曲线的参数方程编稿：赵雷 审稿：李霞【学习目标】1. 了解参数方程，了解参数的意义2. 能利用参数法求简单曲线的参数方程3. 掌握参数方程与普通方程的互化4. 能选择适当的参数写出圆和圆锥曲线的参数方程 【要点梳理】要点一、参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x, y都是某个变数t的函数，即 x f （t） ① ，y g（t）并且对于 t 的每一个允许值，方程组 ① 所确定的点 M（x,y） 都在这条曲线上，那么方程组 ① 就叫做这 条曲线的参数方程，联系 x,y间的关系的变数t叫做参变数（简称参数）.相对于参数方程来说，直接给出曲线上点的坐标关系的方程 F（x,y） 0，叫做曲线的普通方程要点诠释：（ 1）参数是联系变数 x， y 的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实 际意义的变数．（ 2）一条曲线是用直角坐标方程还是用参数方程来表示，要根据具体情况确定． （3）曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的关系，而参数方程是通过参 数反映坐标变量 x、y 间的间接联系要点二、求曲线的参数方程求曲线参数方程的主要步骤：第一步，画出轨迹草图，设 M（x，y）是轨迹上任意一点的坐标•画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以便于发现变量之间的关系．第二步，选择适当的参数.参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标（x, y）都能由参数取某一值唯一地确定出来；例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数.此外，离 某一定点的有向距离、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数.有时为了便于列出方程，也可以选两个以上的参数，再设法消去其中的参数得到普通方程，或剩下一 个参数得到参数方程，但这样做往往增加了变形与计算的麻烦，所以参数个数一般应尽量少.二是曲线上每一点的坐标 x， y 与参数的关系比较明显，容易列出方程； 第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式， 证明可以省略.要点诠释：普通方程化为参数方程时， （ 1）选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价.(2 )参数的选取不同，得到的参数方程是不同的.要点三、参数方程与普通方程的互化1、参数方程化为普通方程(1)把参数方程化为普通方程的基本思想是消去参数，消去参数的常用方法有：① 代入法•先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示) ，再代入另一个方程.② 利用代数或三角函数中的恒等式消去参数.x例如：对于参数方程cos如果t是常数， 是参数，那么可以利用公式 sin2+cos=1sin消参；如果是常数，t是参数,那么适当变形后可以利用 (m+n)2— (m — n) 2=4mn消参.③ 其他方法：加减消参法、乘除消参法、平方和(差)消参法、混合消参法等要点诠释:注意：一般来说，消去曲线的参数方程中的参数，就可以得到曲线的普通方程，但要注意，这种消参 的过程要求不减少也不增加曲线上的点，即要求参数方程和消去参数后的普通方程是等价的.2、普通方程化为参数方程(1) 把曲线C的普通方程F(x, y) 0化为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数 t,先确定一个关系式 x f (t)，再代入普通方程求得另一个关系式 y g(t)。
2) 一般地，常选择的参数有角度，斜率，时间等要点诠释：互化要确保参数方程与普通方程互化前后的等价性注意方程中的参数的变化范围，必须使坐标 x,y的取值范围在互化前后保持不变，否则，互化就是不等价的要点四、圆的参数方程(1) 圆的参数方程定义：已知圆心为(a,b)，半径为r的圆(x a)2(y b)2 r2的参数方程为:x a r cos y b r sin(是参数，R);特别：当圆心在原点时，半径为r的圆x2 y2 r2的参数方程为:x r cos y r si n(是参数)2)参数的几何意义:表示x轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的角要点注释:(1 )圆的标准方程明确地指出圆心和半径，圆的一般方程突出方程形式上的特点，圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点2 )圆的参数方程实际上是一组三角代换，为解决有关圆的问题提供了一条新的途径 要点五、圆锥曲线的参数方程1.椭圆的参数方程(1)椭圆2 2x V x—2 1 （a b 0）的参数方程为a bacosbsi n(为参数)2)参数的几何意义:参数表示椭圆上某一点的离心角如图所示，点 P对应的离心角为QOx （过P作PQx轴，交大圆即以2a为直径的圆于Q)，切不可认为是POx。
