§3.2 复变函数积分的重要定理一 Cauchy-Goursat定理二 复合闭路变形原理 三 Newton-Libnize公式 四 Cauchy积分公式五 高阶导数公式 六 总结 七 作业习题引言：积分与路径无关的刻画在单连通区域D内，积分 与路径L无关的充分必要条件是：一Cauchy-Goursat定理 柯西-古萨定理例1解根据柯西-古萨定理, 有例2 解函数z在C内处处解析，根据柯西-古萨定理,有例3解根据柯西－古萨定理得二 复合闭路变形原理柯西古萨定理的推广当闭合曲线内部包围被积函数 的奇点，该积分通常不为零，但仍 有一定的规律可以研究1 闭路变形原理2 复合闭路变形原理1 闭路变形原理本定理直观意义为函数沿闭曲线积分, 闭曲线在区 域内作连续变形而不经过奇点，则积分值不变即可看作柯西-古萨定理的推广2 复合闭路变形原理称C+C1- +C2- +···+Cn-为复围 线,记为Γ，包围着绿色复连 通区域D函数f(z)在绿色复连通区域 D解析，紫色阴影是函数 的奇点设C为简单闭曲线，Ci(i=1,2…n )是在C内部的简单闭 曲线，互不相交互不包含，C的内部与 诸Ci的外部围 成绿色复连通区域D则成立:本定理直观意义为函数 沿闭曲线积分, 闭曲线作连 续变形而不经过奇点，可以 断裂为多段闭曲线，而积分 值不变。
可看作柯西古萨定 理的推广解依题意知, 例4根据复合闭路定理例5解由复合闭路定理,三 Newton-Libnize公式1 原函数 2不定积分 3变上限函数 4Newton-Libnize公式(N- L)1 原函数定义2 不定积分定义f(z)的全部原函数称为f(z)的不定积分， 记为：例如：3 变上限函数4 Newton-Libnize公式(N-L公式)例6解凑微分法，第一换元法例8分部积分法例9解定理 设函数 f(z) 在区域D内解析，C为D内任一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D，z0为C内任一点，则四 Cauchy积分公式第二种形式更适用于计算积分，通常用于被积函 数在C内有一个奇点z0，该奇点在被积函数解析 式的分母此经典例题是柯西积分公式的特例，f(z)=1例10五 高阶导数公式定理 设函数 f(z) 在区域D内解析，C为D内任一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D，z0为C内任一点，则f(z)的导函数仍为解析函数，f(z)的n阶导数为第二种形式更适用于计算积分，通常用于被积函 数在 C 内有一个奇点 z0，该奇点在被积函数解 析式的分母高阶导数公式是柯西积分公式的推广，柯西积 分公式是高阶导数公式当 n=0 时的情形。
等号右边的分式形式复杂难记，可看做是高等 数学中函数泰勒级数里 (z-z0)n 的系数例 11例12 提示：曲线包围2个奇点 ，先用复合闭路变形 原理化简六 总结：本节五个定理都是为 积分计算服务ß1)柯西-古萨定理用于计算闭合曲线内部无奇 点的积分ß2)高阶导数公式用于计算闭合曲线内部有一 个奇点的积分其中n=0就是柯西积分公式).ß3)复合闭路变形原理用于化简闭合曲线内部 有多个奇点的积分ß4)只有N-L公式用于不闭合曲线积分七 作业习题第三章习题 7，8，9题有点多啊！Class is over玩去咯！。