北师大版九年级数学下册专题训练（附答案与解析） 说明：本专题训练包含8 个专题 难点专题：二次函数的综合题 易错专题：二次函数的最值或函数值的范围 考点综合专题：圆与其他知识的综合 解题技巧专题：圆中辅助线的作法 解题技巧专题：解决抛物线中与系数有关的问题 类比归纳专题：利用转化思想求角度 类比归纳专题：圆中求阴影部分的面积 类比归纳专题：切线证明的常用方法 难点专题：二次函数的综合题【勇于探究的能力】 代几结合，突破面积及点的存在性问题 类型一抛物线与三角形的综合 一、求最值 1如图，抛物线 yx 2bxc 交 x 轴于点 A(1，0)，交 y 轴于点 B， 对称轴是直线 x2. (1) 求抛物线的解析式； (2) 点 P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点 P，使PAB的周 长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 二、求直角 ( 或等腰或相似 ) 三角形的存在性问题 2 如图，已知抛物线 yax 2bxc(a0)经过 A(1， 0)， B(3， 0)， C(0，3)三点，直线 l 是抛物线的对称轴 (1) 求抛物线的函数关系式； (2) 设点 P是直线 l 上的一个动点，当点P到点 A、点 B的距离之和 最短时，求点 P的坐标； (3) 点 M也是直线 l 上的动点，且 MAC 为等腰三角形，请直接写出 所有符合条件的点M的坐标 【易错 4】 3如图，已知抛物线经过原点O ，顶点为 A(1，1) ，与直线 yx 2 交于 B，C两点 (1) 求抛物线的解析式及点C的坐标； (2) 求证： ABC是直角三角形； (3) 若点 N为 x 轴上的一个动点，过点N作 MN x轴与抛物线交于点 M ，则是否存在以 O ，M ，N为顶点的三角形与 ABC相似？若存在， 请 求出点 N的坐标；若不存在，请说明理由 三、与面积相关的问题 4如图，坐标平面上，二次函数yx 24xk 的图象与 x 轴交于 A，B两点，与 y 轴交于 C点，其顶点为 D，且 k0. 若ABC与ABD 的面积比为 14，则 k 的值为 ( ) A1 B. 1 2 C . 4 3 D. 4 5 5如图，二次函数 yax 2bx 的图象经过点 A(2，4)与 B(6，0) (1) 求 a，b 的值； (2) 点 C 是该二次函数图象上A，B 两点之间的一动点，横坐标为 x(2x6) ，写出四边形 OACB 的面积 S关于点 C的横坐标 x 的函数表 达式，并求 S的最大值 类型二抛物线与特殊四边形的综合 6抛物线 yx 26x9 的顶点为 A，与 y 轴的交点为 B，如果在 抛物线上取点 C，在 x 轴上取点 D，使得四边形 ABCD 为平行四边形， 那么点 D的坐标是 ( ) A(6，0) B(6，0) C( 9，0) D(9，0) 7如图，在平面直角坐标系中，沿着两条坐标轴摆着三个相同的矩 形，其长、宽分别为 4，2，则过 A，B，C三点的拋物线的函数关系式 是_ 8如图，四边形 OABC 是边长为 1 的正方形， OC与 x 轴正半轴的 夹角为 15，点 B在抛物线 yax 2(a 0) 上，则 a 的值为 _ 9正方形 OABC 的边长为 4，对角线相交于点P，抛物线 l 经过 O ， P，A三点，点 E是正方形内的抛物线l 上的动点 (1) 建立适当的平面直角坐标系， 直接写出 O ，P，A三点坐标； 求抛物线 l 的解析式； (2) 求OAE 与OCE 面积之和的最大值 参考答案与解析 1解：(1) 由题意得 1bc0， b 22， 解得 b4， c3. 抛物线的解析式为 yx 2 4x3. (2) 存在点A与点C关于直线x2 对称，连接BC与直线x2 交于点P，则点P即为所求根据抛物线的对称性可知点C的坐标为 (3 ，0) yx 24 x3，点B的坐标为 (0 ，3) 设直线BC的解析 式为ymxn，则 3mn0， n3， 解得 m1， n3. 直线BC的解析式为 yx3，直线BC与直线x2 的交点坐标为 (2 ，1) ，即点P的 坐标为 (2，1) 2解： (1) 将A(1，0) ，B(3，0) ，C(0，3) 代入抛物线yax 2 bxc中，得 abc0， 9a3bc0， c3， 解得 a1， b2， c3. 抛物线的函数关系式 为yx 22x3. (2) 当点P在x轴上，P，A，B三点在一条直线上时，点P到点A、点 B的距离之和最短，此时点P的横坐标为 b 2a1，故点 P的坐标为 (1 ，0) (3) 点M的坐标为 (1，1) ，(1， 6)，(1，6) ，(1，0)解析： 抛物线的对称轴为直线x b 2a1. 设点 M的坐标为 (1 ，m) 已知 A(1，0)，C(0 ，3) ，则 MA 2 m 24，MC2( m3) 21 m 26m 10，AC 2123210.若 MA MC，则MA 2MC2，得 m 24 m 26m 10，解得m1；若MA AC，则MA 2AC2，得 m 2410，解得 m6；若MCAC，则MC 2 AC 2，得 m 26m 1010，解得m10，m26，当m6 时，M， A，C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去综上所述，符合 条件的点M的坐标为 (1 ，1)，(1，6)，(1 ，6)，(1，0) 3(1) 解：顶点坐标为 (1 ，1) ，设抛物线的解析式为ya(x1) 2 1. 又抛物线过原点， 0a(01) 2 1，解得a1，抛物线 的解析式为y(x1) 21，即 yx 22x. 