第三章 条件概率与事件的独立性n重点条件概率的概念概率的乘法定理第一节 条件概率定义 设A、B两个事件，P(A)> 0，称已知A发生条件 下B发生的概率为B的条件概率，记为 下面我们来推导条件概率的计算公式例1 箱中有同型号的产品7件，其中4件正品，3 件次品，无放回地抽取2件，每次取1件，已知第 一次取到的是正品，求第二次取到次品的概率P(AB)=而P(A)=发现这就是已知A发生条件下B发生的条件概率的 计算公式，其中P(A)> 0类似地，如果P(B)> 0，那么给定B已发生条件 下，A发生的概率为：由以上，可得概率的乘法定理：乘法定理：推广条件概率与乘法公式的区别1、 表示A发生并且B发生的概率；2、 表示在B发生的条件下A发生的概率， 条件概率的标志词：“当、已知、如果”等条件概率与一般概率的区别条件概率：在事件B发生的条件下事件A发生的 概率条件概率是以B这样一个新的样本空间来 考虑问题的；一般概率是以基本事件的总数构成 的样本空间来考虑的解一个盒子中有６只白球、４只黑球，从中不放回地 每次任取１只，连取２次，求 (1) 第一次取得白球的概 率； (2) 第一、第二次都取得白球的概率； (3) 第一次取 得黑球而第二次取得白球的概率．设Ａ表示第一次取得白球, Ｂ表示第二次取得白球, 则 （2） （3） （1） 某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7 ，活到25岁的概率为0.56，求现年为20 岁的这种动物活到25岁的概率。
0.8第二节 全概率公式在社会经济统计中，欲统计某种指标数据时， 常常采用由各部门、单位汇总的方式和途径（比 如全校党员人数由各单位党员数汇总而得），类 似地，欲计算某一事件概率时，也往往采用由偏 概全，把各种不同来源、出处的可能性加以汇总 的方式和途径得到例1 某市场供应的灯泡中，甲、乙两厂的产品分别占 70％与30％，而甲、乙两厂的产品的合格品率分别为 95％与80％试求从市场上任买一只灯泡为合格品的 概率及这个合格品来自甲厂的概率设B＝{产品为合格品}， ={产品来自甲厂} ={产品来自乙厂}为互斥事件，也为互斥事件在上面求解过程中，待求概率的事件B的分解式十分关键，将事件B看成“结果”，而事件 看 成是产生结果的两个可能“原因”分解式正是“ 结果”与可能“原因”之间的一种联系方式，而问 题就是已知可能“原因”发生的概率，求“结果”发 生的概率 我们称这一类问题为全概率问题设事件 两两互斥，且 又事件B满足则有全概率公式：当事情分成两个随机阶段来完成，而且第二个 阶段需要根据第一阶段各种各样的结果来计算的时 候，用全概公式。
例2（课本）设某工厂有两个车间生产同型号家用电 器，第1车间的次品率为0.15，第2车间的次品率为 0.12两个车间生产的成品都混合堆放在一个仓库中 ，假设第1、2车间生产的成品比例为2：3，今有一客 户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概 率解 记B＝{从仓库随机提出的一台是合格品}＝{提出的一台是第i车间生产的}则有设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报 名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份 随机地取一个地区的报名表，求抽到的一份是女生 表的概率第三节 贝叶斯公式例1 某市场供应的灯泡中，甲、乙两厂的产品分别占 70％与30％，而甲、乙两厂的产品的合格品率分别为 95％与80％试求从市场上任买一只灯泡为合格品的 概率及这个合格品来自甲厂的概率设B＝{产品为合格品}， ={产品来自甲厂} ={产品来自乙厂}为互斥事件，也为互斥事件在这一只灯泡为合格品的概率为0.905中，来自 甲厂的占了 ，从而一只合格品来自甲厂的 概率为：这个问题与第一个问题恰好相反，第一个问题 是由“原因”推断“结果”，而这个问题则是由“结果 ”推断“原因”。
