第五章 稳定性理论

1第五章 稳定性理论25.1 外部稳定性和内部稳定性1、外部稳定性（又称有界输入有界输出稳定性）定义：对于零初始条件的因果系统，如果存在一个固定的有限常数k及一个标量使得对于任意的所产生的输出y(t)一定满足),[ 0  tt当系统的输入u(t)满足),[,)( 0  ttktu那么称此因果系统是外部稳定的，也称有界输入有界输出稳定，简记为BIBO稳定BIBO稳定是通过输入输出关系来体现稳定性，但稳定性本身仍然是由系统结构和参数决定的，与外部输入无关),[,)( 0  ttkty 3pjqikdtgtt ij ,1,,1),(0 2、外部稳定性的判断1）线性时变系统对于零初始条件的线性时变系统，设G(t,)为其脉冲响应矩阵，则系统为BIBO稳定的充要条件是存在一个有限常数k使得对于任意的t[t0，∞)， G(t,) 的每一个元gij(t,)都满足下式证明：先证充分性，当上式满足时，且外加有限输入),[,)( 0  ttktu那么系统就BIBO稳定首先对于单输入单输出系统4 dutgty tt)(),()(0那么 dutgty tt)(),()(0  1)(),(0kkdutgtt根据定义，系统BIBO稳定。

充分性得证对于多输入多输出系统 dutgty jttpjiji )(),()(10 1 dutgty jttpjiji )(),()(10 1  dutg jttpjij )(),(10 1  dutg jttpjij )(),(10 150),(10),(00),(1)],([)(1111ttgttgttgttgSgntuijijijijj dutgty jtt ijij)(),()( 101    dtgtt ij),(10表明系统在有界输入的情况下，输出无界，与条件矛盾所以必要性得证再证必要性，即系统是BIBO稳定，那么在有界输入下上式成立用反证法，上式不成立，即一定存在某个时刻t1[t0，)使那么当外加输入  dtg ijtt),(1062）定常系统对于零初始条件的线性定常系统，设G(t)为其脉冲响应矩阵， G(s)为传递函数阵，则系统为BIBO稳定的充要条件是存在一个有限常数k使得对于任意的t[t0，∞)， G(t) 的每一个元gij(t)都满足下式pjqikdttgt ij ,1,,1)(0或者G(s)为真有理分式，且每一个元传递函数gij(s)的所有极点处在左半复平面证明： gij(s)为真有理分式,可以部分分式展开ikiis )( i、ki为常数对应的拉氏反变换 1' 1  itki ket ii 当ki＝0时，拉氏反变换为函数，其余只有i在左半平面，各项拉氏反变换才收敛，系统BIBO稳定。

72、内部稳定性考虑如下线性系统utDxtcytttxtxutBxtAx f)()(],[,)()()( 000若系统的外部输入恒为零，即 0u那么当初始状态x0是有界的，如果下式满足则称系统是内部稳定或是渐近稳定；若系统是定常的，当t0=0，有0),(lim 00 xttt000),( xexttAt011 ][ xAsIL  当矩阵A的所有特征根在s平面的左边，系统就是内部稳定内部稳定通过自由运动定义稳定性有界输入有界状态稳定（BIBS稳定）83、外部稳定性与内部稳定性的关系1）线性定常系统如果是内部稳定的，则系统一定是BIBO稳定证明：对于线性定常系统)()( tDBCetG At 当系统是内部稳定的0lim 0 xeAtt0lim Atte或那么G(t)的每一个元素都是由一些指数衰减项组成所以有pjqikdtgt ij ,1,,1)(0 则系统一定是BIBO稳定92）线性定常系统如果是BIBO稳定，则系统未必是内部稳定的证明：根据结构分解定理知道系统由4个子空间组成，系统的输入输出特性只能反映既能控又能观测子空间其余三个子空间不能从输入输出关系上体现。

当不能控或不能观测子空间中有不稳定因子，那么系统内部不稳定，而BIBO稳定3）当线性定常系统是既能控又能观测的，那么内部稳定性和外部稳定性是等价的不论是BIBO稳定还是内部稳定，系统稳定性都是由系统内部结构决定的，对于BIBO稳定只不过是通过输入输出关系体现系统的稳定性10例：已知系统的状态方程为  )(101)(,)(110)(300021002)( tXtytutXtX 试判断该系统是否渐近稳定；是否BIBO稳定例：0)3)(2)(2(300021002 ssssssAsI3,2,2  sss 不稳定  BAsICsG 1)()(   1103000210021011sss)3(1 s是BIBO稳定115.2 Lyapunov稳定性理论 Lyapunov稳定性的定义和概念 Lyapunov直接法1892年，俄国Lyapunov在《运动稳定性的一般问题》中提出了稳定性理论李氏第一法（间接法）：求解特征方程的特征值李氏第二法（直接法）：是一种定性分析方法从力学系统出发将系统能量与系统稳定性联系起来但对于非力学系统，从数学的角度抽象一个能量函数的概念来分析系统的稳定性。

