广 州 至 慧 教 育学生姓名 就读年级 授课日期 教研院审核 [知识点回顾]1.函数的概念一般地,设A、B是两个非空的数集,如果按某种对应法则f,对于集合A中的每一个〔任意性元素x,在集合B中都有〔存在性唯一〔唯一性的元素y和它对应,这样的对应叫做集合A到集合B的一个函数〔三性缺一不可函数的本质：建立在两个非空数集上的特殊对应这种"特殊对应"有何特点：1>.可以是"一对一" 2>.可以是"多对一" 3>.不能"一对多" 4>. A中不能有剩余元素 5>.B中可以有剩余元素判断两个函数相同：只看定义域和对应法则2.映射的概念一般地,设A、B是两个集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:Ａ→Ｂ为从集合A到集合B的一个映射〔mapping思考：映射与函数区别与联系？函数——建立在两个非空数集上的特殊对应映射——建立在两个非空集合上的特殊对应1函数是特殊的映射,是数集到数集的映射．2映射是函数概念的扩展,映射不一定是函数．3映射与函数都是特殊的对应思考：映射有"三性"：①"有序性"：映射是有方向的,A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；②"存在性"：对于集合A中的任何一个元素,集合B中都存在元素和它对应；③"唯一性"：对于集合A中的任何一个元素,在集合B中和它对应的元素是唯一的.3.用映射定义函数<1>.函数的定义：如果A、B都是非空数集,那末A到B的映射f:A → B就叫做A → B的函数。
记作：y=f .〔2定义域：原象集合A叫做函数y=f 的定义域〔3值域：象的集合C 叫做函数y=f 的值域定义：给定一个集合A到集合B的映射,且a∈A, b∈B如果元素a和元素b对应,那么我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象 给定映射f：A→B则集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一的象,而集合B中的元素在集合A中不一定都有原象,也不一定只有一个原象问题1：下图中的〔1〔2所示的映射有什么特点？ 答：发现规律：〔1对于集合A中的不同元素,在集合B中有不同的象, 我们把这样的映射称为单射〔2集合B中的每一个元素都有原象,我们把这样的映射称为满射定义：一般地,设A、B是两个集合f：A→B是集合A到集合B的映射,如果在这个映射下,对于集合A的不同元素,在集合B中有不同的象,且B中每一个元素都有原象,那么这个映射叫做A到B上的一 一映射单射满射一 一 映射注意：1一 一映射是一种特殊的映射：A到B是映射,B到A也是映射 2映射和一一映射之间的充要关系,映射是 一 一映射的必要而不充分条件 3一 一映射： A和B中元素个数相等例2：判断下面的对应是否为映射 ,是否为一一映射？1A={0,1,2,4,9},B={0,1,4,9,64},对应法则 f：a →b = 2答：是映射,不是一一映射。
〔如右图所示可以很容易可能出2A={0,1,4,9,16},B={-1,0,1,2,3,4},对应法则 f：求平方根 ？ 答：不是映射3A=Z,B=N*,对应法则 f：求绝对值？ 答：不是映射4A={11,16,20,21},B={6,2,4,0},对应法则 f：求被7除的余数答：是映射,且是一一映射例3：已知集合Ａ＝Ｒ,Ｂ＝｛|x,y∈Ｒ｝,f是从Ａ到Ｂ的映射f:x→ .〔１求在B中的对应元素〔２<2,1>在Ａ中的对应元素解:〔1将x=代入对应关系,可得其在Ｂ中的对应元素为〔+1,2 〔2由题意得： x+1=2 x2=1 ∴x=1 即〔2,1在A中的对应元素为1例4：设集合A={a、b},B={c、d、e}〔1可建立从A到B的映射个数.〔2可建立从B到A的映射个数.答：9,8〔可以试着画图看看小结：如果集合A中有m个元素,集合B中有n个元素,那么从集合A到集合B的映射共有nm个[映射例题精解]例1在下列对应中、哪些是映射、那些映射是函数、那些不是？为什么？ 设A={1,2,3,4},B={3,5,7,9},对应关系是f=2x+1,x属于A 设A={1,4,9},B+{-1,1,-2,2,-3,3}对应关系是‘A中的元素开平方’设A=R,B=R,对应关系是f=x的3次方,x属于A 设A=R,B=R,对应关系是f=2x的2次方+1,x属于A 解析：1、是一一映射,且是函数2、不是映射〔象是有且唯一3、是一一映射,且是函数4、是映射,但不是函数,因为B中不是所有值在A中都有对应。
