● ●1.1 1.1 矢量法矢量法————描述点在空间运动的基本方法描述点在空间运动的基本方法● ● 1.1.1 1.1.1 点的矢量形式的运动方程点的矢量形式的运动方程● ● 1.1.2 1.1.2 点的速度点的速度● ● 1.1.3 1.1.3 点的加速度点的加速度 ● ●1.2 1.2 直角坐标法直角坐标法● ● 1.2.1 1.2.1 点的运动方程和轨迹方程点的运动方程和轨迹方程● ● 1.2.2 1.2.2 点的速度在直角坐标轴上的投影点的速度在直角坐标轴上的投影● ●1.2.3 1.2.3 点的加速度在直角坐标轴上的投影点的加速度在直角坐标轴上的投影 ● ●1.3 1.3 自自 然然 法法● ● 1.3.1 1.3.1 弧坐标形式的运动方程弧坐标形式的运动方程● ● 1.3.21.3.2 自然轴系自然轴系● ● 1.3.3 1.3.3 点的速度点的速度● ● 1.3.41.3.4 点的加速度点的加速度第第1 1章章 点的运动学点的运动学1● ● 点的运动学点的运动学研究点相对某—个参考系的几何位置随时间变动 的规律，包括点的运动方程、运动轨迹、速 度和加速度等。
点的运动学是研究一般物体运动的基础，又具有 独立的应用意义2● ● 1.1 1.1 矢量法矢量法————描述点在空间运动的基本方法描述点在空间运动的基本方法 ● ● 1.1.1 1.1.1 点的矢量形式的运动方程点的矢量形式的运动方程动点动点MM在某一时刻在某一时刻t t相对于所选固定参考系的位置，选取参考相对于所选固定参考系的位置，选取参考 系上某确定点系上某确定点O O为坐标原点，自点为坐标原点，自点O O向动点向动点MM作矢量，如图作矢量，如图1.11.1 所示，称为点所示，称为点MM相对原点相对原点O O的的位置矢量位置矢量，简称，简称矢径矢径r = r (t) r = r (t) 时间的单值连续函数时间的单值连续函数 运动方程运动方程 动点运动过程中，动点运动过程中，矢径末端矢径末端在空间描绘在空间描绘 出一条连续曲线，即为点的出一条连续曲线，即为点的运动轨迹运动轨迹，， 亦称亦称矢端曲线矢端曲线( (或称矢径端图或称矢径端图) )3● ● 1.1.2 点的速度速度是表示点运动速度的大小和方向的物理量 设动点M沿其运动轨迹运动，t时刻在M点，用r(t)来 描述。
t+Δt瞬时在M’点，用r(t+Δt)描述 在Δt时间间隔内，点M的位移为Δr,即矢径在时间间隔 内的增量则动点在内点M的平均速度为方向沿Δr方向4当 Δt→0时，可得动点在t时刻的及时速度 (简称速度) 动点的速度是矢量，动点速度方向为其轨迹曲 线在M点的切线方向并指向运动的方向 速度矢端曲线，简称速度端图5● ● 1.1.3 点的加速度点的加速度是表示点的运动 速度对时间的变化率的物理量设点在某时刻t，经过时间间隔Δt， 运动到M’处，动点速度的改变量为 则速度在Δt内的平均变化率为其方向沿Δv平均加速度6当当Δt→0时，平均加速度趋向一极限矢量，称为时，平均加速度趋向一极限矢量，称为点点 在在t t时刻的及时加速度，简称点的加速度时刻的及时加速度，简称点的加速度矢量法只适用于定性分析并引入上述相关概念 ，不宜用于定量分析要定量分析点的运动，需引入具体参考系即坐标系 因为矢径理论上存在，但实际上很难确定7● ● 1.2 直角坐标法● ● 1.2.1 点的运动动方程和轨轨迹方程 1．点的运动方程式由于r是时间的单值连续函数， 因此x,y,z也是时间的单值连续函数zxyri，j，k分别为沿三个定坐标轴的单位矢量运动动方程82．点的轨迹方程运动动方程消去t轨迹方程9● ● 1.2.2 点的速度在直角坐标轴上的投影 速度在各坐标轴上的投影表示为速度在各坐标轴上的投影 等于动点的各对应坐标 对时间的一阶导数10● ● 1.2.3 点的加速度在直角坐标轴上的投影 又则有加速度在各坐标轴上的投影等于同理，设动点对应的速度投影对时间的一阶导数 ，或等于动点的各对应坐标对时间的二阶 导数。
