第六章实数专题 6 算术平方根与平方根的概念及性质知识要点1. 算术平方根：如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫作a的算术 平方根记为.7，读作“根号a”，a叫作被开方数•规定：0的算术平方根是0.2. 平方根：如果一个数x的平方等于a,即x2=a，那么这个数x叫作a的平方根或二次 方根，a叫作被开方数.正数a的正的平方根，即为a的算术平方根①正数a有两个互为相反数的平方根:±\方， 读作“正负根号a”；②负数没有平方根；③0的平方根是0.3. 求一个非负数的平方根的运算叫作开平方，平方和开平方互为逆运算4. 如果被开方数的小数点向左(或向右)移动2位，它的算术平方根的小数点就相应向 左(或向右)移动1位，例如：若、7 = b，则xTOOa = 10b， v0.001a = 0.1b .5. 算术平方根的双重非负性对于Ja，满足关系式：①a^O (被开方数为非负数)；②、-：a >0 (算术平方根为非负数)6. 算术平方根的性质：若a>b>0,则、:a >讪>0.7•两个结论：① Ca1= a (a>0)；② = J(—a)2 = |a|.典例精析例1 (1)求下列各数的算术平方根：①81；②25 :③G— 3)2 :④(—x)236(2)求下列各数的平方根：①0.49；©2丄；③— (—3)2 — 2 :④x44【分析】分别按照平方根和算术平方根的定义来求值，要注意两者符号书写的不同【解】(1)因为92=81，所以781=9；②因为f5Y =空，所以、陋=5(6 丿 36 \36 6③因为兀>3，所以兀-3>0，根据v'a2 = |a|，有- 3)2 = |冗一 3 =冗一 3 ;④因为 1x12 = (-x)2，所以 \；(—x)2 = “x2 = |x|，所以±]2丄==± / 3、2(2)①因为(±0.7)2 = 0.49，所以 ±7049 = ± 0.7；②因为| ±3 I 2丿③因为(±5)2 = 25，所以 \'—(—3)2 — 2 = ± 25 = ±5 ;④因为 Ct x 2) = (x 2)=x2 - x2 = x - x - x - x = x4【点评】①遇到带分数，需要先把带分数化为假分数;②求一个式子的平方根或算是平方根， 需要先求出该算式的值；③一个正数的平方根总是成对出现的，不要遗漏. 拓展与变式1占6的算式平方根是 .拓展与变式2若m+1是9的平方根，则m= 拓展与变式3若一个正数的两个平方根为x-1和2x+1，则这个正数为 .拓展与变式4若整式x-1和2x+1都可以表示一个正数的平方根，求这个正数.【反思】①审题时，要注意按照定义运算，注意“广”的作用•②需要灵活判断和运用平方 运算和它的逆运算 开平方的运算例2已知：(m+1)彳+七一n =0,求式子n-m3的值.【分析】两个非负数的和为0,则这两个数均为0.【解】依题意得严+1 = 0解得严=_1，所以n-m3 = 3-(-1)3=43 - n = 0 [ n = 3【点评】 灵活借助平方结构和算式平方根的非负性进行分析和求解.拓展与变式5已知：(m -1)2 =-J3 - n，式子m+n的值为 .拓展与变式6已知：Ja - 5 + 丁5 - a = 0，a的值为 拓展与变式7已知：(m2 -1) 一1 + |t-n| = 0，代数式2m+n+t的值为 【反思】①学过的具有非负性的式子有a2 > 0 , |a| > 0，、污> 0 (a$0) •②学会运用和区别 算术平方根的非负和被开方数非负两个性质.例3 v'30的大小约为()D. 6与 7之间A.3与4之间 B. 4与5之间 C. 5与6之间【解】因为20V30V36且a>b〉0则需>4b > 0. 所以 5^.-'25 V ^30 V "36 =6.答案为C【点评】利用被开平方数的范围进行估算，需要寻找与其大小最接近的两个平方数拓展与变式8比较大小：历5-1 3.拓展与变式9若'、：51的整数部分为a,小数部分为b,求a、b的值【反思】若m<4a