要点注释：从数的角度理解，椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换椭圆2x~~2 a任意一点可设成(acos ,bsin )，为解决有关椭圆问题提供了一条新的途径2.双曲线的参数方程2双曲线令a20, b 0)的参数方程为:x asecy bta n(为参数，［2 ）且-32(注：sec1——）cos参数的几何意义：参数表示双曲线上某一点的离心角0, b 0)上任意一点的坐标可设为 (asec ,btan )3. 抛物线的参数方程抛物线 寸 2px（ p 0）的参数方程为X 2pt （ t是参数）y 2pt参数t的几何意义：抛物线上一点（除顶点）与其顶点o连线的斜率的倒数，即t1kop要点六、参数方程的用途引进曲线参数方程有何用处？其用途主要有下列几个方面：① 有些曲线在实际应用中用途非常广，如圆的渐开线在齿轮制造中必不可少，可它的普通方程没法直接表示，而参数方程很容易得出；② 有些动点（x，y）的轨迹，坐标x、y的关系不好找，我们引入参变量 t后，很容易找到x与t和y与t的等量关系式，消去参变量后即得动点轨迹方程此时参数方程在求动点轨迹中起桥梁作用③ 可以用曲线的参数方程表示曲线上的一点坐标，这样把二元问题化为一元问题来解决。
圆锥曲线的 参数方程主要功能就是它④ 有些曲线参数方程的参变量 t有几何意义若能利用参变量的几何意义解题，经常取得想不到的效果若利用直线标准参数方程中 t的几何意义解题，会使很多难题化易，繁题化简总之，我们引进参数方程才能更广泛地研究曲线典型例题】类型一、求曲线的参数方程例1. 过点P（2，4）作两条互相垂直的直线 li,丨2，若li交x轴于A点，I2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程f \^,4）0【思路点拨】从运动的角度观察发现，点 M的运动是由直线li引发的，可设出li的斜率k作为参数，建立动点M坐标（x，y）满足的参数方程解析】设 M（x, y）,设直线 I i 的方程为 y — 4 = k （x- 2） , （ k^O）1由li I2,则直线J的方程为y 4 （x 2）k4li与x轴交点A的坐标为（2 一,0）,k2〔2与y轴交点B的坐标为（0,4 -），k••• M为AB的中点,2142 -k224 -K2k （k为参数）消去 k, 得 x+ 2y - 5= 0另外，当k= 0时，AB中点为M（ 1, 2）,满足上述轨迹方程; 当k不存在时，AB中点为M（ 1，2），也满足上述轨迹方程。
综上所述，M的轨迹方程为x+ 2y - 5= 0总结升华】1） 本题解法的前半部分用了参数法，求出了动点的参数方程，后半部分通过消参得到了普通方程2） 用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角度，有 向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注 意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响举一反三:【变式1】设质点沿以原点为圆心，半径为参数，建立质点运动轨迹的参数方程.2的圆做匀角速运动，角速度为 rad/ s.试以时间t为60【答案】如图所示，在运动开始时质点位于点设动点M（ x, y）对应时刻t ,A处，此时t=0 .由图可知x 2cosy 2si n又 t （t以s为单位），60得参数方程2cos t60 (t 0).2sin t60【变式2】过原点作直线I和抛物线y2x 4x 6交于A B两点，求线段 AB的中点M的轨迹方程答案】由题意分析知直线l的斜率一定存在，设直线 l的方程y=kx把它代入抛物线方程得 1 ■■ ■ r 因为直线和抛物线相交，所以△ >0,解得x （ , 4 2、6） （ 4 2.6,）。
设 A （叼 Fl）, B （叼 y?）, M（ x, y）,由韦达定理得筍+靭・4+蛤忙径彳・6Xi 4 -b k ’ 41c + k?s = = , v= ks= 2 2 14 k2 2 消去 k 得 y 2x2 4x4k+k2又k*严牝"“，所以x （,禹）（岳 ）•••点 M的轨迹方程为 y 2x2 4x,x （ , 、6） （.、6,）变式3】设飞机以匀速v=150m/ s做水平飞行，若在飞行高度h=588 m处投弹(设炸弹的初速度等于飞机的速度) ，(1) 求炸弹离开飞机后的轨迹方程；(2 )试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标.【答案】 「(1) 如图所示，A为投弹点，坐标为(0, 588), B为目标，坐标为(X0, 0).记炸弹 x 飞行的时间为t，在A点t=0 .设M(x, y)为飞行曲线上的任意一点，它对应时刻 t .炸弹初速度 V0=150 m/s ,用物理学知识，分别计算水平、竖直方向上的路程，得 : +0 R *x v°t1 2 2 ，y 588 gt (g 9.8m / s )x 150t即 2 .y 588 4.9t2这是炸弹飞行曲线的参数方程.(2) 炸弹飞行到地面目标 B处的时间t0满足方程y=0,即 588 4.9t； 0 ,解得 t0 2 30 .由此得 x 150 2、30 300 30 1643(m).即飞机在离目标1643m (水平距离)处投弹才能击中目标.(1)x3cos0,为参数y3si n21 tx(3)1 t(t1, t为参数);2ty1 t类型二、参数方程与普通方程互化例2.把下列参数方程化为普通方程【思路点拨】(1) 利用三角恒等式进行消参；(2) 将第二个式子变形后，把第一个式子代入消参；x sin ,厶“⑵ ( R, 。