1,第三篇 定性理论,2,第一章 奇点 第二章 相平面法 第三章 极限环,内 容,3,第五章 奇 点,第一节 常点与奇点第二节 一次奇点第三节 非线性项对奇点的影响,4,第一节 常点与奇点,研究二维方程组,(5.1),反之,如 X(x0,y0), Y(x0,y0) 中至少有一个不等于零，则此点称为(5.1)的常点性质:过常点有唯一解，但奇点处解至少不唯一,5,由于任何奇点都可借助坐标平移而将它化为原点，因而总认为原点是（5.1）的奇点 在原点邻域内将 X, Y 展为泰劳级数，得：,则此奇点称为一次奇点,反之称为高次奇点第二节 一次奇点,6,(5.5),研究以下线性系统,7,(1) q < 0, 此时λ1,λ2异号,其解为 设λ1> 0，λ2< 0, 则其轨线在原点领域的分布情况如图所示，这样的奇点为鞍点根据特征根的各种可能情况，对奇点进行分类：,p16,p17,p30,8,o,λ 1， λ 2 为 相异负实根,若λ2<λ1<0，则积分曲线在原点与 x 轴相切，如图示。
反之，若λ1<λ2<0，则积分曲线在原点与 y 轴相切 —— 奇点称为稳定结点,对于q > 0，p 0，λ1、λ2为相异正实根，积分曲线方向远离原点 ——奇点为不稳定结点,p17,p20,p16,9,q>0，p>0，p2－4q0, v>0，将(5.5)化为：,(5.10),其解为r= r0 e -ut，θ=θ0+ v t，相应的轨线如图 ——奇点为稳定焦点,q>0, p<0, p2-4q<0:λ1,λ2为共轭复根但实部为正 ——奇点为不稳定焦点,p17,p16,10,(a) 初等因子是简单5.5)可化为：,(5.12),（4）q>0, p>0, p2-4q=0, λ1λ2为一对负重根这又可分为两种情况；,(b) 初等因子是重的5.5) 可化为：,p17,(5.13),p16,11,所有轨线在原点均与轴相切，如图所示—稳定退化结点,q >0, p<0, p2－4q=0:λ1,λ2 —— 一对正重根 不稳定临界结点和退化结点,p17,12,(5) q>0, p＝0:λ1＝-λ2 ＝vi,为一对共轭纯虚根,其解为r=r0,θ=θ0+vt, 其轨线如图 ------奇点称为中心,13,奇点分类如下：,q0, p>0, p2-4q>0, 两根相异负实根―稳定结点; q>0,p>0,p2-4q=0, 两根为相等负实根―临界结点或退化结点。
q>0,p0, 两根为相异正实根―不稳定结点;q>0,p0,p0,p0,p＝0, 两根为共轭纯虚根―中心.,14,汇,源,15,第三节 非线性项对奇点的影响,则原点（零解）若是(A2)的鞍点,正常结点、焦点，也是(A1)的鞍点,正常结点、焦点（解的结构相同），且稳定性保持不变；但(A2)的临界或退化结点，对(A1) 来说其结构可能发生变化16,定义2：设O(0, 0) 为孤立奇点，若点列 An(rn,θn)，当n→∞时，rn→0 ,θn→θ0 ,且αn→0 ，αn为An点的方向场向量与向径夹角的正切，称θ=θ0为特征方向 显然，若θ=θ0为固定方向，则必为特征方向,3.1 奇点的性质定义1：设 L 为轨线, 其上的点 A(r,θ),当r→0时,θ→θ0 （t→∞ ），称L沿固定方向进入奇点O(0, 0).,鞍 点： 0，/2, 3 /2，结 点： 0，/2, 3 /2，焦 点： 无退化结点： /2, 3 /2 或 0，临界结点：任意方向,p7,p8,p9,p10,p11,17,定义3： 轨线L与θ=θ0相交于P ,若P点向径与方向场夹角为: 0 < αp < ,则为正侧相交； < αp < 2 ,则为负侧相交。
