1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案解析

天任启航考研 119931993 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分, ,把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上.).)(1) 函数的单调减少区间为______________. 11( )(2) (0)xF xdt xt(2) 由曲线绕轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧223212, 0xy zy(0, 3,2)的单位法向量为______________.(3) 设函数的傅里叶级数展开式为2( )()f xxxx,则其中系数的值为______________.01(cossin)2nn naanxbnx3b(4) 设数量场则______________.222ln,uxyz(grad )divu (5) 设阶矩阵的各行元素之和均为零,且的秩为,则线性方程组的通解nAA1n0Ax 为______________.二、选择题二、选择题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分, ,在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中, ,只有一项只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的, ,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内.).)(1) 设,则当时,是的 ( )sin20( )sin( )xf xtdt34( )g xxx0x ( )f x( )g x(A) 等价无穷小 (B) 同阶但非等价无穷小 (C) 高阶无穷小 (D) 低阶无穷小(2) 双纽线所围成的区域面积可用定积分表示为 ( )22222()xyxy(A) (B) 4 02cos2 d  4 04cos2 d  (C) (D) 4 02cos2 d  24 01(cos2 )2d (3) 设有直线与,则与的夹角为 ( )1158:121xyzL26:23xyLyz 1L2L(A) (B) 6 4(C) (D) 3 2天任启航考研 2(4) 设曲线积分与路径无关,其中具有一阶连续[ ( )]sin( )cosxLf xeydxf xydy( )f x导数,且,则等于 ( )(0)0f( )f x(A) (B) 2xxee 2xxee(C) (D) 12xxee12xxee(5) 已知,为三阶非零矩阵,且满足,则12324369Qt P0PQ (A) 时,的秩必为 1 (B) 时,的秩必为 2 6t P6t P (C) 时,的秩必为 1 (D) 时,的秩必为 26t P6t P三、三、( (本题共本题共 3 3 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,满分满分 1515 分分.).)(1) 求 .21lim(sincos)x xxx(2) 求 . 1xxxedx e (3) 求微分方程,满足初始条件的特解.22x yxyy1|1xy四、四、( (本题满分本题满分 6 6 分分) )计算,其中是由曲面与22xzdydzyzdzdxz dxdy22zxy所围立体的表面外侧.222zxy五、五、( (本题满分本题满分 7 7 分分) )求级数的和.20( 1) (1) 2nn nnn六、六、( (本题共本题共 2 2 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,满分满分 1010 分分.).)(1) 设在上函数有连续导数,且证明在 [0,)( )f x( )0,(0)0,fxkf( )f x(0,+ )内有且仅有一个零点.(2) 设,证明.baebaab天任启航考研 3七、七、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )已知二次型,通过正交变换化成标准形222 12312323( ,,)2332(0)f x x xxxxax x a,求参数及所用的正交变换矩阵.222 12325fyyya八、八、( (本题满分本题满分 6 6 分分) ) 设是矩阵,是矩阵,其中,是阶单位矩阵,若,证明An mBm nnmEnABE 的列向量组线性无关.B九、九、( (本题满分本题满分 6 6 分分) )设物体从点出发,以速度大小为常数沿轴正向运动.物体从点与A(0,1)vyB( 1,0)同时出发,其速度大小为,方向始终指向,试建立物体的运动轨迹所满足的微分方A2vAB 程,并写出初始条件.十、填空题十、填空题( (本题共本题共 2 2 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 6 6 分分, ,把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上.).) (1) 一批产品共有 10 个正品和 2 个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第 二次抽出的是次品的概率为_______.(2) 设随机变量服从上的均匀分布,则随机变量在内的概率分布密X(0,2)2YX(0,4)度_______.( )Yfy 十一、十一、( (本题满分本题满分 6 6 分分) )设随机变量的概率分布密度为,.X| |1( )2xf xex  (1) 求的数学期望和方差.X()E X()D X(2) 求与的协方差,并问与是否不相关？X||XX||X(3) 问与是否相互独立？为什么？X||X天任启航考研 419931993 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).)(1)【答案】104x【解析】由连续可导函数的导数与的关系判别函数的单调性.0将函数两边对求导,得 . 11( )(2),xF xdttx1( )2F xx若函数严格单调减少,则,即.( )F x1( )20F xx1 2x 所以函数单调减少区间为.( )F x104x【相关知识点】函数的单调性：设函数在上连续,在内可导.( )yf x[ , ]a b( , )a b(1) 如果在内,那么函数在上单调增加；( , )a b( )0fx( )yf x[ , ]a b(2) 如果在内,那么函数在上单调减少.( , )a b( )0fx( )yf x[ , ]a b(2)【答案】10,2, 35【解析】先写出旋转面的方程：.S2223()212xzy令 .222( , , )3()212F x y zxzy则在点的法向量为S( , , )x y z,,,6 ,4 ,6FFFnxyzxyz  r所以在点处的法向量为(0, 3,2).0,4 3,6 22 0,2 3,3 2n   r因指向外侧,故应取正号,单位法向量为天任启航考研 5.  02222 0,2 3,3 2110,2 3,3 20,2, 3||30504 36 2nnn ru u rr(3)【答案】2 3【解析】按傅式系数的积分表达式 ,1( )sinnbf xnxdx所以 .22 311()sin3sin3sin3bxxxdxxxdxxxdx因为为奇函数,所以；2sin3xx2sin30xxdx为偶函数,所以 sin3xxdx30sin32sin3bxxdxxxdx0001222(cos3 )cos3cos3333xxdxxxdx .022 sin32 3333x (4)【答案】2221 xyz【解析】先计算的梯度,再计算该梯度的散度.u因为 ,graduuuuijkxyzrrr所以 .222222(grad ),,uuuuuudivudivxyzxyz数量场分别对求偏导数,得222lnuxyz, ,x y z,222222222112 2uxx xxyzxyzxyz由对称性知, ,222uy yxyz222uz zxyz天任启航考研 6将分别对求偏导,得,,uuu xyz , ,x y z,2222222222222222()2 ()()uxyzxxyzx xxyzxyz , ,222222222()uzxy yxyz222222222()uxyz zxyz因此, .2222222221(grad )uuudivuxyzxyz(5)【答案】(1,1,,1)TkL【解析】因为,由知,齐次方程组的基础解系为一个向量,故( )1r An( )1nr A的通解形式为.下面根据已知条件“的各行元素之和均为零”来分析推导0Ax kA的一个非零解,它就是的基础解系.0Ax 0Ax 各行元素的和均为 0,即,111212122212000nnnnnnaaaaaaaaa   LLL L L L L L L LL而齐次方程组为0Ax .11 1122121 122221 122000nnnnnnnnna xa xa xa xa xa xa xa xa x   LLL L L L L L L L L L L L两者比较,可知是的解.所以应填.121nxxxL0Ax (1,1,,1)TkL二、选择题二、选择题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).) (1)【答案】(B)【解析】为“”型的极限未定式,又分子分母在点处导数都存在, 0( )lim( )xf x g x0 00运用洛必达法则,有天任启航考研 7sin222 0 34232300000sin( )( )sin(sin)cossin(sin)limlimlimlimlimcos( )3434xxxxxxtdtf xxxxxg xxxxxxx洛.2230sin(sin)lim34xx xx因为当,所以,所以0x sin0,x 22。