附录I微积分学简史概念：微积分学分为微分学和积分学，是专指运用无穷小或无穷大等 极限过程分析处理计算问题的学问.发展简史：1、荫芽阶段：⑴古希腊，欧多克斯（前408~前355）提出了穷竭法：一个量如减去大 于其一半的量，再从余下的量中减去大于余量一半的量，这样一直下 去，总可使某一余下的量小于已知的任何量.⑵阿里士多德（前384~332）严格区分实无限和潜无限，且只承认潜无限.⑶庄子（前355~前275）《天下篇》“一尺之棰，日取其半，万世不竭”⑷阿基米德（前287~212）在《抛物求积法》中用穷竭法求出抛物线弓 形的面积即，逐次作出与该弓形同底等高的三角形（如图），然后将 这些三角形面积加起来.第n步时，这些三角形面积之和为:A（1+1 +丄+•・・+丄），A为第一个三角形的面积.4 42 4n-1又指出：A（1+1 +丄+•・・+丄 +1 丄）=4 A.4 42 4n-1 3 4n-1 3最后用穷竭法和反证法证明’抛物线弓形面积不能大于或小于3 A.标志着积分学的萌芽.（5）263年，刘徽为《九章算术》作注时提出“割圆术”用正多边形逼 近圆周割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆 周合作而无所失矣”⑹1328年英国大主教布兰德瓦丁在牛津发表的著作中提到类似于均 匀变化率和非均匀变化率的概念.2、酝酿阶段：(1) 1615 年开普勒在出版《新空间几何》中发展了阿基米德求面积和 体积的方法，给出了92 个阿基米德未讨论过的体积问题，并研究了 酒桶的最佳比例。
在天文学研究中得到公式：F sinO d0=1-COS0.0(2) 1635 年卡伐列利出版了《不可分量几何学》，将面积的不可分量比 作织成一块布的线，体积的不可分量比作一册书的各页，而不可分量 的个数为无穷多，且没有厚薄和宽窄，已到达了积分学的边缘，且发 现公式：Lx. dX=伫,n为正整数.0 n +1(3) 法国数学家帕斯卡(1623~1662)借助了略去高次项(即略去高阶无穷 小)的方未能证明体积公式，并且注意到很小的弧和切线是可以相互 代替的.(4) 法国数学家费马(1601~1665)在求极大极小值上取得了非凡的成功，为微积分开辟了道路他注意到：在长为a的线段上取一段x, 由x和a-x所矩形面积为A=x(a-x)，对一般的A，x可以有两个值，当 A为极大值时，x只有一个值是a.费马的论证如下：2设 A=x(a-x)，今取 x+E，则 A'=(x+E)(a-x-E).作：A'-A=E(a-2x)-E2.因极大值面积只有一个，故可认为A'-A=O，・・.a-2x-E=0；令 E=0，得 2x=a，即 x= a.2⑸英国数学家沃利斯(1616~1703)完成了相当于Jx(i-t2)n dx(n是正整0数)的积分，并给出n的无穷乘积表示。
他大胆地将有限推向无限，例如他从0±1=1, °+1+2 =1, °+1+2+3 =11 +1 2 2 + 2 + 2 2 3 + 3 + 3 + 3 2断言，这个比对无限项成立，这将导致积分.⑹英国数学家巴罗(1630~1677)给出求切线的方法，相当于现代以 dx,dy,ds为边的直角三角形.在他的几何学讲义中出现了微分三角形 MNR(如图)，他在求PT的长时舍去了 MR和NR的高次项.3、形成阶段：(1)1665~1666年间，23岁的牛顿利用二项式展开，观察一族相关的 曲线：y=(1-x2)n.对固定的整数n(n>0)，将它作二项式展开得到有 -X2,X4,-X6,X8,…各项的多项式.然后运用-X2的下方图形面积是-¥ ，X43的下方图形面积是竺等已有知识，构造了一个系数表，横向按幕次 5排列，纵向按n=1,2,…排列，表内的值是(1-X2)n下方图形面积展开式 中各个幕次的系数，构成一个巴斯卡方阵，再插入对应于n=1的各幕2项的系数，现称之为牛顿二项式定理 利用这张表就能求出当时所知 的代数曲线下的面积.⑵1665年5月20 日，在牛顿牛写的文件中开始有“流数术”的记载, 标志着微积分的诞生。
