第四节 平面向量应用举例 1.1.向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用（（1 1）平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算）平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题长度、夹角等问题. . （（2 2）用向量解决常见平面几何问题的技巧）用向量解决常见平面几何问题的技巧. .问题类型问题类型 所用知识所用知识 公式表示公式表示 线平行、点共线、相线平行、点共线、相似问题似问题 共线向量共线向量定理定理 垂直问题垂直问题 数量积的运算性质数量积的运算性质 夹角问题夹角问题 数量积的数量积的定义定义 （（3 3）用向量方法解决平面几何问题的步骤）用向量方法解决平面几何问题的步骤. . 2.2.平面向量在物理中的应用平面向量在物理中的应用（（1 1）由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分）由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成和向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解解与合成和向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解决决. .(2)(2)物理学中的功是一个标量，是力物理学中的功是一个标量，是力F与位移与位移s的数量积的数量积, ,即即W= =F··s=|=|F||||s|cosθ(θ|cosθ(θ为为F与与s的夹角）的夹角）. . 判断下面结论是否正确（请在括号中打判断下面结论是否正确（请在括号中打““√√””或或““×”×”））. .（（1 1）若）若 则则A,B,CA,B,C三点共线三点共线.( ).( )（（2 2）解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可）解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以用向量解决以用向量解决.( ).( )（（3 3）实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的）实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算转化的主要手段是向量的坐标运算.( ).( )（（4 4）在）在△ABC△ABC中，若中，若 则则△ABC△ABC为钝角三角形为钝角三角形.( ).( ) 【解析【解析】】（（1 1）正确）正确. .因为因为 有相同的起点有相同的起点A A，，故故A A，，B B，，C C三点共线，故正确三点共线，故正确. .（（2 2）正确）正确. .解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题可利用向量的共线、数量积、模等知识解决，故正确题可利用向量的共线、数量积、模等知识解决，故正确. . （（3 3）正确）正确. .由于向量的坐标把数和形结合在一起，所以在向量由于向量的坐标把数和形结合在一起，所以在向量的应用中，坐标运算起到的应用中，坐标运算起到““桥梁桥梁””的作用的作用. .（（4 4）错误）错误. .由由 可得角可得角B B为锐角，但三角形为锐角，但三角形的形状不能判定的形状不能判定. .故不正确故不正确. .答案：答案：（（1 1））√ √ （（2 2））√ √ （（3 3））√ √ （（4 4））×× 1.1.一质点受到平面上的三个力一质点受到平面上的三个力F1 1, ,F2 2, ,F3 3( (单位：牛顿单位：牛顿) )的作用的作用而处于平衡状态，已知而处于平衡状态，已知F1 1, ,F2 2成成6060°°角，且角，且F1 1, ,F2 2的大小分别的大小分别为为2 2和和4 4，则，则F3 3的大小为的大小为( )( )【解析【解析】】选选D.