11【例1.1】 椭圆规的曲柄OC可绕定轴O转动，其端点C与规尺AB 的中点以铰链相连接，而规尺两端A、B分别在相互垂直的滑槽 中运动，如图1.6所示已知：OC=AC=BC=l，MC=a， 试求规尺上点的运动方程、运动轨迹、速度和加速度消去时间t，得轨迹方程点M的轨迹是一个椭圆，长轴与x轴重 合，短轴与y轴重合解：欲求点M的运动轨迹，可以先用直角坐标法给出它的运动方 程，然后从运动方程中消去时间t，得到轨迹方程12点的速度故点M的速度大小为 其方向余弦为13其大小为其方向余弦为点的加速度14【例1.2】 简谐机构如图1.7(a)所示曲柄OM长为r，绕轴匀速 转动，它与水平线间的夹角为 ，其中 为t =0时的夹 角， 为一常数已知动杆上A，B两点间距离为b求点A和B 的运动方程及点B速度和加速度x解：A、B的运动方程15相位周期频率圆频率x(t)a(t) v(t)动点在振动中心时: 速度值最大，加速度值为零； 在两端位置时: 加速度值最大，速度值为零； 点从振动中心向两端运动时减速， 而从两端回到中心的运动时加速16● ● 1.3 自 然 法利用点的运动轨迹建立弧坐标及自然轴系，并用来分析 点的运动。
● ● 1.3.1 弧坐标形式的运动方程在轨迹上任选一点O为参考点，并设点 O的某一侧为正向，动点M在轨迹上的 位置由弧长s确定，视弧长s为代数量， 称它为动点M在轨迹上的弧坐标 当动点M运动时， s随着时间变化，为 时间的单值连续函数，即——点沿轨迹的运动方程，或以弧坐标表示的点的运动方程 17● ● 1.3.2 自然轴系注意，随着点M在轨迹上运动 ， 自然轴的方向也在不断变动自然坐标系是沿曲线而变动的游动坐标系密切面法平面主法线副法线切线自然轴18● ● 1.3.3 点的速度 点沿轨迹由M到M’，经过时间 Δt，其矢径有增量Δr 当时Δt→0，速度的大小等于动点的弧坐 标s对时间的一阶导数的绝 对值 则 ：19弧坐标对时间的一阶导数是一个代数量，以v表示则s随时间增加而增大，点沿轨迹的正向运动；表示速度的大小，其正负号表示点沿轨迹运动的方向 由1.1节可知，v沿切线方向，由于 是切线轴的单位矢量，方向呢？以弧坐标正向为依据则s随时间增加而减小，点沿轨迹的负向运动；点的速度矢20● ● 1.3.4 点的加速度速度大小随时间变化的加速度速度方向随时间变化的加速度211. 反映速度大小变化的加速度 可见 是一个沿轨迹切线的矢量，称为切向加速度。
指向轨迹的正向指向轨迹的负向22其数值等于速度的代数值对时间的一阶导数也等于弧坐标对时间的二阶导数，其方向沿轨迹切线方向是一个代数量，是加速度a沿轨迹切向的投影232. 反映速度方向变化的加速度 为轨迹曲线在点M处的曲率半径可见，an的方向与主法线的正向一致，称为法向加速度于是可得结论：法向加速度反映点的速度方向改变的快慢 程度.其大小等于点的速度平方除以曲率半径， 其方向沿着主法线方向，指向曲率中心匀速圆周运动向心加速度24由于 、 均在密 切面内，因此全加速度也 必在密切面内这表明加速度沿副法线上 的分量为零，即全加速度25全加速度的大小为它与法线间的夹角的正切为26【例1.3】 列车沿半径为的圆弧轨道 做匀加速运动(见图1.12)如初速度 为零，经过2min后，速度达到 54km/h求起点和末点的加速度 解：由于列车沿圆弧轨道做匀加速运 动，切向加速度 等于恒量于是 有方程常量当t=2min=120s时， v=54km/h=15m/s27在起点，v=0在末点时速度不等于零末点的全加速度大小为末点的全加速度与法向的夹角为28★【例1.4】 半径为r的轮子沿直线轨 道无滑动地滚动(称为纯滚动)，设轮子 转角 ( 为常值)，如图1.13所示。
求用直角坐标和弧坐标表示的轮缘上任 一点M的运动方程，并求该点的速度、 切向加速度及法向加速度解：当轮子转过 时，轮子与直线轨道的接触点为 C由于是纯滚动，有则用直角坐标表示M点的运动方程为M点的运动轨迹是摆线29M点的速度沿坐标轴的投影用弧坐标表示的运动方程,速度大小对速度v积分30对速度值求导即得点M的切向加速度法向加速度 由于 ，求得轨迹的曲率半径对速度投影求导 得加速度投影31作 业1-1; 1-2; 1-7，1-9 下周二交32。