第一个人的生日是 365选365第二个人的生日是 365选364第三个人的生日是 365选363第n个人的生日是365选365-(n-l)所以所有人生日都不相同的概率是：(365/365) X (364/365) X (363/365) X (362/365) X ... X【(365-n+1)/365】那么，n个人中有至少两个人生日相同的概率就是：1-(365/365)X (364/365)X(363/365)X(362/365)X ... X【(365-n+1)/365】所以当n=23的时候，概率为0.507,约等于0. 51当n=100的时候，概率为0.9999996，趋近于1三、结果分析可见，我们的感觉有时候往往会欺骗我们经过客观的推理运算，可以 得到在 23 个人的一个团体中，至少有两人生日相同的概率大于 50%，而当 这个人数增大到100时，至少有两人生日相同的概率竟然接近于1四、总结与心得体会通过这次的概率论论文写作，我们在实际生活中发现问题，然后用概率 论的知识去解决他们一方面，增强了我们发现问题的能力，另一方面，也 增强了我们运用平时所学的理论知识去解决实际问题的能力。
如果，我们只 是一味的学习课本上的知识，依旧是没有任何用处的只有把这些知识，融 会贯通，才能遇题解题除此之外，我们在学习概率论的过程中发现了很多类似的悖论，比如说 谎者悖论，理发师悖论，上帝悖论等，我们判断一件事情不能只根据平时的 经验，那些所谓的经验可能会对你的判断形成误导，只有，经过仔细的推敲 运算所得到的东西才是符合实际的，才是经得起实际检验的五、问题发展生日悖论与生日攻击所以生日悖论的本质就是，随着元素增多，出现重复元素的概率会以惊 人速度增长，而我们低估了它的速度下图中，q(n)表示的是我们幻想中随着人数的增长至少两个人生日相同 的可能性，而p(n)则表示的是实际中随着人数的增长至少两个人生日相同的 可能性，很明显能够看出来，当p(n)等于50的时候，至少两个人生日相同 的概率已经趋近于1注：p(n)这条线是我们运用上面生日悖论的求解方法 计算得出的这个问题不容忽视，因为它意味着，在密码学中，我们低估了散列值出 现碰撞的概率这一结论应用于对散列函数的攻击中，称为“生日攻击 (Birthday Attack)"我们先把这个问题与生日脱钩，写成一般形式从离散均匀分布的区间 [1,d]中取出n个整数，至少两个数字相同的概率[2](1 _ _ 协 n< dP{d. n \ = II ]. n > d下面考虑一个64位散列函数，它有二种可能的散列值，要想100%地找 到一组碰撞，就需要二-:一川’次攻击。
但是基于生日攻击的原理，我们 只需要：一川'次攻击，就有约50%的概率能够攻击成功下面给出一种证 明(符号沿用上面公式的)：p = < i —口匕宀两端整理得:> rt(rt — ] ；■ > —加陆(]—P)□ > J—却讯1 —鬥旅当P=0.5时rc > 1.17 x/d f \fd在-'二次攻击中，就有约50%的概率发生碰撞，收益降低一半，成 本却开了根号，对于这些大数字来说，开根号是件不得了的事为了提高碰 撞率，我们以■「个散列作为一组，用独立的10组分别进行攻击，则一共需 要约川次攻击，出现碰撞的概率高于99.9%——这是一个非常理想的成功 率，需要的攻击次数却仅是原来的1/1,000,000,000。