|D.|F3 3| |2 2=|=|F1 1| |2 2+|+|F2 2| |2 2+2|+2|F1 1||||F2 2|cos 60|cos 60°°=28,=28,所以所以 选选D.D. 2. 2. 在在△ABC△ABC中，中，C C＝＝9090°°，且，且CACA＝＝CBCB＝＝3 3，点，点M M满足满足 则则 等于等于( )( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)6(A)2 (B)3 (C)4 (D)6【解析【解析】】选选B.B.由题意可知，由题意可知， 3.3.在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中，若定点中，若定点A(1A(1，，2)2)与动点与动点P(xP(x，，y)y)满足满足 则点则点P P的轨迹方程是的轨迹方程是______________．．【解析【解析】】由由 ＝＝4 4，得，得(x(x，，y)y)··(1(1，，2)2)＝＝4 4，，得得x x＋＋2y2y＝＝4 4，即，即x+2y-4=0.x+2y-4=0.答案：答案：x x＋＋2y2y－－4 4＝＝0 0 4.4.已知已知O O是是Rt△ABCRt△ABC的内心，两直角边的内心，两直角边AB=5AB=5，，AC=12AC=12，，【解析【解析】】△ABC△ABC的内切圆半径的内切圆半径 从而从而答案：答案： 考向考向 1 1 向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用 【典例【典例1 1】】（（1 1）平面上）平面上O,A,BO,A,B三点不共线，设三点不共线，设 则则△OAB△OAB的面积等于的面积等于( )( ) （（2 2）若等边）若等边△ABC△ABC的边长为的边长为 平面内一点平面内一点M M满足满足【思路点拨【思路点拨】】（（1 1）先求出）先求出coscos〈〈a,b〉，再求出〉，再求出sinsin〈〈a,b〉，〉，求出三角形的面积化简即可求出三角形的面积化简即可. .（（2 2）建立平面直角坐标系，将问题转化为向量的坐标运算即）建立平面直角坐标系，将问题转化为向量的坐标运算即可可. . 【规范解答【规范解答】】（（1 1）选）选C.C.由条件得由条件得 （（2 2）以）以BCBC的中点为原点，的中点为原点，BCBC所在直所在直线为线为x x轴建立如图所示的平面直角坐轴建立如图所示的平面直角坐标系，根据题设条件可知标系，根据题设条件可知A(0A(0，，3)3)，， 设设M(x,yM(x,y) )，， 由由 得得, ,答案：答案：-2-2 【拓展提升【拓展提升】】平面几何问题的向量解法平面几何问题的向量解法（（1 1）坐标法）坐标法. .把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决题得到解决. .(2)(2)基向量法基向量法. .适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于未知量的方程来进行求解关于未知量的方程来进行求解. . 【提醒【提醒】】用坐标法解题时，建立适当的坐标系是解题的关键，用坐标法解题时，建立适当的坐标系是解题的关键，用基向量解题时要选择适当的基底用基向量解题时要选择适当的基底. . 【变式训练【变式训练】】(1)(1)（（20132013··佛山模拟）如图，佛山模拟）如图，在梯形在梯形ABCDABCD中，中，DA=AB=BC= CD=1.DA=AB=BC= CD=1.点点P P在阴影区域（含边界）中运动，在阴影区域（含边界）中运动，则则 的取值范围是的取值范围是( )( ) 【解析【解析】】选选B.B.由平面几何知识可得由平面几何知识可得∠ADC=60∠ADC=60°°，故，故∠BAD=∠ABC=120∠BAD=∠ABC=120°°，，∠ABD=∠ADB=30∠ABD=∠ADB=30°°，从而可得，从而可得 ∠∠CBD=90CBD=90°°. . 而而 其中其中 的几何意义的几何意义即为向量即为向量 在向量在向量 上的投影上的投影. .