/2 < αp < 3/2 ,则为正向相交；-/2 < αp < /2,则为负向相交①正侧正向②正侧负向③负侧负向④负侧正向,18,定义4：O为奇点，扇形域 由OA, AB与弧AB围城，称为正常区域， 上满足：除点O外没有其他奇点, OA, AB为无切线段;任意点的向径与方向场向量不垂直；最多包含一个特征方向, 但OA, AB不是特征方向.,结论： 轨线L与OA (或OB) 相交只能是同侧同向：即： 0 ‾ 或 ‾ 2 因此有三类正常区域：,I,II,III,19,结论： 轨线L与OA (或OB) 相交只能是同侧同向：即： 0 ‾ 或 ‾ 2 因此有三类正常区域：,引理：若Δ为正常区域 I ，从 OA, AB与AB上出发的轨线都进入O（当t→∞时）;若Δ为正常区域 II , AB上有一点或一段闭弧，从其上出发的轨线都进入O（当t→∞时）;,,若Δ为III , 有两种情况: (1) 没有轨线进入O; (2) POA或 AB: POA时, OP上出发的轨线都进入O; PAB时, QOAAP, 从Q出发的轨线都进入O,20,其中F2，G2 是 x, y 二次以上的函数,且满足(A3) 。
令 x=rcosθ, y=rsinθ，运算可得:,(A4),考虑结点为稳定时， 非奇异变换，将 (A1) 化为：,1. 结点情况,p7,dθ/dt = 0 θ = 0, /2, , 3 /2 ----特征方向,21,o,1, 2 – 微小量；∵λ2<λ1 < 0 r 0 dr/dt 0.,①, ③--正常区域 II; ②, ④--正常区域 I,结论：当1 → 0, ①, ③内只有一对轨线当t → ∞时沿y轴方向趋于原点；其余轨线则均沿x方向趋于原点 原点为稳定结点p8,总之，若线性奇点为结点，加上非线性项之后仍为结点，并且稳定性保持不变p8,22,鞍点情况两特征根均为实根：设λ10,,23,鞍点情况两特征根均为实根：设λ10,,①, ③--正常区域 II (t→∞) ②, ④--正常区域 II (t→-∞),结论：当ε→0, ①, ③内只有一对轨线沿y轴趋于原点(当t→-∞时); ②, ④内只有一对轨线沿x轴趋于原点(当t→∞时). 原点为鞍点,24,焦点与中心的情况,焦点情况与结点、鞍点相似：线性部分为焦点时，加上非线性项仍为焦点且稳定性不变;,对于线性部分为中心的情况，加上非线性项后，可能依然为中心，但也可能变为（不）稳定焦点;,25,,,若满足: X(-x, y)= X(x, y) Y(-x, y)= -Y(x, y),,若满足: X(x, -y)=-X(x, y) Y(x, -y)= Y(x, y),(A1),26,能否给出判断稳定性的依据?? ---问题实质:如何确定奇点的性质与（A9）系数之间的关系。
按照线性部分特征根的不同情况进行讨论.,27,分为以下几个方面： 两特征根为实根或共轭负根，此时奇点将为稳定或不稳定结点，焦点或不稳定鞍点;两特征根为一对纯虚根，线性奇点为中心，加上高次项后，为中心或焦点;两特征根一是零根，另一个正实根，奇点为不稳定;两特征根一是零根，另一个负实根，这是所谓Lyapunov第一临界情况;两特征根全为零根，又可分为两种情况: 初等因子是简单的，化为齐次方程研究; 初等因子是非简单的，奇点为不稳定28,第一节 保守系统的基本性质 第二节 带有参数的保守系统 第三节 耗散系统 第四节 轨线的作图法,第六章 相平面法,29,,第一节 保守系统的基本性质,一、保守系统 ----能量（机械能）保持守恒的系统单自由度系统的运动微分方程：,,,p32,由(6.2.), 系统的奇点为： y=0，f(x)=0 (6.4),——系统奇点（若有的话）分布在 x 轴上,30,由(6.3)，当 f(x)=0, y≠0时，有 ＝0，即轨线切线水平由（6.3）求得积分曲线的方程：,h 为常数----其力学意义为机械能守恒,(6.5), 在 h –V(x)≥0 的 x 区间内才有积分曲线, V’(x0)= f(x0)=0 ---系统奇点x0对应势能的极值,31,在奇点x0邻域内将V(x)展开为泰劳级数(取到二次项):,(6.7),V˝(x0)>0 V(x0) —极小值 (6.8) —椭圆方程奇点 x0 为中心；V˝(x0)<0 V(x0) —极大值 (6.8) —双曲线方程，故奇点为鞍点; V˝(x0)=0 V(x0) —非极大极小 拐点， 此时, 若 V (3)(x0)≠0, 积分曲线可近似表示为,p7,32,(6.9),对应中心鞍点型奇点: 一半中心，一半鞍点（高次奇点---线性部分的特征根出现零根）。
将(6.2)中的f(x)也在这一点邻域内展开，得：,33,在一般情况下,对于V(n)≠0,当n为偶数时V为极值，当n为奇数时V为拐点积分曲线为较复杂的高次曲线，如图(6.2)所示( y>0, x’>0; y<0, x’<0),p28,34,方程中不含速度项，为保守系统(机械能守恒)；方程中含有速度项，而速度项前的系数为常数或定号函数，为非保守系统；方程中含有速度项,而速度项前的系数是变号函数，则不能确定是否保守系统35,第二节 带有参数的保守系统,36,f(x, λ)=0, 在平面内为一曲线，如图(6.4),,假定阴影区: f(x, λ) 0可看出，当参数λ增大时，奇点数目随之变化f(x, λ) > 0,,λ,37,由于Vxx” (x, λ) = fx’(x, ),因而在奇点x处：Vxx” (x, ) > 0 (fx’(x, )>0)时，V-极小 中心；Vxx” (x, ) < 0 (fx’(x, ) < 0)时，V-极大 鞍点；Vxx” (x, ) = 0，但Vxx”’ ≠0时 中心鞍点与不含参数的保守系统相同,38,,λ,沿 x增加方向看f(x, )的变化，判断fx’(x, )的符号,2 , 3 , 5 –分岔点(奇点数目变化),f(x, λ) < 0,39,解: 由质点的动量距定理，可得小球的运动微分方程为,例1. 一质量为m的小球，可沿一半径为 r 的大环滑动，此大环以匀角速度绕铅直轴而转动。
设小球与大环之间无摩擦，试研究小球的运动.,(6.17),40,曲线如图(6.6): 阴影区--- f (φ,λ)0平衡位置: =0, φ=(0, ± ), 当| |> 1时; =0, φ=(0, ± , ± cos-1 ),当||<1时41,相平面内轨线的分布情况（φ：-π π ）：,,,,,,|λ|<1,42,此时共有三个鞍点(φ=0,±π)与两个中心(φ=±cos-1λ);A,B分别为通过ω=0,φ=0与ω＝0，φ=±π 的分界线，其方程为,(6.20),43,耗散系统属于非保守系统，其运动微分方程通常可表示为,第三节 耗散系统,(6.21),将 各项乘以 得,44,------由(6.22)知 y=0时 g(x, y)=0，因而耗散系统(6.25)的奇点分布，与和它对应的保守系统的奇点分布相同，但奇点的性质却可能改变(中心变成焦、结点)45,例2. 考虑阻尼作用单摆的运动耗散项：,对应的保守系统为,共有三个平衡位置(中心，鞍点)：,由于 ，故系统为耗散系统。