不仅提供了线性系统平衡状态稳定的充要条件，还提供了非线性系统平衡状态稳定的充分条件125.2.1 系统的基本概念对于一般系统 (*),),( 0tttxfx 1、自治系统：输入为0的系统xtAx )(2、平衡状态（平衡点）对于（*）系统，如果存在某个状态xe，使下式成立0,0),( tttxfx ee 那么xe为系统的一个平衡状态大多数情况下平衡状态在原点处，即xe ＝0；对于线性系统，就是齐次状态方程Axx 对于线性定常系统若A为非奇异矩阵，平衡状态一定在原点133、孤立平衡状态如果系统的平衡状态在状态空间中呈现为彼此分隔的孤立点，则称其为孤立平衡状态对于孤立的平衡状态，总是可以通过移动坐标系将其转化为空间原点所以下面讨论总认为平衡状态在座标原点4、受扰运动对于自治系统，如果初始状态为x0≠xe000 ,),;()( tttxtxtx 称为是初始状态x0的受扰运动讨论的稳定性就是指平衡状态的稳定性，即当系统由于初始状态偏离平衡状态时，系统能否在自治的情况下返回到平衡状态，或限制在某个区域14例：求非线性系统的平衡点3221211xxxxxx01 x解：令 02 x001ex  102ex 103ex有三个平衡状态。

0,0 32211  xxxx0232 xx0)1)(1( 222  xxx155.2.2 Lyapunov稳定性的定义1.李氏意义下的稳定xe为如下系统的一个孤立平衡状态如果对任一正实数 0 都对应存在另一个正实数 0),( 0 t满足 ),(00 txx e Tnxxxx ],[ 020100 Tneeee xxxx ],[ 21 2021100 )()( nenee xxxxxx  其中初态平衡状态为向量的2范数或欧几里德范数球域S()(*),),( 0tttxfx 162.渐近稳定1）是李氏意义下的稳定0),,(lim 00  etxtxtx2）当与t0无关时，称为一致渐近稳定球域S()被称为平衡状态xe=0的吸引域当与t0无关时，称为一致稳定且 0tt 则称xe 是李氏意义下的稳定球域S() extxtx ),,( 00173.大范围内渐近稳定性对 )(0 sx  都有 0),,(lim 00  et xtxtx)(s ex 大范围渐近稳定4.不稳定性对于某个和任意个，不管有多小、有多大，只要由S() 内的x0 出发的轨迹超出S()以外，则xe不稳定对所有的状态（状态空间中的所有点），如果由这些状态出发的轨迹都保持渐近稳定性，则平衡状态xe称为大范围渐近稳定。

大范围渐近稳定的必要条件是状态空间中只有一个平衡态当与时刻t无关时系统称为大范围一致渐近稳定18（a）稳定平衡状态及一条典型轨迹（b）渐近稳定平衡状态及一条典型轨迹（c）不稳定平衡状态及一条典型轨迹在经典控制理论稳定的概念与李亚普诺夫意义下稳定不完全一致经典控制理论(线性定常系统) 李亚诺夫意义下不稳定(Re(s)>0) 不稳定临界情况(Re(s)=0)稳定(Re(s)0，所以r的变化率始终小于零，不论初始r多大，r逐渐减小，直到r=0原点（0 ，0 ）平衡状态为大范围一致渐近稳定满足条件的能量函数V(x)并不容易找；对于非线性系统没有一个统一的方法寻找V(x)；对于线性系统可以采用下面的方法315.3 线性定常系统的稳定性判据讨论如下线性定常自治系统nRxAxx xe＝0为平衡状态定理1、 xe在李氏意义是稳定的充要条件是A的所有特征值具有非正实部，且具有零实部的特征值为A的最小多项式的单根证明： xe为平衡状态，满足 0ex 0eAxnAt Rxxextx 00 )0,,(0)()0,,( 00  txxexxtx eAte所以对所有t均有320)()0,,( 00  txxexxtx eAte当且仅当 keAt对任意给定的一个实数>0都存在一个 k )(使得 )(0  exx extxtx ),,( 00 系统稳定引入线性变换P，将状态空间变换为约当标准型APPJ 1PePe AtJt  133PePe AtJt  1Jte每个元素形式为 tjtr et   1Ate有界等价于 有界Jter为根（+j)的重数，当<0或=0且r=1时 Jte 有界，系统稳定当所有的特征根具有负实部，或零实部的根为单根时系统稳定系统稳定。

定理2、系统唯一的平衡状态xe在李氏意义是渐近稳定的充要条件是A的所有特征值具有负实部34定理3：线性定常自治系统在平衡点处渐近稳定的充要条件是：0,0  PQ 满足李雅普诺夫方程 QPAPAT P、Q均为是正定对称阵证明：先证充分性，即P、Q均为是对称正定阵且满足上式，系统渐近稳定选择一个正定二次型PxxxV T)(xPxPxxxV TT  )( PAxxPxAx TTT xPAPAx TT )(  QxxTTTT AxxAxx)(xV由于Q为正定，所以 为负定，所以系统渐近稳定35再证必要性，即系统渐近稳定，对于任意给定的正定对称Q ，一定存在对称正定P满足上述方程构造一个矩阵方程0,)0(,  tQXXAXAX T其解矩阵为 0,  tQeeX AttAT对矩阵方程两边求积分 AXdtXdtAXX T   00)0()(由于系统渐近稳定 0)( X QX )0(而令 0XdtP QPAPAT 下面要证明P为正定对称矩阵 0 dtQeeP AttAT36PdtQeedtQeeP AttATAttAT TT   00][ 为对称矩阵对任意不为零的向量≠0，因为Q正。