根据图形易得根据图形易得| |cos| |cos θ θ∈∈［［ ］，故］，故 从而从而 的取值范围是的取值范围是 (2)(2)在面积为在面积为2 2的的△ABC△ABC中，中，E E，，F F分别是分别是ABAB，，ACAC的中点，点的中点，点P P在在直线直线EFEF上，则上，则 的最小值是的最小值是_______._______. 【解析【解析】】由题设知，由题设知，△PBC△PBC的面积为的面积为1 1，以，以B B为原点，为原点，BCBC所在直所在直线为线为x x轴，过点轴，过点B B与直线与直线BCBC垂直的直线为垂直的直线为y y轴建立平面直角坐标轴建立平面直角坐标系，设系，设当且仅当当且仅当 时等号成立，时等号成立，答案：答案： 考向考向 2 2 向量在三角函数中的应用向量在三角函数中的应用 【典例【典例2 2】】（（1 1）（）（20122012··陕西高考）设向量陕西高考）设向量a=(1,cos θ)=(1,cos θ)与与b=(-1,2cos θ)=(-1,2cos θ)垂直，则垂直，则coscos 2θ 2θ等于等于( )( )（（2 2）已知点）已知点A(1,1),B(1,-1), (θ∈RA(1,1),B(1,-1), (θ∈R) )，，O O为坐标原点为坐标原点. .①①若若 求求sin 2θsin 2θ的值；的值；②②若实数若实数m,nm,n满足满足 求求(m-3)(m-3)2 2+n+n2 2的最大值的最大值. . 【思路点拨【思路点拨】】（（1 1）由向量垂直关系，可计算）由向量垂直关系，可计算coscos 2θ 2θ的值的值. .（（2 2））①①由由 得到关于得到关于θθ的关系式，两边平方可的关系式，两边平方可求解；求解；②②用含用含θθ的关系式表示的关系式表示m,nm,n，然后转化为三角函数的，然后转化为三角函数的最值问题求解最值问题求解. . 【规范解答【规范解答】】（（1 1）选）选C.C.已知已知a=(1,cos θ)=(1,cos θ)，，b=(-1,2cos θ)=(-1,2cos θ)，，∵∵a⊥⊥b，，∴∴a··b=0=0，，∴∴-1+2cos-1+2cos2 2θ=cos2θ=0θ=cos2θ=0，故选，故选C.C. 两边平方得两边平方得②②由由 得得∴∴当当 有最大值有最大值16.16. 【互动探究【互动探究】】在本例（在本例（2 2）的第）的第①①小题中，若将条件小题中，若将条件 则如何解答？则如何解答？【解析【解析】】由条件知由条件知 【拓展提升【拓展提升】】向量与三角函数综合题的答题策略向量与三角函数综合题的答题策略(1)(1)当题目条件中给出的向量的坐标中含有三角函数的形式并当题目条件中给出的向量的坐标中含有三角函数的形式并求有关三角函数的问题时，解题时首先利用向量的相等、共线求有关三角函数的问题时，解题时首先利用向量的相等、共线或垂直等，将问题转化为三角函数的关系式，然后利用三角函或垂直等，将问题转化为三角函数的关系式，然后利用三角函数的知识解决数的知识解决. . (2)(2)当题目条件中给出的向量的坐标中含有三角函数当题目条件中给出的向量的坐标中含有三角函数, ,并且求向并且求向量的模或其他向量的表达形式，解题时要通过向量的运算，将量的模或其他向量的表达形式，解题时要通过向量的运算，将问题转化为三角函数的有界性，求得最值（或值域）问题转化为三角函数的有界性，求得最值（或值域）. .【提醒【提醒】】解决向量与三角函数综合题的关键是把向量关系转化解决向量与三角函数综合题的关键是把向量关系转化为向量的运算，再进一步转化为三角函数的运算，其中向量的为向量的运算，再进一步转化为三角函数的运算，其中向量的平行、垂直是解题的平行、垂直是解题的““桥梁桥梁””. . 【变式备选【变式备选】】（（1 1）已知向量）已知向量a=(cos=(cos α,-2) α,-2)，，b=(sin α,1),=(sin α,1),且且a∥∥b，则，则2sin αcos2sin αcos α α等于等于( )( )【解析【解析】】选选D.D.