第2章 数值计算与数据分析2.1基本数学函数2.1.1 三角函数与双曲函数函数 sin、sinh功能正弦函数与双曲正弦函数格式 Y = sin(X) %计算参量X中每一个角度分量的正弦值Y,所有分量的角度单位为弧度Y = sinh(X) %计算参量X的双曲正弦值Y注意：sin(pi)并不是零，而是与浮点精度有关的无穷小量eps，因为pi仅仅是精确值n 浮点近似的表示值而已例2-1x = -pi:0.01:pi; plot(x,sin(x))x = -5:0.01:5; plot(x,sinh(x)) 图形结果为图2-1图2-1正弦函数与双曲正弦函数图函数 cos、cosh功能余弦函数与双曲余弦函数格式 Y = cos(X) %计算参量X中每一个角度分量的余弦值Y，所有角度分量的单位为弧度我们要指出的是，cos(pi/2)并不是精确的零，而是与浮点 精度有关的无穷小量eps，因为pi仅仅是精确值兀浮点近似的表示 值而已Y = sinh(X) %计算参量X的双曲余弦值Yx = -pi:0.01:pi; plot(x,cos(x)) x = -5:0.01:5; plot(x,cosh(x)) 图形结果为图2-2。
图2-2余弦函数与双曲余弦函数图函数 tan、tanh功能正切函数与双曲正切函数格式 Y = tan(X) %计算参量X (可以是向量、矩阵，元素可以是复数)中每一个角 度分量的正切值Y,所有角度分量的单位为弧度我们要指出的是， tan(pi/2)并不是精确的零，而是与浮点精度有关的无穷小量eps，因 为pi仅仅是精确值兀浮点近似的表示值而已Y = tanh(X) %返回参量X中每一个元素的双曲正切函数值Y例2-3x = (-pi/2)+0.01:0.01:(pi/2)-0.01; % 稍微缩小定义域plot(x,tan(x))x = -5:0.01:5; plot(x,tanh(x))图形结果为图2-3图2-3正切函数与双曲正切函数图函数 cot、coth功能余切函数与双曲余切函数格式 Y = cot(X) %计算参量X(可以是向量、矩阵，元素可以是复数)中每一个角 度分量的余切值Y，所有角度分量的单位为弧度Y = coth(X) %返回参量X中每一个元素的双曲余切函数值Y例2-4x1 = -pi+0.01:0.01:-0.01; % 去掉奇点 x = 0x2 = 0.01:0.01:pi-0.01; % 做法同上plot(x1,cot(x1),x2,cot(x2))plot(x1,coth(x1),x2,coth(x2))图形结果为图2-4。
图2-4余切函数与双曲余切函数图函数 sec、sech功能正割函数与双曲正割函数格式 Y = sec(X) %计算参量X (可以是向量、矩阵，元素可以是复数)中每一个角 度分量的正割函数值Y，所有角度分量的单位为弧度我们要指出 的是，sec(pi/2)并不是无穷大，而是与浮点精度有关的无穷小量eps 的倒数，因为pi仅仅是精确值兀浮点近似的表示值而已Y = sech(X) %返回参量X中每一个元素的双曲正割函数值Y例2-5x1 = -pi/2+0.01:0.01:pi/2-0.01; % 去掉奇异点 x = pi/2x2 = pi/2+0.01:0.01:(3*pi/2)-0.01;plot(x1,sec(x1),x2,sec(x2))x = -2*pi:0.01:2*pi;plot(x,sech(x))图形结果为图2-5图2-5正割函数与双曲正割函数图函数 csc、csch功能余割函数与双曲余割函数格式 Y = csc(X) %计算参量X (可以是向量、矩阵，元素可以是复数)中每一个角度分量的余割函数值Y，所有角度分量的单位为弧度Y = csch(X) %返回参量X中每一个元素的双曲余割函数值Y例2-6x1 = -pi+0.01:0.01:-0.01; x2 = 0.01:0.01:pi-0.01; % 去掉奇异点 x=0plot(x1,csc(x1),x2,csc(x2))plot(x1,csch(x1),x2,csch(x2))图形结果为图2-6。
图2-6余割函数与双曲余割函数图2.1.2其他常用函数函数 exp功能以e为底数的指数函数格式 Y = exp(X) %对参量X的每一分量，求以e为底数的指数函数Y例2-7>>A = [-1.9, -0.2, 3.1415926, 5.6, 7.0, 2.4+3.6i];>>Y = exp(A)计算结果为：Y =1.0e+003 *Columns 1 through 40.0001 0.0008 0.0231 0.2704Columns 5 through 61.0966 -0.0099 - 0.0049i函数 expm功能 求矩阵的以e为底数的指数函数格式 Y = expm(X) %计算以e为底数、x的每一个元素为指数的指数函数值若矩阵x有小于等于零的特征值，则返回复数的结果说明该函数为一内建函数，它有三种计算算法：(1) 使用文件expm1.m中的用比例法与二次幕算法得到的Pad近似值；(2) 使用Taylor级数近似展开式计算，这种计算在文件expm2.m中但这种一般计算 方法是不可取的，通常计算是缓慢且不精确的；(3) 在文件expm3.m中，先是将矩阵对角线化，再把函数计算出相应的的特征向量， 最后转换过来。