牛顿把曲线看作运动着的点的轨迹，想象用一 条运动的直线扫过一个区域，来计算此曲线下的面积，这就是牛顿用 运动的概念来叙述他的发现他称连续变量为“流动量”流动量的 导数为“流动率” • x表示流动量X的流动率如：给定函数y-X2=0，时间的刹那用0表示(即dt)，X,y的刹那用xO和yO表示(即dx=dx • dt, dy= dy • dt).以x+xO及y+yO替代x,y代入方程 dt dt得 y+y0-(X2+2xx0+X202)=0, \*y-x2=O, ・°・y0-2xx0-X202=0,全式除以0,得y-2xx-X20=0，略去X20,即得y=2xx(即dy =2x)dx(3) 1684 年，莱布尼茨在《教师期刊》上发表了第一篇论文，给出了一阶微分明确的定义，他说横坐标X的微分dx是任意量，而纵坐标y 的微分dy则定义在它与dx之比等于纵坐标与次切距之比的那个量 (即巴罗微分三角形中的TP(次切距)和MP(纵坐标)之比，正是切线的 斜率).(4) 1687年，牛顿的“流数术”才在《自然哲学之数学原理》中以几 何形式发表出来《流数术》本身则直到1736(牛顿去世后 9 年)年才 公开发表。
5) 牛顿完整地提出微分和积分是一对逆运算，并和莱布尼茨分别指出 了换算的公式，即牛顿—莱布尼茨公式，或微积分学基本定理. 而莱 布尼茨的记号dx和运用起来便利.4、大争论阶段：(1) 荷兰哲学家尼文太(1654~1718 年)反对莱布尼茨的高阶微分和略去 无穷小量.(2) 泰勒(1685~1731)用差分去解释流数，没有成功.(3) 麦克劳林(1698~1746)试图从瞬时速度的理解上证明微积分理论的 严密性，成效不大.(4) 1734 年，爱尔兰主教贝克莱公开质疑微积分理论的严密性5)达朗贝尔(1717~1783 年)将微积分的基础归结为极限，认为极限是 “一个变量趋近于一个固变量，走近的程度小于任何给定的量”，未 完成.(6)欧拉(1707~1783 年)以微积分为工具解决了大量天文、物理、力学 的问题，开创了微分方程、无穷级数、变分学等诸多新学科7)1748 年，欧拉发表了世界上第一本完整的有系统的分析学《无穷 小分析引论》.(8)数学家阿贝尔(1802~1829 年)指出：“在高等分析中，只有很少几个 定理是用逻辑上站得住脚的形式证明的人们到处发现从特殊跳到一 般的不可靠的推理方法。
5、成熟阶段(1) 1821 年，法国数学家柯西在《分析教程》一书中，给极限定义为 “若代表某变量的一串数值无限地趋向于某一数值，其差可任意小， 则该固定值称为这一串数值的极限并由此出发建立起一个微积分 体系⑵德国数学家魏尔斯特拉斯(1815~1897年)采用了 £-6的表示方法，摆脱了几何直观所带来的概念含糊问题.(3) 1854 年黎曼给出了有界函数可积性的定义.(4) 1859 年，李善兰和伟烈亚力合译了《代数积拾级》，成为第一部微 积分著作的中译本，书中首用微分，积分等译词.(5) 柯西认识到“无理数是有理数迫近的极限”，但极限又要用到实数 的循环论证.(6) 1872 年，梅莱、海涅、康托尔用柯西收敛准则的想法将无理数看 成柯西列，为建立实数理论打下了基础.(7)戴德金(1831~1916)用有理数的分划定义所有实数，被誉为“不依赖空间与时间直观的人类智慧的创造物”，并最终使无理数摆脱了“不 可公度线段”之类的几何直观.(8)海涅在 1870年提出一致连续性.(9)1872 年魏尔斯特拉斯给出了处处连续而不可微的函数例子.(10)1885 年，布达给出了有界函数可积的充要条件.(11)1895 年，博雷尔运用海涅的一个性质，将一致连续性上升为有限 覆盖定理.6、现代微积分的发展：(1)20 世纪初，勒贝格开创了可列可加测度的积分论，即实变函数论， 也称实分析.(2) 概率论和随机过程论被称为现代分析.(3) 复变函数论继续向纵深发展，形成复分析.(4) 以函数空间为背影的泛函和算子理论开始了泛函分析的历程。
5) 三角级数论发展成各种各样的傅里叶分析6) 处理高维空间中曲线曲面，多变量函数的整体性质等，需要用拓扑 学知识及代数工具，形成流形上的分析，使微分几何学、偏微分方程、 多复变函数论等学科相结合，形成当代数学的主流方向7) 研究多元函数的反函数，多元积分的外微分形式，逐渐成为分析学 的基础知识.(7) 分析学基本上解决了线性空间的线性算子(线性微分方程)的课题， 目前非线性分析已成为最活跃的数学分支之一⑻I960年，罗宾逊将实数系R扩充为超实数系R*,无穷小量作为R* 中的数，使极限过程的表示显得更为简单，这称为非标准分析.(9)泛函分析的产生使分析学跃上新的高度，希尔伯特空间，巴拿赫空 间，广义函数论已成为数学家和物理学家的常识7、未来的任务：(1) 无限维空间上的微积分学尚未诞生2) 黎曼积分的推广仍未完成。