由由a∥∥b得得coscos α=-2sin α α=-2sin α，，∴∴tan α= tan α= （（2 2）已知）已知A A，，B B，，C C的坐标分别为的坐标分别为A(3A(3，，0)0)，，B(0B(0，，3)3)，，C(cosC(cos α α，，sin α)sin α)，，①①若若 求角求角αα的值；的值；②②若若 的值．的值．【解析【解析】】①∵①∵ 由由即即1010－－6cos α6cos α＝＝1010－－6sin α6sin α，得，得sin αsin α＝＝coscos α. α.又又∵∵②②由由得得(cos(cos α α－－3)cos α3)cos α＋＋sin α(sinsin α(sin α α－－3)3)＝－＝－1 1，，∴sin α∴sin α＋＋coscos α α＝＝ 两边分别平方，得两边分别平方，得1 1＋＋2sin αcos2sin αcos α α＝＝∴∴2sin αcos2sin αcos α α＝＝ 向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用 【典例【典例】】（（1 1）（）（20132013··广州模拟）如图，已知圆广州模拟）如图，已知圆C:C:（（x+1x+1））2 2+y+y2 2=8.=8.定点定点A A（（1 1，，0 0），），M M为圆为圆C C上一动点，点上一动点，点P P在在AMAM上，点上，点N N在在CMCM上，且满足上，且满足 则点则点N N的轨迹方程是的轨迹方程是_____._____.（（2 2）在平行四边形）在平行四边形ABCDABCD中，中，A(1A(1，，1)1)，， =(6,0)=(6,0)，点，点M M是线段是线段ABAB的中点，线段的中点，线段CMCM与与BDBD交于点交于点P.P.①①若若 =(3,5)=(3,5)，求点，求点C C的坐标；的坐标；②②当当 时，求点时，求点P P的轨迹．的轨迹． 【思路点拨【思路点拨】】（（1 1）将向量条件转化为几何条件，得出动点满）将向量条件转化为几何条件，得出动点满足的等量关系足的等量关系. .（（2 2））①①设出点设出点C C的坐标，根据的坐标，根据 可得所求；可得所求；②②设出设出点点P P的坐标的坐标(x,y(x,y) )，由条件得四边形，由条件得四边形ABCDABCD为菱形，根据为菱形，根据 可求得可求得x,yx,y间的关系，即得点间的关系，即得点P P的轨迹方程，进而可得轨迹的轨迹方程，进而可得轨迹. . 【规范解答【规范解答】】（（1 1）连接）连接ANAN，，∴NP∴NP为为AMAM的垂直平分线，的垂直平分线，∴∴|NA|=|NM|.|NA|=|NM|.又又∴∴动点动点N N的轨迹是以点的轨迹是以点C C（（-1-1，，0 0），），A A（（1 1，，0 0）为焦点的椭圆，）为焦点的椭圆，且椭圆长轴长为且椭圆长轴长为∴∴点点N N的轨迹方程为的轨迹方程为答案：答案： （（2 2））①①设点设点C C的坐标为的坐标为(x(x0 0，，y y0 0) )，， ②②设设P(x,yP(x,y) )，，则则∵ ∴∵ ∴平行四边形平行四边形ABCDABCD为菱形．为菱形．∴ ∴(x∴ ∴(x－－7 7，，y y－－1)1)··(3x(3x－－9 9，，3y3y－－3)3)＝＝0 0，， 即即(x(x－－7)(3x7)(3x－－9)9)＋＋(y(y－－1)(3y1)(3y－－3)3)＝＝0.0.∴x∴x2 2＋＋y y2 2－－10x10x－－2y2y＋＋2222＝＝0 0．．即即(x-5)(x-5)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=4.=4.又当又当y=1y=1时，点时，点P P在在ABAB上，与题意不符上，与题意不符, ,故点故点P P的轨迹是以的轨迹是以(5(5，，1)1)为圆心，为圆心，2 2为半径的圆且去掉与直线为半径的圆且去掉与直线y=1y=1的两个交点．的两个交点． 