第二章 射影映射 其次章 射影映射本章将说明一维射影变换、射影映射和二维射影变换的几何意义；探究它们各有哪些类型；并对其中比拟重要的几种特别类型进展较深化的探讨§1透视透视是一个很简洁但又最根本的射影映射一般非透视的射影变换、射影映射可以用透视来表示定义 假如一个点列与一个线束的元素之间建立了一一对应且对应元素是结合的,那么这个对应叫做透视对应,点列与线束叫做透视的,或配景如图2.1记成?(y,z,u,v???)?a(?,?,?,?,???)定义 点ξ和ξ’的对应点的连线交于一点s,也就是这两个点列与同一线束s成透视,那么这两个点列叫做透视点列,点s叫做透视中心，记作?(a,b,c???)???(a?,b?,c?,???)或?(a)???(a?)，如图2.2?S对偶定义：图2.1线束s和s’的对应直线的交点在始终线?上,也就是这两个线束与同一点列透视,那么这两个线束叫做透视线束直线?叫做透视轴记作s(?,?,?,???)?s?(??,??,??,???)或s(?)?s?(??)，如图2.3.????图2.2 图2.3 两个点列射影的,记作?(a)???(a?)；两个线束射影的,记作s(?)?s?(??)看图2.2,假如?,?,?,?是线束s的四条直线,分别与ξ和ξ’交于a,b,c,d和a’,b’,c’, d’,那么有R(a,b；c,d)=R(?,?;?,?)=R(a’,b’；c’,d’) 所以透视对应保持交比不变,又因透视是一一对应,所以透视是射影对应(斯丹纳定义)。
明显,透视对应把点????映射为自身定理1 直线ξ到ξ’的透视是射影对应,它把公共点????映射为自身反过来,又有 定理2 直线ξ到ξ’的一个射影对应,假如把公共点????映射为自身,那么这个射影对应是透视图2.4)证明：设?到??的射影对应Ф由三对对应点唯一确定：?:?(a,b,y)???(a?,b?,y)且?(c)?c?令(a?a?)?(b?b?)?s,(s?c)????c0,??(a,b,c)???(a?,b?,c)记作?0?sR(a?,b?;y,c?)?R(a,b;y,c)?R(a?,b?;y,c0)?c??c0,?与?有三对点一样，??????是透视图2.4?'定理1和定理2的对偶定理请读者自行表达由上述定理得结论：定理3 两个射影点列(线束)成透视的充要条件是它们的公共点(直线)自身对应 定理4假如?(a,b,c???)???(a?,b?,c????)????(a??,b??,c?????) 那么?(a,b,c???)????(a??,b??,c??,???)定理5 两条不同的直线之间的非透视的射影对应,是两个透视变换的积, 证明：设Ф是直线?到?'的射影对应, (图2.5)但不是透视,?(a,b,c)???(a?,b?,c?)(其中三对对应点中没有任何一点是????),在直线a×a’上任取二点s和s’,作点(s×b)×(s ’×b’)～b0,(s×c)×(s’×c’)～c0,再作直线ξ0～b0×c0, ξ0×(a×a’)～a0,于是有'(a?,b?,c?)?(a,b,c)??〔,,〕=?abc0000??ss'图2.5 推论：始终线ξ到它自身上的射影变换,可分解为不多于三次透视的乘积。
例1 设直线ξ和ξ’上各有三个不一样的点x,y,z和x’,y’,z’,这些点都与ξ×ξ’不同,那么三点：a=(y×z’)×(y’×z),b=(z×x’)×(z’×x),c=(x×y’)×(x’×y)共线(pappus定理)证明 如图2.6置?=ξ×ξ’, u=(x×z’)×(x’×y) v=(y×z’)×(x’×z),??x??y,???y?z?xz我们有?(x?,c,u,y)???(x?,y?,z?,w)???(v,a,z?,y)???(x?,c,u,y)???(v,a,z?,y)可是y是点列β(x’,c,u,y)和点列β’(v,a,z’,y)的公共点,而且自对应,所以图2.6?(x?,c,u,y)???(v,a,z?,y)就是说三直线x’×v,c×a,u×z’共点(透视中心),就是x’×z,c×a,x×z’相交于一点(x’×z)×(x×z’)=b，所以a,b,c共线 例2 设a,b,c是三点形的顶点,d,d’；e,e’；f, f’依次是各边b×c,c×a,a×b上两个顶点的调和共轭点,求证：e×f,e’×f’,b×c共点；f×d,f’×d’,c×a共点；d×e,d’×e’,a×b共点。
图2.7)证明 因为R(b,c；d,d’)=R(a,c；e,e’)=-1所以 点列(b,c,d,d’) ?点列(a,c,e,e’),c是公?共点而且自对应,所以图2.7(b,c,d,d’)?(a,c,e,e’)?2,?, ?所以三直线：d×e,d’×e’,a×b共点 其余局部用同样的方法证明例3 确定简洁n点形的顶点a1,a2,?an分别沿着通过不动点s的直线?1, 滑动；而边a1×a2,a2×a3,?an-1×an顺次通过确定点x1,x2,?xn-1,求证：边an×a1必定通过某个不动点证明 简洁n点形的顶点ai在直线?i上滑动时,就画出了点列，这些点列记作?i(ai),i=1,2,?,n图2.8所示)按假设我们有n?1(a1)??2(a2)??3(a3)??????n(an)????x1x2x3xn?1图2.8??1(a1)??n(an).又由于上面所说的每一对透视点列的公共点S是自身对应的,因而射影点列a1(a1)和an(an)的公共点s也是自身对应,所以?1(a1)??n(an),连结这两个透视点列对应点的直线,必定通过一个定点x(透视中心)例4 设三角形ABC的边BC、CA、AB绕同始终线上三点P、Q、R旋转，顶点B、C在两条定直线上。
