单击此处编辑母版标题样式,*,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,在自动控制原理中，绘制根轨迹需要有一系列的法则，非常费时费力MATLAB,中专门提供了一系列绘制根轨迹的指令第九章 根轨迹法的,MATLAB,实现,9.1,根轨迹的,MATLAB,实现,一、绘制零、极点图,在,MATLAB,中，绘制零极点图的函数指令为,pzmap(),，其调用格式为：,p,z=,pzmap,(sys),：式中,sys,是,LTI,对象开环传递函数，此指令可以得到,sys,的零点和极点数据，不绘制零、极点图；零点数据保存在变量,z,中，极点数据保存在变量,p,中；,pzmap,(p,z),：用于在复平面绘制零、极点图在图中，极点用“,”,表示，零点用“,”表示；,极点,p,为行向量，零点,z,为列向量,1,例,9-1,已知系统的开环传递函数为：,试绘制该系统的零、极点图其,MATLAB,命令如下：,z=-2;,p=0-1-2;,pzmap(p,z),2,MATLAB,用函数命令,rlocus(),来绘制根轨迹图，其调用格式为：,二、绘制系统根轨迹图,rlocus,(sys),：,sys,为闭环系统的开环传递函数,G(s)H(s,),，此函数在当前窗口中绘制出闭环系统特征方程,1+k,G(s)H(s,)=0,的,根轨迹图。
可以用于连续系统，也可用于离散系统；,例,9-2,已知系统的开环传递函数为：,试绘制该系统的根轨迹图z=-3;p=0-1-2;k=1;,sys=zpk(z,p,k);,rlocus(sys),其,MATLAB,命令如下：,3,rlocus,(sys,k),：此命令可用指定的反馈增益向量,k,来绘制根轨迹图；,r,k=,rlocus,(sys),：此命令只返回系统特征方程根位置的复数矩阵和相应的增益向量,k,，而不绘制零、极点图三、计算给定一组根的系统根轨迹增益,k,poles=,rlocfind,(sys),：,sys,为,LTI,对象的开环传递函数，命令执行后，可在根轨迹窗口中显示出十字光标，当用户选择根轨迹上的一点时，其相应的增益由,k,记录，与增益对应的闭环极点,(,即特征方程的根,),由,poles,记录；,k,poles=,rlocfind,(sys,p),：对于给定根计算对应的增益和闭环极点,poles,4,例,9-3,已知一单位负反馈系统的开环传递函数为：,试绘制该系统的闭环根轨迹图，并在图上任选一点，计算该点的增益和此增益对应的所有闭环极点解：,num=1;den=conv(conv(1 0,0.5 1),4 1);,sys=tf(num,den);rlocus(sys),k,poles=rlocfind(sys),其,MATLAB,命令如下：,程序执行后会绘制出该闭环系统根轨迹图，而且在图中出现一个十字光标，在根轨迹上任选一点，单击鼠标左键，会得出此点增益值和此增益所对应的闭环特征方程的根。
5,6,k=,0.4984,poles=,-2.0664,-0.0918+0.3349i,-0.0918-0.3349i,7,例,9-4,设系统结构如图所示，试绘制反馈系数,Ta,从,0,变动时闭环系统的根轨迹图，并计算其零极点解：,(1),由系统结构图知系统的开环传递函数为：,其闭环系统的特征方程为：,(2),构造新的等效单位负反馈系统，使它们具有相同的闭环特征方程8,num=,5 0,;den=,5 1 5,;,sys=tf(num,den);rlocus(sys),p,z,=,pzmap,(sys),其,MATLAB,命令如下：,程序执行后可得到系统的极点与零点：,(3),绘制,Ta,从,0,变动时闭环系统的根轨迹图：,9,所绘制,Ta,从,0,变动时闭环系统的根轨迹图如右图所示p=,-0.1000+0.9950i,-0.1000-0.9950i,z=,0,10,采用,k,poles=rlocfind(sys),（可在根轨迹窗口中显示出十字光标，当用户选择根轨迹上的一点时，其相应的增益由,k,记录，与增益对应的闭环极点,(,即特征方程的根,),由,poles,记录）这条指令反复进行操作，可以来判断系统的稳定性。
9.2,用根轨迹法判定系统的稳定性,例,9-5,已知一单位负反馈系统的开环传递函数为：,试绘制该系统的闭环根轨迹图，并对系统的稳定性进行判断11,解：,num=,0.25 1,;den=conv(1 0,0.5 1);,sys=tf(num,den);rlocus(sys),k,poles=rlocfind(sys),其,MATLAB,命令如下：,程序运行后得到根轨迹图如左图所示当参数,k,从,0,变化时，根轨迹均在,s,平面虚轴左侧，对应的闭环系统始终稳定12,对根轨迹多次使用,k,poles=rlocfind(sys),进行操作，得到两个分离点：,d1=-1.172,d2=-6.828,，对应的开环增益,k1=0.686,k2=23.31,当在根轨迹实轴上第一区段即自开环极点,p1=0,、,P2=-2,指向分离点,D1=-1,172,的区段时，对应的,0,K,0.686,；当在实轴上的第二区段即自分离点,D2=-6.828,指向开环零点,Z1=-4,与无穷远时，对应的,23.31K,，这都对应着系统闭环阶跃响应无超调量（过阻尼状态）当在根轨迹圆上时，系统闭环特征方程出现共轭复根（欠阻尼状态），系统闭环阶跃响应有超调量，但系统还是稳定的。
13,例,9-6,已知一单位负反馈系统的开环传递函数为：,试绘制该系统的闭环根轨迹图，并对系统的稳定性进行判断解：,num=,1,;,den=conv(conv(1 0,1,1),0.5,1);,sys=tf(num,den);rlocus(sys),k,poles=rlocfind(sys),其,MATLAB,命令如下：,14,对根轨迹使用,k,poles=rlocfind(sys),进行操作，将十字光标指向根轨迹与纵坐标的交点时，对应的开环增益与极点为：,K=2.9957,ploes,当参数,K,从,03,变动时，根轨迹均在,s,平面虚轴左半部分，对应的闭环系统稳定，一旦根轨迹穿越纵坐标到达其右侧，对应的,K 3,时，闭环系统就进入不稳定状态当在根轨迹实轴阶段时（过阻尼状态），对应着系统闭环阶跃响应无超调，闭环系统稳定当在根轨迹圆上时，系统闭环特征方程出现共轭复根（欠阻尼状态），系统闭环阶跃响应有超调量，但系统还是稳定的。