【拓展提升【拓展提升】】向量在解析几何中的作用向量在解析几何中的作用（（1 1）载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于）载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于““包装包装””，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去““向量向量外衣外衣””，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题斜率、夹角、轨迹、最值等问题. . (2)(2)工具作用：利用工具作用：利用 ( (a,b为非零向量为非零向量),),a∥∥ba=λ=λb（（b≠≠0））, ,可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法较可行的方法. . 【变式训练【变式训练】】已知点已知点A(-1,0)A(-1,0)，，B(1,0)B(1,0)，动点，动点M M的轨迹的轨迹C C满足满足∠AMB=2θ∠AMB=2θ，， 并写出并写出曲线曲线C C的方程的方程. .【解析【解析】】设设M(x,yM(x,y) )，在，在△MAB△MAB中，中，|AB|=2|AB|=2，，∠AMB=2θ∠AMB=2θ，，根据余弦定理得根据余弦定理得 因此点因此点M M的轨迹是以的轨迹是以A,BA,B为焦点的椭圆为焦点的椭圆( (去掉去掉x x轴上的两点轴上的两点) )，，a=2a=2，，c=1.c=1.所以曲线所以曲线C C的方程为的方程为 【易错误区【易错误区】】忽视分类讨论思想的运用致误忽视分类讨论思想的运用致误 【典例【典例】】（（20132013··潮州模拟）已知向量潮州模拟）已知向量（（1 1）若）若△ABC△ABC为直角三角形，求为直角三角形，求k k值值. .（（2 2）若）若△ABC△ABC为等腰直角三角形，求为等腰直角三角形，求k k值值. . 【误区警示【误区警示】】解答本题时容易出现以下错误：解答本题时容易出现以下错误：1.1.解决第解决第(1)(1)问时容易误认为只有问时容易误认为只有∠A∠A为直角，从而导致解答不为直角，从而导致解答不完整完整. .2.2.解决第解决第(2)(2)问时不知在上一问的基础上进行，没有分类验证问时不知在上一问的基础上进行，没有分类验证, ,导致无法解题或结果错误导致无法解题或结果错误. . 【规范解答【规范解答】】(1) =(2-k,-1)(1) =(2-k,-1)，， =(1,k),=(1,k),∴(2-k,-1)∴(2-k,-1)··(1,k)=0(1,k)=0，解得，解得k=1;k=1;②②若若∠B=90∠B=90°°，则，则∴(2-k,-1)∴(2-k,-1)··(k-1,k+1)=0,(k-1,k+1)=0,得得k k2 2-2k+3=0,-2k+3=0,无解无解; ; ③③若若∠C=90∠C=90°°，则，则∴∴(1,k)(1,k)··(k-1,k+1)=0(k-1,k+1)=0，，得得k k2 2+2k-1=0+2k-1=0，解得，解得综上所述，当综上所述，当k=1k=1时，时，△ABC△ABC是以是以A A为直角顶点的直角三角形；为直角顶点的直角三角形；当当 时，时，△ABC△ABC是以是以C C为直角顶点的直角三角形为直角顶点的直角三角形. . (2)①(2)①当当k=1k=1时，时，②②当当 时，时， ③③当当 时，时，综上所述，当综上所述，当k=1k=1时，时，△ABC△ABC是以是以BCBC为斜边的等腰直角三角形为斜边的等腰直角三角形. . 【思考点评【思考点评】】1.1.向量共线、向量的模、向量的数量积向量共线、向量的模、向量的数量积设设a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2),),则则 （（a, ,b为非零向量）为非零向量）. .2.2.向量数量积的作用向量数量积的作用向量数量积在几何中有着广泛的应用，利用向量的数量积可解向量数量积在几何中有着广泛的应用，利用向量的数量积可解决长度问题、夹角问题和垂直问题决长度问题、夹角问题和垂直问题. .在应用时要注意数量积的在应用时要注意数量积的坐标表示与向量共线的坐标表示的区别，在这里容易因为形式坐标表示与向量共线的坐标表示的区别，在这里容易因为形式上的混淆而导致错误上的混淆而导致错误. . 