例2设A={a,b,c},B={0,1},请写出两个从A到B的映射 从A到B的映射共有2^3=8个：〔a,b,c→〔0,0,0；〔a,b,c→〔0,0,1；〔a,b,c→〔0,1,0；〔a,b,c→〔1,0,0；〔a,b,c→〔0,1,1；〔a,b,c→〔1,0,1；〔a,b,c→〔1,1,0；〔a,b,c→〔1,1,1例3假设集合m={0 -1 1} n={-2 -1 0 1 2} 映射f:M→N 满足条件"对任意的x属于M ,x+f 是奇数",这样的映射 有____个①当x=-1时,x+f=-1+f<-1>恒为奇数,相当于题目中的限制条件"使对任意的x属于M,都有x+f是奇数"f<-1>=-2,0,2②当x=0时,x+f=f<0>,根据题目中的限制条件"使对任意的x属于M,都有x+f是奇数"可知f<0>只能等于-1和1③当x=1时,x+f=1+f<1>恒为奇数 f<1>=-2,0,2综上①②③可知,只有第②种情况有限制,所以这样的映射共有323=18个 例4 设集合A={-1,0,1} B={2,3,4,5,6 } 从A到B的映射 f满足条件 ：对每个X∈A 有 f〔X+X为偶数 那么这样的映射f的个数是多少？映射可以多对一,要让f〔X+X＝偶数,当X＝－1和1时,只能从B中取奇数,有3,5两种可能,当X＝0从B中取偶数有2 4 6三种,则一共有223＝12个 以后你学了分步与分类就很好理解啦,完成一件事有两类不同的方案,在第一类方案中有m种不同的方法,在第二类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m+n中不同的方法,这是分类加法计数原理;完成一件事需要两个步骤,做第一步有m种不同的方法,做第二步有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=mn种不同的方法例5已知：集合,,映射满足,那么映射的个数是多少？思路提示：满足,则只可能,即、、中可以全部为,或各取一个．解：∵,且∴有．当时,只有一个映射；当中恰有一个为,而另两个分别为,时,有个映射．因此所求的映射的个数为．例6 给出下列四个对应：①②③④其构成映射的是 〔 只有①②只有①④只有①③④只有③④答案：提示：根据映射的概念,集合到集合的映射是指对于集合中的每一个元素,在集合中都有唯一确定的值与之相对应,故选择．例7．若函数满足,则下列各式不恒成立的〔 答案：提示：令有,,正确．令,有,正确．令,有,,正确．令,则．由于,,于是当时,,故不恒成立,故选．例8．已知集合,,下列不表示从到的映射是〔 答案：提示：选项中,则对于集合中的元素4,对应的元素,不在集合中,不符合映射的概念．例9．集合,,那么可建立从到的映射个数是__________,从到的映射个数是__________．答案：提示：从到可分两步进行：第一步中的元素可有3种对应方法〔可对应5或6或7,第二步中的元素也有这3种对应方法．则不同的映射种数．反之从到,道理相同,有种不同映射．例10．如果函数对任意都有,试求的值．解：∵对任意,总有,∴当时应有,即．∴．又∵,∴．故有〔,则．∴．∴．[课堂练习]1．设f:A→B是集合A到集合B的映射,则正确的是 〔 A．A中每一元素在B中必有象 B．B中每一元素在A中必有原象C．B中每一元素在A中的原象是唯一的D．A中的不同元素的象必不同2．集合A={3,4},B={5,6,7},那么可建立从A到B的映射个数是_______,从B到A的映射个数是__________.3．设集合A和B都是自然数集N,映射f:A→B把集合A中的元素n影射到集合B中的元素,则在映射f下,象20的原象是 〔 A.2 B.3 C.4 D.54．如果在映射f下的象是,那么<1,2>在映射下的原象是 〔 A.〔3,1 B.〔 C. 〔 D.〔-1,35.已知点在映射f下的象是<2x－y,2x＋y>, 求<1>点〔２,３在映射f下的像；〔２点<4,6>在映射f下的原象.6.设集合A＝{1,2,3,k},B＝{4,7,a4,a2＋3a},其中a,k∈N,映射f:A→B,使B中元素y＝3x＋1与A中元素x对应,求a及k的值. [综合练习]一、选择题：1．下列对应是从集合A到集合B的映射的是 〔 A．A=R,B={x|x＞0且x∈R},x∈A,f：x→|x|B．A=N,B=N＋,x∈A,f：x→|x－1|C．A={x|x＞0且x∈R},B=R,x∈A,f：x→x2D．A=Q,B=Q,f：x→2．已知映射f:AB,其中集合A＝{－3,－2,－1,1,2,3,4},集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的象,且对任意的a∈A,在B中和它对应的元素是|a|,则集合B中的元素的个数是 〔 A．4 B．5C．6 D．73．设集合A和B都是自然数集合N,映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n＋n,则在映射f下,象20的原象是〔 A．2 B．3 C．4 D．54．在x克a%的盐水中,加入y克b%的盐水,浓度变成c%0,a≠b>,则x与y的函数关系式是 〔 A．y=x B．y=x C．y=x D．y=x5．函数y=的值域是 〔 A．<－∞,－1 >∪<－1,＋∞> B．<－∞,1>∪<1,＋∞> C．<－∞,0 >∪<0,＋∞> D．<－∞,0>∪<1,＋∞> 6．下列各组中,函数f和g的图象相同的是 〔 A．f=x,g=<>2 B．f=1,g=x0C．f=|x|,g= D．f=|x|,g=7．函数y=的定义域为 〔 A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≤－1或x≥1}C．{x|0≤x≤1} D．{－1,1}8．已知函数f的定义域为［0,1］,则f的定义域为 〔 A．<－1,0> B．[－1,1]C．<0,1> D．［0,1］9．设函数f对任意x、y满足f=f＋f,且f<2>=4,则f<－1>的值为 〔 A．－2 B． C．1 D．210。