联立抛物线和直线解 析式可得 yx 22 x， yx2， 解得 x2， y0 或 x1， y3，点 B的坐标为 (2 ， 0) ，点C的坐标为 (1，3) (2) 证明：分别过A，C两点作x轴的垂线，交x轴于点D，E两点， 则ADODBD1，BEOBOE213，CE3， BECE， ABO CBO45，ABCABOCBO90，ABC是直角三 角形 (3) 解：假设存在满足条件的点N，设点N的坐标为 (x，0)，则点M的 坐标为 (x，x 22x) ， ON|x| ，MN| x 22 x|. 由(2) 在 RtABD 和 RtCEB中，可分别求得AB2，BC32. MNx轴，MNO ABC90，当ABC和MNO相似时，有 MN AB ON BC 或 MN BC ON AB . 当 MN AB ON BC 时，则有 | x 22x| 2 |x| 32， 即| x| x2| 1 3| x|. 当x 0 时，M，O，N不能构成三角形，x0，| x2| 1 3，即 x2 1 3，解得 x5 3或 x 7 3 ，此时点N的坐标为 5 3，0 或 7 3 ，0 ；当 MN BC ON AB 时，则有 | x 22x| 32 |x| 2 ，即|x| x2| 3|x| ，| x 2| 3，即x23，解得x5 或x1，此时点N的坐标为 ( 1，0) 或(5 ，0) 综上所述，存在满足条件的N点，其坐标为 5 3 ，0 或 7 3，0 或( 1，0) 或(5，0) 4D 解析：yx 24xk( x2) 24 k，顶点D的坐标 为(2，4k) ，点C的坐标为 (0 ，k)，OCk. ABC的面积为 1 2 ABOC1 2AB k，ABD的面积为 1 2AB (4k) ，ABC与ABD的面 积比为 14，k 1 4(4 k) ，解得k4 5. 故选 D. 5解：(1) 将A(2 ，4) 与B(6，0)代入yax 2bx，得 4a2b4， 36a6b0， 解得 a 1 2， b3. (2) 如图，过A作x轴的垂线，垂足为D(2 ，0) ，连接CD，CB，过C作 CEAD，CFx轴，垂足分别为E，F. 则SOAD 1 2OD AD 1 224 4.SACD 1 2 ADCE 1 2 4(x 2) 2x 4，SBCD 1 2 BDCF 1 2 4 1 2x 23x x 26x. 则 SSOADSACDSBCD42x4x 2 6xx 28x. S关于x的函数表达式为Sx 28x(2 x6) S x 28x( x4) 216，当 x4 时，四边形OACB的面积S有 最大值，最大值为16. 6D 解析：令x0，得y9，点B的坐标为 (0 ，9)y x 26x9( x3) 2，点 A的坐标为 (3 ，0) ，对称轴为直线x 3. 点C在抛物线上，且四边形ABCD是平行四边形，BCAD，即 BCx轴，点C的坐标为 (6 ，9)，BC6，AD6，点D的 坐标为 (9，0) 故选 D. 7y 5 12x 21 2x 20 3 解析：依题意得A点的坐标为 (4，2) ，B点 的坐标为 ( 2，6)，C点的坐标为 (2，4)设抛物线的函数关系式为 yax 2 bxc，则 16a4bc2， 4a2bc6， 4a2bc4， 解得 a 5 12， b 1 2， c 20 3 . 抛物线的函 数关系式为y 5 12x 21 2x 20 3 . 8 2 3 解析： 连接OB. 四边形OABC是边长为 1的正方形，BOC 45，OB122. 过点B作BDx轴于点D. OC与x轴正半 轴的夹角为15，BOD451530，BD1 2OB 2 2 ， ODOB 2 BD 2 （2） 22 2 2 6 2 ， 点B的 坐标 为 6 2 ， 2 2 . 点B在抛物线yax 2( a0) 上，a 6 2 2 2 2 ，解 得a 2 3 . 9解： (1) 以O点为原点，线段OA所在的直线为x轴，线段OC 所在的直线为y轴建立直角坐标系，如图所示 正方形OABC的边长为 4，对角线相交于点P，点O的坐标为 (0 ，0) ，点A的坐标为 (4 ，0)，点P的坐标为 (2，2) 设抛物线l的解析式为yax 2bxc. 由抛物线 l经过O，P，A三 点，得 0c， 016a4bc， 24a2bc， 解得 a 1 2， b2， c0. 抛物线l的解析式为y 1 2x 22x. (2) 点E是正方形内的抛物线l上的动点，设点E的坐标为 m， 1 2 m 22m (0 m4) ， SOAESOCE 1 2 OAyE 1 2 OCxE 1 2 4 1 2m 22m1 24 mm 24m 2m(m3) 29，当 m3 时，OAE与OCE面积之和最大，最大值为9. 易错专题：二次函数的最值或函数值的范围 类比各形式，突破给定范围求最值 类型一没有限定自变量的取值范围求最值【方法 8】 1 已知二次函数 y3x 212x13， 则函数值 y的最小值是 ( ) A3 B2 C1 D1 2(2017天门中考 )飞机着陆后滑行的距离s( 米)关于滑行的 时间 t( 秒)的函数解析式是s60t t 2，则飞机着陆后滑行的最长距 离为_米 3函数 yx(23x) ，当 x 为何值时，函数有最大值还是最小 值？并求出最值 类型二限定自变量的取值范围求最值【方法 8】 4已知二次函数的图象 (0 x3)如图所示， 关于该函数在所给 自变量取值范围内，下列说法正确的是( ) A有最小值 0 和最大值 3 B有最小值 1 和最大值 0 C有最小值 1 和最大值 3 D有最小值 1，无最大值 第 4 题图第 6 题图 5已知二次函数 y2x 2 4x1，当5x0时，它的最大 。