我们称它为贝叶斯公式：设事件 互斥，且 事件B满足条件且 ，则对任一 ，有贝叶斯公式是大统计学家Bayes提出的其中 一般可利用统计资料事先取得，故称为先验概率或 事前概率，而 则是一种已知结果后追查原因 、出处的逆向条件概率，称为后验概率或逆概率， 贝叶斯公式也可称为逆概率公式贝叶斯 Thomas Bayes，英国数学家.1702年出 生于伦敦，做过神甫1742年成为英国皇家学会会 员1763年4月7日逝世贝叶斯在数学方面主要研 究概率论他首先将归纳推理法用于概率论基础理 论，并创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数 、统计推断、统计的估算等做出了贡献. 贝叶斯所 采用的许多术语被沿用至今他对统计推理的主要贡献是使 用了“逆概率“这个概念，并把 它作为一种普遍的推理方法提出 来贝叶斯公式是他在1763年提 出来的. 从时间的顺序上来说，贝叶斯公式是已知第二 阶段的某一结果，来求第一阶段某一结果的概率例 有朋自远方来，他乘火车、船、汽车、飞机的概率分别为 3/10，1/5，1/10，2/5。
若乘火车、船、汽车迟到的概率分别 为1/4，1/3，1/12，而乘飞机便不会迟到，即概率为0，结果 他迟到了求在这一条件下，他乘火车来的概率 解设Ａ1 ,Ａ2 ,Ａ3，A4分别表示乘火车，乘船，乘 汽车，乘飞机Ｂ表示“他迟到了”． 依题意，有 例（课本） 一项血液化验以概率0.95将带菌病人检出 阳性，但也有1％的概率误将健康人检出阳性设人群 中带菌病人为0.5%,求已知一个个体检出为阳性条件下 ，该个体确实带菌的概率解：设B＝{阳性}，A1＝{带菌}， A2＝{不带菌}解 设原发信号为“ • ” 为事件 A1原发信号为“ — ”为事件 A2 收到信号“不清” 为事件 B练习 在无线电通讯中发出信号“ • ”,由于随机干扰,收 到信号“• ”,“不清”,“ — ” 的概率分别为0.7, 0.2, 0.1; 发出信号“ — ”,收到信号“• ”,“不清”,“— ”的概率分别 为0, 0.1, 0.9.已知在发出的信号中, “ • ”和“ — ”出现 的概率分别为0.6 和 0.4 , 试分析, 当收到信号 “不清” 时, 原发信号为“ • ”还是“ — ”的概率哪个大？可见, 当收到信号“不清”时, 原发信号为 “ • ”的可能性大已知：第四节 事件的独立性一般来说，条件概率 ， 即A发生与否对B发生的概率是有影响的；但也有很多情形是例外 的。
引例 将一颗均匀骰子投掷两次A＝{第一次掷出3点} B={第二次掷出6点}显然，事件A是否发生，对事件B发生的概率 没有影响事件A与事件B没有关系事件A与事件B是相互独立的 相互独立事件满足：设Ａ、Ｂ为任意两个随机事件，如果Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝Ｐ（Ｂ） (1) 即事件Ｂ发生的可能性不受事件Ａ的影响，则称事件Ｂ 对于事件Ａ独立． 显然，Ｂ对于Ａ独立，则Ａ对于Ｂ也独立，故称Ａ 与Ｂ相互独立． n定义由(1)式，在等式两边同时乘以 ，得：我们称这是事件Ａ与事件Ｂ独立的充要条件2)注 在实际应用中，我们一般是根据问题的实际意 义去判断两事件是否相互独立，并不根据(2)式去判 断而仅将(2)式作为相互独立事件的一个性质加以 应用如：(1)甲乙两人向同一目标射击，A＝{甲命中目 标}，B＝{乙命中目标}(2)从有限的总体中，有放回的抽取两次产品，A＝{第一次抽到次品}，B＝{第二次抽到次品}(3)掷一颗均匀的骰子两次，两次掷到的点数对于三事件 A, B, C 如果：注：1) 关系式(1) (2)不能互相推出2)仅满足(1)式时,称 A, B, C 两两独立 (1)(2)A, B, C 相互独立A, B, C 两两独立 定义(1)与(2)同时成立，则称A，B，C相互独立。