但当输入的矩阵没有与矩阵阶数相同的特征向量个数时，就会出现错误例2-8>>A=hilb(4);>>Y = expm(A) 计算结果为：Y=3.25061.20680.83550.64171.20681.74030.54170.42880.83550.54171.41000.33180.64170.42880.33181.2729函数log功能自然对数，即以e为底数的对数格式 Y = log(X) %对参量X中的每一个元素计算自然对数其中X中的元素可以是复数与负数，但由此可能得到意想不到的结果若z = x + i*y，则 log 对复数的计算如下：log (z) = log (abs (z)) + i*atan2(y,x)例2-9下面的语句可以得到无理数兀的近似值：>>Pi = abs(log(-1))计算结果为：Pi =3.1416函数log10功能 常用对数，即以10为底数的对数格式 Y = log10(X) %计算X中的每一个元素的常用对数，若X中出现复数，则可 能得到意想不到的结果例 2-10>>L1 = log10(realmax) %由此可得特殊变量realmax的近似值>>L2 = log10(eps) %由此可得特殊变量eps的近似值>>M = magic(4);>>L3 = log10(M)计算结果为：L1 =308.2547-15.65361.20410.30100.47711.11390.69901.04141.00000.90310.95420.84510.77821.07920.60211.14611.17610函数 sort功能把输入参量中的元素按从小到大的方向重新排列格式B = sort(A) %沿着输入参量A的不同维的方向、从小到大重新排列A中的元素。
对于A中完全相同的元素，则按它们在A中的先后位置排列 在一块；若A为向量，则返回从小到大的向量，若A为二维矩阵， 则按列的方向进行排列B = sort(A,dim) %沿着矩阵A (向量的、矩阵的或多维的)中指定维数dim方向重新排列A中的元素>>A = [-1.9, -0.2, 3.1415926, 5.6, 7.0, 2.4+3.6i];>>[B1,INDEX] = sort(A)>>M = magic(4);>>B2 = sort(M) 计算结果为：B1 =Columns 1 through 4-0.2000 -1.9000 3.1416 2.4000 + 3.6000iColumns 5 through 65.6000 7.0000INDEX =2 1 3 6 4 5B2 = 4231 5 7 6 89 11 10 1216 14 15 13函数abs功能数值的绝对值格式 Y = abs(X)例 2-12>>A = [-1.9, -0.2, 3.1415926, 5.6, 7.0,];>>Y = abs(A) 计算结果为：Y =1.9000 0.2000 3.1416 5.6000 7.00002.2插值、拟合插值法是实用的数值方法，是函数逼近的重要方法。
在生产和科学实验中，自变晶与 因变量y的函数y = f(x)的关系式有时不能直接写出表达式，而只能得到函数在若干个点的 函数值或导数值当要求知道观测点之外的函数值时，需要估计函数值在该点的值如何根据观测点的值，构造一个比较简单的函数y=^ (x)，使函数在观测点的值等于已 知的数值或导数值用简单函数y=^ (x)在点x处的值来估计未知函数y=f(x)在x点的值 寻找这样的函数◎ (x)，办法是很多的中(x)可以是一个代数多项式，或是三角多项式，也 可以是有理分式；(P (x)可以是任意光滑(任意阶导数连续)的函数或是分段函数函数类的 不同，自然地有不同的逼近效果在许多应用中，通常要用一个解析函数(一、二元函数) 来描述观测数据根据测量数据的类型：1. 测量值是准确的，没有误差2. 测量值与真实值有误差这时对应地有两种处理观测数据方法：1. 插值或曲线拟合2. 回归分析(假定数据测量是精确时，一般用插值法，否则用曲线拟合)MATLAB中提供了众多的数据处理命令有插值命令，有拟合命令2.2.1插值命令命令 1 interpl功能 一维数据插值(表格查找)该命令对数据点之间计算内插值它找出一元函数 f(x)在中间点的数值。
其中函数f(x)由所给数据决定各个参量之间的关系示意图为图2-7 |Y：插值点 t 一.rs c 3n~~I* 」 * I x：原始数据点xi：插值点图2-7数据点与插值点关系示意图格式yi = interp1(x,Y,xi) %返回插值向量yi,每一元素对应于参量xi,同时由向量x与Y的内插值决定参量x指定数据Y的点 若Y为一矩阵，则按Y的每列计算yi是阶数为 length(xi)*size(Y2)的输出矩阵yi = interp1(Y,xi) %假定x=1:N，其中N为向量Y的长度，或者为矩阵Y的行数yi = interp1(x,Y,xi,method) %用指定的算法计算插值：’nearest’ ：最近邻点插值，直接完成计算；’linear’ ：线性插值(缺省方式)，直接完成计算；’spline’：三次样条函数插值对于该方法，命令interp1调用函数spline、ppval、 mkpp、umkpp这些命令生成一系列用于分段多项式操作的函 数命令spline用。