1.1.（（20132013··珠海模拟）在珠海模拟）在△ABC△ABC中，点中，点D D段段BCBC的延长线的延长线上，且上，且 点点O O段段CDCD上（与点上（与点C C，，D D不重合），若不重合），若 则则x x的取值范围是的取值范围是( )( ) 【解析【解析】】选选C.C.由由 则则 又点又点O O段段CDCD上且不与上且不与C C，，D D点重合，点重合，∴0∴0＜＜-2x-2x＜＜1 1，从而，从而x x的取值范围是的取值范围是 2.2.（（20132013··湛江模拟）已知湛江模拟）已知a,b,ca,b,c分别为分别为△ABC△ABC的三个内角的三个内角A A，，B B，，C C的对边，的对边， 则角则角A A的大的大小为小为( )( )【解析【解析】】选选C. C. 3.3.（（20122012··江苏高考）如图，在矩江苏高考）如图，在矩形形ABCDABCD中，中， 点点E E是是BCBC的中点，点的中点，点F F在边在边CDCD上，若上，若 的值是的值是______.______. 【解析【解析】】以以A A点为原点，点为原点，ABAB所在直线为所在直线为x x轴，轴，ADAD所在直线为所在直线为y y轴建立平面直角坐标系，轴建立平面直角坐标系，所以所以答案：答案： 4.4.（（20132013··茂名模拟）已知向量茂名模拟）已知向量a=(x=(x2 2,x+1),x+1)，，b=(1-x,t),=(1-x,t),若若函数函数f(xf(x)=)=a··b在区间［在区间［-1,1-1,1］上是增函数，则实数］上是增函数，则实数t t的取值的取值范围是范围是_______._______. 【解析【解析】】 f(xf(x)=)=a··b=(x=(x2 2,x+1),x+1)··(1-x,t)(1-x,t)=-x=-x3 3+x+x2 2+tx+t,+tx+t,∴f′(x∴f′(x)=-3x)=-3x2 2+2x+t.+2x+t.∵f(x∵f(x)=)=a··b在区间［在区间［-1,1-1,1］上是增函数，］上是增函数，∴∴f′(xf′(x)=-3x)=-3x2 2+2x+t≥0+2x+t≥0在［在［-1,1-1,1］上恒成立，］上恒成立，∴∴t≥3xt≥3x2 2-2x-2x在［在［-1,1-1,1］上恒成立］上恒成立. .而当而当x∈x∈［［-1,1-1,1］时，］时，3x3x2 2-2x≤5-2x≤5，当且仅当，当且仅当x=-1x=-1时等号成立时等号成立. .∴t≥5,∴t≥5,即所求实数即所求实数t t的取值范围是［的取值范围是［5,+∞).5,+∞).答案：答案：［［5,+∞)5,+∞) 1.1.设向量设向量a与与b的夹角为的夹角为θθ，定义，定义a与与b的的““向量积向量积””：：a××b是一是一个向量，它的模个向量，它的模 | |a××b|=||=|a| |··| |b| |··sinsin θ θ，若，若a= = =( ) =( ) 【解析【解析】】选选C.C. 2.2.已知已知O O是坐标原点，点是坐标原点，点A A（（-1-1，，1 1））, ,若点若点M M（（x x，，y y）为平面区）为平面区域域 上的一个动点，则上的一个动点，则 的取值范围是的取值范围是( )( )(A)(A)［［-1,0-1,0］］ (B)(B)［［0,10,1］］(C)(C)［［0,20,2］］ (D)(D)［［-1,2-1,2］］ 【解析【解析】】选选C.C.由题意，不等式组由题意，不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示：表示的平面区域如图阴影部分所示： 由向量数量积的坐标运算易得：由向量数量积的坐标运算易得：令令-x+y-x+y=z,=z,即即y=x+zy=x+z, ,易知目标函数易知目标函数y=x+zy=x+z过点过点B B（（1 1，，1 1）时，）时，z zminmin=0,=0,目标函数目标函数y=x+zy=x+z过点过点C(0,2)C(0,2)时，时，z zmaxmax=2,=2,故故 的取值范围是［的取值范围是［0,20,2］］. . 。