例 随机投掷编号为 1 与 2 的两颗骰子事件 A 表示1号骰子向上一面出现奇数B 表示2号骰子向上一面出现奇数C 表示两骰子出现的点数之和为奇数 则但本例说明 不能由 A, B, C 两两独立 A, B, C 相互独立n 个事件 A1, A2, …, An 相互独立是指下面的关系式同时成立定义常由实际问题的意义判断事件的独立性q 四对事件任何一对相互独立,则其它三对也相互独立如事实上利用独立事件的性质 计算其并事件的概率 若 A1, A2, …, An 相互独立, 则例 加工某一种零件需要经过三道工序，设三道工序的次品率分别为2%，1%，5% ，假设各道工序是互不影响的．求加工出来的零件的次品率． 解设Ａ1 ，Ａ2 ，Ａ3 分别表示第一、第二、第三道工序出现 次品，则依题意：Ａ1 ,Ａ2 ,Ａ3 相互独立，且 Ｐ（Ａ1）＝2 % , Ｐ（Ａ2）＝1% , Ｐ（Ａ3）＝5% 又设Ａ表示加工出来的零件是次品, 则 A＝Ａ1∪Ａ2∪Ａ3 ＝1－(1－ 0.02)(1－ 0.01)(1－ 0.05) ＝ 0.0783 练习 有三个臭皮匠独立地解决一个问题，成功 解决的概率分别为0.45，0.55，0.60，问解决该问 题的能力是否赶上诸葛亮（成功概率为0.9）？第五节 伯努利试验和二项概率有时为了了解某些随机现象的全过程，需要观 察一串试验，例如对某一目标进行连续射击；在一 批灯泡中随机抽取若干个测试它们的寿命等。
这些试验是由某个随机试验的多次重复所组成 ，且各次试验的结果是相互独立的，称这样的试验 序列为独立重复试验，称重复试验次数为重数特别地，在n重独立重复试验中，若每次试验 只有结果A与 ，且A在每次试验中发生的概率为 p，则称其为伯努利试验独立重复试验与伯努利试验定理设在一次试验中，事件A发生的概率为p，则在 n重伯努利试验中，事件A恰好发生k次的概率记 ＝{在n次伯努利试验中，A恰好发生k次}此公式与二项展开式有密切关系，(1)式恰好是二项展开式的通项，因此也称概率 公式(1)为二项概率1)“只知次数，不知位置”雅各布·伯努利 (1654(1654～～1705)1705)是伯努利家族中重要的一员，卓越的数学家最是伯努利家族中重要的一员，卓越的数学家最 初遵从父亲的意见学神学，当他读了初遵从父亲的意见学神学，当他读了R.R.笛卡儿的书笛卡儿的书 后，顿受启发，兴趣转向数学后，顿受启发，兴趣转向数学. .自学掌握了莱布尼茨自学掌握了莱布尼茨 形式的微积分学从形式的微积分学从16871687年直到逝世，他都在巴塞年直到逝世，他都在巴塞 尔任数学教授雅各布是首先对微积分的发展做出尔任数学教授。
雅各布是首先对微积分的发展做出 重大贡献的人之一重大贡献的人之一许多数学成果与雅各布的名字相联系例如悬 链线问题（1690年），曲率半径公式（1694年）， “伯努利双纽线”（1694年），“伯努利微分方程”（ 1695年）等 雅各布对数学最重大的贡献是在概率论研究方 面他从1685年起发表关于赌博游戏中输赢次数问 题的论文，后来写成巨著《猜度术》，这本书在他 死后8年，即1713年才得以出版 1695年提出著名的伯努利方程最为人们津津乐道的轶事之一，是雅各布醉心 于研究对数螺线，这项研究从1691年就开始了他 发现，对数螺线经过各种变换后仍然是对数螺线， 他惊叹这种曲线的神奇，竟在遗嘱里要求后人将对 数螺线刻在自己的墓碑上，并附以颂词“纵然变化， 依然故我”，用以象征死。