1包含与排除（一） 包含与排除问题也叫容斥原理.“容”是容纳、包含的意思,“斥”是排斥、排除的意思,从题目名称上看,比较抽象,下面我们结合具体实例来说明这种问题的思考方法.【典型例题】 例 1：如下图,桌面上放着两个正方形,求盖住桌面的面积.（单位：厘米） 7 5 2 分析与解： 这是一个组合图形,是由两个正方形组成的,中间重合部分是一个长方形,要想求出盖住桌面的面积,可以有三种不同方法： 方法一：75256422（平方厘米） 方法二：72556422（平方厘米） 方法三：52576422（平方厘米） 答：盖住桌面的面积是 64 平方厘米. 例 2：四（1）班同学中有 37 人喜欢打乒乓球,26 人喜欢打羽毛球,21 人既爱打乒乓球又爱打羽毛球.问全班喜欢打乒乓球或羽毛球活动的有多少人? 2 分析与解： 根据题意可画图如下 乒 羽 37 21 26 ？人 此类问题画集合图比画线段图更直观,更形象一些. 方法一：37 + 26—21 = 42（人） 方法二：37—21 + 26 = 42（人） 方法三：37 +（26—21）= 42（人） 以上三种方法是紧密联系的,都是要从中减去重叠部分,可以从其中一部分中减去,再与另一部分合并,也可以从两部分之和中减去重叠部分. 三种方法比较,你喜欢哪一种解法呢? 我们根据以上两个例题可以得出这样的数量关系： 第一部分 + 第二部分 — 重叠部分 = 两部分之和 例 3：四年级一班在期末考试中,语文得“优”的有 15 人,数学得“优”的有 17 人,老师请得“优”的同学都站起来,数了数有 24 人.两科都得“优”的有几人? 分析与解： 根据“第一部分 + 第二部分 — 重叠部分 = 两部分之和”可以求出两科都得“优”的人数. 15 + 17—24 = 8（人） 3 另外,从下图中我们还能得出两种不同方法 语文 数学 15 人 ？人 17 人 24 人 方法二：17—（24—15）= 8（人） 15—（24—17）= 8（人） 答：两科都得优的有 8 人. 例 4：图新小学四年级二班有 24 人参加了美术小组,有 18 人参加了音乐小组,其中11 人两个小组都参加,还有 5 人什么组都没参加.这个班共有学生多少人? 分析与解： 这个题与例 2 相比,多了一个已知条件,那就是“有 5 个人什么组都没参加”.如果按前面的画图方式,这 5 人无法在图上表示,根据题意,我们可以这样画图. 全班 5 人 美术 音乐 24 人 11 人 18 人 全班？人 要求全班有多少人,除了知道有 5 人什么组都没参加外,还要求出参加课外小组的有多少人. 4 24 + 18—11 = 31（人） 31 + 5 = 36（人） 答：这个班共有学生 36 人. 例 5：某班学生参加音乐组的有 11 人,参加美术组的有 8 人,参加英语组的有 12 人,既参加音乐组又参加美术组的有 5 人,既参加音乐组又参加英语组的有 3 人,既参加美术组又参加英语组的有 4 人,三个组都参加的只有 1 人,问：至少参加一个组的有多少人? 分析与解： 根据题意画图如下： 音乐 美术 11 人 8 人 12 人 英语 ？人 如果我们把三个集合圈看成三张纸片,参加两个组的部分是 2 层,参加三个组的部分是 3 层,要求至少参加一个组的人数,就是求三张纸片盖住桌面的大小,因此要从三组人数之和中减去重叠部分的人数 11 + 8 + 12—5—3—4 + 1 = 20（人） 答：至少参加一个组的有 20 人.【模拟试题】（答题时间：30 分钟） 1. 四年级三班订阅《少年文摘》的有 19 人,订阅《学与玩》的有 24 人,两种都订的有13 人.问订阅《少年文摘》或《学与玩》的有多少人? 5 2. 幼儿园有 58 人学钢琴,43 人学画画,37 人既学钢琴又学画画,问只学钢琴和只学画画的分别有多少人? 3. 1 至 100 的自然数中： （1）是 2 的倍数又是 3 的倍数的数有多少个? （2）是 2 的倍数或是 3 的倍数的数有多少个? （3）是 2 的倍数但不是 3 的倍数的数有多少个? 4. 某班数学、英语期中考试的成绩统计如下：英语得 100 分的有 12 人,数学得 100 分的有 10 人,两门功课都得 100 分的有 3 人,两门功课都未得 100 分的有 26 人.这个班共有学生多少人? 5. 全班 50 人,会骑车的有 32 人,会滑旱冰的有 21 人,两样都会的有 8 人,求两样都不会的有多少人? 6. 一个班有学生 42 人,参加体育队的有 30 人,参加文艺队的有 25 人,并且每人至少参加一个队.这个班两队都参加的有多少人? 6【试题答案】 1. 四年级三班订阅《少年文摘》的有 19 人,订阅《学与玩》的有 24 人,两种都订的有13 人.问订阅《少年文摘》或《学与玩》的有多少人? 19 + 24—13 = 30（人） 答：订阅《少年文摘》或《学与玩》的有 30 人. 2. 幼儿园有 58 人学钢琴,43 人学画画,37 人既学钢琴又学画画,问只学钢琴和只学画画的分别有多少人? 只学钢琴人数：58—37 = 21（人） 只学画画人数：43—37 = 6（人） 3. 1 至 100 的自然数中： （1）是 2 的倍数又是 3 的倍数的数有多少个? 既是 3 的倍数又是 2 的倍数,一定是 6 的倍数 100÷6 = 16……4 所以,既是 2 的倍数又是 3 的倍数有 16 个 （2）是 2 的倍数或是 3 的倍数的数有多少个? 100÷2 = 50,100÷3 = 33……1 50 + 33—16 = 67（个） 所以,是 2 的倍数或是 3 的倍数的数有 67 个. （3）是 2 的倍数但不是 3 的倍数的数有多少个? 7 50—16 = 34（个） 答：是 2 的倍数但不是 3 的倍数的数有 34 个. 4. 某班数学、英语期中考试的成绩统计如下：英语得 100 分的有 12 人,数学得 100 分的有 10 人,两门功课都得 100 分的有 3 人,两门功课都未得 100 分的有 26 人.这个班共有学生多少人? 12 + 10—3 + 26 = 45（人） 答：这个班共有学生 45 人. 5. 全班 50 人,会骑车的有 32 人,会滑旱冰的有 21 人,两样都会的有 8 人,求两样都不会的有多少人? 50—（30 + 21—8）= 7（人） 答：两样都不会的有 7 人. 6. 一个班有学生 42 人,参加体育队的有 30 人,参加文艺队的有 25 人,并且每人至少参加一个队.这个班两队都参加的有多少人? 30 + 25—42 = 13（人）答：这个班两队都参加的有 13 人. 。