第十八章 隐函数定理及其应用 教学目的:1.理解隐函数定理的有关概念及隐函数存在的条件,进而会求隐函数的导数;2.了解隐函数组的有关概念，理解二元隐函数组存在的条件,了解反函数组存在的条件;3.掌握隐函数的微分法在几何方面等的应用,会把实际问题抽象为条件极值并予以解决 教学重点难点:本章的重点是隐函数定理；难点是隐函数定理的证明 教学时数：14学时 １ 隐函数 一. 隐函数概念:隐函数是表达函数的又一种方法.1. 隐函数及其几何意义： 以 为例作介绍.2. 隐函数的两个问题: ⅰ> 隐函数的存在性; ⅱ> 隐函数的解析性质. 二. 隐函数存在条件的直观意义： 三. 隐函数定理: Ｔh 1 ( 隐函数存在唯一性定理 ） 若满足下列条件: ⅰ> 函数 在以 为内点的某一区域Ｄ 上连续 ; ⅱ> ； ( 通常称这一条件为初始条件 ） ⅲ＞ 在D内存在连续的偏导数 ; ⅳ> .则在点 的某邻域 ( ) D内 , 方程 唯一地确定一个定义在某区间内的隐函数 , 使得 ⑴ , 时 ( )且. ⑵ 函数 在区间 内连续 . ( 证 ) 四. 隐函数可微性定理: Th 2 设函数 满足隐函数存在唯一性定理的条件 ， 又设在Ｄ内 存在且连续 ． 则隐函数 在区间 内可导 , 且 ． ( 证 ) 例1 验证方程 在点 满足隐函数存在唯一性定理的条件 , 并求隐函数的导数 . P1４9例１ 例2 . 其中 为由方程 所确定的隐函数 . 求 . Ｐ15０例２ ( 仿 ) 例3 （ 反函数存在性及其导数 ) 设函数 在点 的某邻域内有连续的导函数 , 且 ， ． 用隐函数定理验证存在反函数 ， 并求反函数的导数． Ｐ151例4 五． 元隐函数： Ｐ1４9 Ｔh3例4 ． 验证在点 存在 是 的隐函数 , 并求偏导数 . P150 例3 ２ 隐函数组 一. 隐函数组：从四个未知数两个方程的方程组 入手介绍隐函数组 ,一般形式为 * 二. 隐函数组定理： 分析从上述线性方程组中解出 和 的条件入手 , 对方程组* 在一定条件下拟线性化 , 分析可解出 和 的条件 , 得出以下定理 . Ｔh 1 ( 隐函数组定理 ) P１53 Th ４. 例1 P154例 1． 三. 反函数组和坐标变换： 1. 反函数组存在定理: Th 2 (反函数组定理 ） P1５５ Th ５ ２． 坐标变换: 两个重要的坐标变换． 例２ , 3 Ｐ１56—157例 ２ , 3 . 3 几何应用一. 平面曲线的切线与法线 : 设平面曲线方程为 . 有 .切线方程为 ,法线方程为 .例１ 求Dｅscaｒtｅs叶形线 在点 处的切线和法线 . P１59例 1.二. 空间曲线的切线与法平面 : 1. 曲线由参数式给出 : . 切线的方向数与方向余弦.切线方程为 .法平面方程为 . 2. 曲线由两面交线式给出 ： 设曲线 的方程为 点 在 上. 推导切线公式. ［1］Ｐ209． 切线方程为 . 法平面方程为 .例2 P１61例2 . 三． 曲面的切平面与法线 : 设曲面 的方程为 , 点 在 上. 推导切面公式.1］Ｐ211． 切平面方程为 . 法定义域线方程为 . 例3 Ｐ１６2例３ . ４ 条件极值 一． 条件极值问题 : 先提出下例:例 要设计一个容积为 的长方体形开口水箱 . 确定长、宽和高 , 使水箱的表面积最小 . 分别以 、 和 表示水箱的长、宽和高 , 该例可表述为 ： 在约束条件之下求函数 的最小值 .条件极值问题的一般陈述 .二. 条件极值点的必要条件 : 设在约束条件 之下求函数 的极值 . 当满足约束条件的点 是函数 的条件极值点 ， 且在该点函数 满足隐函数存在条件时, 由方程 决定隐函数 ,于是点 就是一元函数的极限点 , 有 .代入 , 就有 , ( 以下 、 、 、 均表示相应偏导数在点 的值 . ）即 — , 亦即 ( , ) , ) .可见向量( , )与向量 , )正交. 注意到向量 , )也与向量 , )正交, 即得向量( , )与向量 ， )线性相关, 即存在实数, 使( , ） + ， ) .亦即 二. Lａｇrange乘数法 ： 由上述讨论可见 , 函数 在约束条件 之下的条件极值点应是方程组 的解. 倘引进所谓Lagranｇｅ函数 ， ( 称其中的实数 为Lａｇrａnｇｅ乘数 )则上述方程组即为方程组 以三元函数 , 两个约束条件为例介绍Ｌagraｎgｅ乘数法的一般情况 . 四、用Lagrａnge乘数法解应用问题举例 ： 例1 求容积为 的长方体形开口水箱的最小表面积 . Ｐ166例1例2 抛物面 被平面 截成一个椭圆. 求该椭圆到坐标原点的最长和最短距离 . Ｐ167例２例３ 求函数 在条件 下的极小值 . 并证明不等式 , 其中 为任意正常数 ．１６8 例3 。