4.4 探索三角形相似的条件-2022-2023学年九年级上册初三数学(北师大版)引言在前面的学习中，我们已经学习了三角形的基本概念以及判定两个三角形是否相似的一些方法在本节课中，我们将进一步探索三角形相似的条件，帮助我们更准确地判定三角形是否相似相似三角形的定义回顾在开始探索三角形相似的条件之前，我们先回顾一下相似三角形的定义定义： 两个三角形的对应角相等，并且对应边的比值相等，那么这两个三角形是相似的如果我们已经知道两个三角形相似，那么我们可以通过已知的边、角的比例关系来求解未知的边、角相似三角形的条件在前面的定义中，我们已经知道了两个三角形相似的充分条件，即对应角相等，并且对应边的比值相等在本节中，我们将探索三角形相似的必要条件1. AAA相似条件定理： 如果两个三角形的对应角相等（即角-角-角相等），那么这两个三角形是相似的证明：假设有两个三角形ABC和DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F假设AD为任意一条射线，使点A和点D重合，并且在射线AD上取一点A’和D’，使得AA’和DD’重合再假设A’C与D’F相交于点PAAA相似条件图示根据角平分线的性质，∠AA’P=∠DD’P。
又∠A=∠D，所以∠ABP=∠DEP同理可证∠ACP=∠DFP因此，由角-角-角相等的定义可知，∠ABP=∠DEP，∠ACP=∠DFP，那么∠B=∠E，∠C=∠F另一方面，根据射线PA与PD’的夹角为∠APD’（定义夹角），以及射线P’A’与PD’的夹角为∠A’PD’（定义夹角），我们可以推导出∠A=∠D因此，根据定义，我们可以得出∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，那么三角形ABC和DEF是相似的综上所述，当两个三角形的对应角相等时，它们是相似的2. SAS相似条件定理： 如果两个三角形中有两条边的比值相等，并且这两条边夹角相等（即边-角-边相等），那么这两个三角形是相似的证明：假设有两个三角形ABC和DEF，已知AB/DE = AC/DF，∠B = ∠ESAS相似条件图示段DE上取一点D’，使得AD’/D’E=AB/DE根据比例性质，我们可以得出∠BD’C=∠GEF又根据已知的∠B = ∠E，我们可以得出∠CD’B = ∠DFE因此，根据角-角-角相等的定义，我们可以得出∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F同时，根据线段DE和D’E的定义，我们可以得出AB/DE = AD’/D’E。
因此，根据定义，我们可以得出AB/DE = AC/DF综上所述，当两个三角形的一对边的比值相等，并且这两条边夹角相等时，它们是相似的3. SSS相似条件定理： 如果两个三角形的对应边的比值相等（即边-边-边相等），那么这两个三角形是相似的证明：对于任意两个三角形ABC和DEF，已知AB/DE = BC/EF = AC/DFSSS相似条件图示段EF上取一点E’，使得AF = AE’根据E’的选择，我们可以得出∠E’A’F = ∠A然后，我们取点F’，使得AF’=AC根据F’的选择，我们可以得出∠AF’C = ∠C同样地，我们可以取点C’和B’，分别使得∠CA’B’ = ∠B 和∠B’C’D’ = ∠A然后，我们取点D’，使得CD’ = CA’，并且取点E’，使得BE’ = B’C’根据点D’的选择，我们可以得出∠D’A’E’ = ∠E因此，根据角-角-角的相等定义，我们可以得出∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F另一方面，根据已知的边比值关系，我们可以得出AB/DE = AF’/AE’，AC/DF = AC/AF’，BC/EF = BC/B’E’因此，根据定义，我们可以得出AB/DE = BC/EF = AC/DF。
综上所述，当两个三角形的对应边的比值相等时，它们是相似的总结通过本节课的学习，我们进一步探索了三角形相似的条件在已知两个三角形的相似关系时，我们可以利用角-角-角相等、边-角-边相等、边-边-边相等这三个条件进行判定这些条件为我们提供了更多准确判定三角形相似的方式在实际问题中，当我们知道两个三角形相似时，我们可以利用已知的边、角比例关系来求解未知的边、角这对于解决实际问题非常有帮助希望大家通过本节课的学习，对三角形相似的条件有更深入的理解在接下来的学习中，我们将进一步应用相似三角形的知识来解决更复杂的问题。