求证：顶点A也在必须直线上〔如图2.9〕 证明：由图，?B,B1,??Q??C,C1,??B∴P?B,B1,???R?C,C1,?? ∵其中PR过Q ∴PR是自对应元素∴P?B,B1,???R?C,C1,??∴对应直线交点共线，即A,A1,?共线 图2.9§2 完全四点形的调和性质 本节将探讨完全四点形(四线形)的调和性质简洁四点形：由四个点A,B,C,D(其中无任何三点共线)及它们顺次两两的连线AB,BC,CD,DA所组成的平面图形叫做简洁四点形A,B,C,D叫做顶点,AB,BC,CD,DA叫做边,不顺次的顶点的连线AC,BD叫做对角线图2.10) 图2.10图2.11 完全四点形：由四个点a,b,c,d(其中无任何三点共线)及连结其中任何两点的六条直线组成的平面图形叫做完全四点形这四个点叫做顶点,六条直线叫做边,通过同一个顶点的边叫邻边,没有公共顶点的两边叫做对边,对边的交点叫对角线点,连结对角线点的直线叫对角线,以对角线点为顶点的三点形叫对角线三点形(图2.11)三对对边：a×b,与c×d,a×c与b×d,b×c与a×d 三条对角线：l×m,m×n,1×n对角线三点形为1mn。
下面我们探讨完全四点形的调和性质设m?n~?，a?c~?，(d?b)??~f，???~g，我们考察直线η上四个点m,n,f和g的交比,因为η(m,n,f,g)??(a,c,l,g)??(n,m,f,g)??db所以η(m,n,f,g)??(n,m,f,g) R(m,n；f.g)= R(n,m；f，g)=1R(m,n;f,g)这里R(m,n；f.g)≠0,(否那么,f～g,那么a,b,c,d共线,与完全四点形定义冲突)因此,由上式得R(m,n；f,g)=±1但R(m,n；f,g)≠1,(否那么f～g,也导致a,b,c,d共线)所以,R(m,n；f, g)=-1 就是说,m,n,f,g组成调和点集,这一性质可以写成下面定理定理6 在完全四点形的每一条对角线上有一个调和点集,它包括两个对角线点m、n,和这条对角线与通过第三个对角线点l的一对对边的两个交点f,g推论1 在完全四点形的每条边上有一个调和点集它包括两个顶点,一个对角线点,和这条边与通过另两个对角线点的对角线的交点推论2 完全四点形的两条对边被通过这两边交点的两条对角线调和分隔 图2.12 利用完全四点形的调和性质可以作直线上三个确定点的第四调和点。
整个作图只用一根直尺完成例1 确定平面上两条不同的直线α和β,以及不属于α也不属于β的一个点f,由于某种缘由α与β的交点不能到达,试从点f引一条直线通过α与β的交点作法：通过f任作一条直线ξ,ξ×α=k,ξ×β=l,在ξ上作k,1,f的第四调和点g,再过g任作始终线?,????a,????c,(a?l)?(k?c)?b连结fb,fb就是所求的直线(图2.12)图2.13 例2 证明：梯形两对角线的交点与两腰延长线的交点的连线必过两底的中点 证明 如图2.13AB||CDM、N分别是直线EF与AB、CD的交点 考虑完全四点形DECF的对角线AB及边DC： R(A,B；M,p∞)=-1 ?M是AB的中点 R(D,C；N,P∞)=-1 ?N是CD的中点§3 直线(线束)到它自身的射影变换 直线ξ到它自身的射影变换中,自对应的点(直线)称为二重点(二重直线),或固定点(固定直线)因为直线(线束)上的射影变换由按指定依次的三对对应元素唯一确定,所以当这个变换有三个二重点(直线)时,它的每一个点(直线)都是二重点(直线),那么这个变换是恒等变换由此可知,一维射影空间的射影变换假如不是恒等变换,那么它可能有二个二重元素,一个二重元素,或者不没有二重元素。
分别称它为双曲型的,抛物型的或椭圆型的射影变换设ξ到自身的射影变换?:x?x? '?a11a12???1?a11?1?a12?2 ??0 ?'a21a22????2?a21?1?a22?2a11a12a11??a12?0 或??aaa21??a222122'下面我们用非齐次坐标的方程来探讨假如点x(λ)是二重点,那么λ～λ’,那么有a21?2?(a11?a22)??a12?0??0???(a11?a22)2?4a12a21??0??0?有两个实二重点 双曲型射影变换 有一个实二重点 抛物型射影变换 没有实二重点 椭圆型射影变换对于双曲型射影变换有下面性质定理7 在直线ξ到它自身上的双曲型射影变换下,每对对应点与两个二重点组成的交比是常数证明 设m,n是直线ξ到它自身的双曲型射影变换的两个二重点,x和y是ξ上不同于m,n的两个点,x和y的对应点分别是x’和y’,那么R(x,y；m,n)=R(x’,y’；m,n)即xmynymxnxmx'nxmxn'?x'my'nymxnymy'nymyn'''故?即 R(x,x’；m,n)=R(y,y’；m,n)=常数k (常数k称为特征不变量)??2x1?5x225??x1,??12的自对应点，并判定其例 求直线ξ到它自身射影变换???x?2x?x2?1?212类型 解：用非齐次坐标表示射影变换式，得x?? 自对应点的方程为：2x?3x?5?0 22x?5,令x??x 2x?1(2x?5)(x?1)?0 5?x1??1,x2?2 或自对应点齐次坐标为〔－1，1〕，〔5，2〕射影变换为双曲型的。
§4对合对应。