第2章分离变量法（直角坐标）§2.1 有界弦的自由振动§2.2 有限长杆的热传导§2.3 非齐次方程的解法§2.4 非齐次边界条件的处理§2.5 高维情形2）适用什么样问题？问题： 1）什么是分离变量法？3）理论基础是什么？（思想、步骤）§2.1 有界弦的自由振动方程：2,0,0,(0, )( , )0,0,( ,0)( ),( ,0)( ), 0.ttxxtua uxL tutu L ttu xxu xxxLϕψ⎧= ⎪==>⎨ ⎪==≤≤⎩注：齐次方程边界条件考虑具有如下形式的解（ansatz）)()(),(tTxXtxu=（分离变量）齐次 （第一类）未知函数边界取值代入方程xxttuau2=)()( )()(2tTatT xXxX′ ′=′ ′⇒)()( )()(2tTatT xXxX′ ′=−=′ ′⇒λ（为待定常数）λ⎩⎨⎧=+′ ′=+′ ′⇒002TaTXXλλ边界条件0, 0)()()()0(>==⇒ttTLXtTX0)()0(==⇒LXX先解讨论：⎩⎨⎧ ===+′ ′0)()0(0 LXXXXλ0λ⎩⎨⎧==⇒0sin0LBAλ0sin≡⇒Lλ?, 2, 1,==⇒nLnπλ?, 2, 1sin)(2=⎪⎪ ⎩⎪⎪ ⎨⎧=⎟⎠⎞⎜⎝⎛= ⇒nxLnBxXLnnnnππλ特征函数特征值再解02=+′ ′TaTλtLnaFtLnaEtTnnnππsincos)(+=⇒xLntLnaDtLnaCtxunnnπππsinsincos),(⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡+=从而得到满足方程与边界条件的一族解), 2, 1(?=n), 2, 1(?=n命题（特殊初值）是如下定解问题的解：∑ =⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡+=NnnnxLntLnaDtLnaCtxu1sinsincos),(πππ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤≤=≤≤=>==>==>=+=>h（热交换常数）.代入方程λ−=′=′ ′⇒)()( )()(2tTatT xXxXλ=−=−>==>==>==>=Δ=Δ>==>==>==>⎪==>⎨ ⎪=≤≤⎩例例：.3sin),(2 Lxttxfπ=22 0,0,0,(0, ; )( , ; )0,0, 3( , ; )sin,0.txxtva vxL tvt sv L t st xv x t ssxLLπ====>=≤≤上例中假设略解：LxesstxvLtaππ3sin);,(2229 2−=⇒dsLxestxutLsta ∫−−=⇒ 0)(9 23sin),(222ππ…=（练习）⎧⎨⎩注： （1）棘手的自由项DP“无害”的初始条件（2）若性质足够好，则 DP 给出的是古典解,例如（3）可应用于其它形式的齐次边界条件，（或）需满足相应的边界条件问题： 非齐次波动方程和 Poisson 方程有相应的fvv∑ ==NnnLxntbtxf1sin)(),(π齐次化原理（ DP ）吗？一般情形⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=>==>==>==>==>==> ⎪==>⎨ ⎪==≤ ≤⎩例例：求解 Poisson 方程LMx),( yxfuuyyxx=+0=u0=u0=u0=uy0想法： 视为“时间变量” ，类似波动方程求解注： 矩形域齐次边界条件（非齐次 Laplace 方程）（第一类）yt采用特征函数法求得特征函数族∞=⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧1sinnLxnπ沿特征函数展开 ∑∞==1sin)(),(nnLxnyuyxuπ∑∞==1sin)(),(nnLxnyfyxfπ⎪⎩⎪⎨⎧===−′ ′⇒ 0)() 0(222MuufuLnunnnnnπ 代入方程齐次边界条件不同→特征函数可能不同！注：（参数变异法）⎥⎦⎤+⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=∫∫Mynynndssfshyhdssfshyh MLn Lnyu)()()()()()( sinh1)(12021ππ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=Lynyhπsinh)(21()( )sinh,nMyh yLπ−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠其中0222 =−′ ′hLnhπ满足求得（练习）满足注： （1）对于较特殊的自由项，可采用特解法例例：)()(Lxxxv−−=wvu+=LMx2−=+yyxxuu0=u0=u0=u0=uy0选取则wLMx0=+yyxxww0=w)(Lxxw−=)(Lxxw−=0=wy0这里注：（2）齐次化原理此时不适用！ （为什么？）（3）所得为单重级数形式解（4）也可视为“时间变量” ，类似求解，此时求得的特征函数族为∞=⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧1sinnMynπ问题： 这两个单重级数解是否相同？xt注意到), 2, 1,(sinsin?=nmMyn Lxmππ22 20mnmnmn LMππφφ⎡⎤⎛⎞⎛⎞∇++=⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎢⎥⎣⎦满足给定的齐次边界条件， 且???????nmλ特征值Laplace 算子的特征函数= : ),(yxnmφ二重级数尝试),(),(11yxCyxunmnm mnφ∑∑∞=∞==),(),(11yxfyxCnmnmnm mn=−⇒∑∑∞=∞=φλ代入方程dydxyxyxfLMCnmLMnmnm),(),(400φλ∫∫−=⇒Myn LxmCnm mnππsinsin11∑∑∞=∞==（Fourier）?? ??? ??这里用到的（完备）正交性{},1mnm nφ∞=注： （1）此法称为特征函数法此二重级数解是否同所求单重级数解？（2）Laplace 算子特征值问题20φλφ∇+=特征函数族+ 齐次边界条件多重级数解高维情形 基本思想问题：§2.4 非齐次边界条件的处理例例：求解 Poisson 方程 M2uf∇=)(1ygu=)(2xhu=)(1xhu=)(2ygu=y0LxM2vf∇=0=v0=v0=v0=vy0LxM20w∇=)(1ygw=)(2xhw=)(1xhw=)(2ygw=y0Lxwvu+=分解： 使得M20w∇=)(1ygw=)(2xhw=)(1xhw=)(2ygw=y0Lx21www+=分解：使得求解 Laplace 方程M2 20w∇=)(12ygw =02=w02=w)(22ygw =y0LxM2 10w∇=01=w)(21xhw =)(11xhw =01=wy0Lx⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==>==>∀==ttutLwtutw⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==>==>∀t⎪⎪ ⎩⎪⎪ ⎨⎧=++=+′ ′=+′ ′=+′ ′⇒λγβαγβα000ZZYYXX⇒2 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=Lllπα2 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=Mmmπβ2 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=Nnnπγnmlnmlγβαλ++=Lxlπsin⎩⎨⎧), 2 , 1,,(?=nml得到特征函数族：⎪⎩⎪⎨⎧======0)()0(0)()0(0)()0(NZZMYYLXX 且Nznπsin= : ),,(zyxUnmlMymπsin（特征值）（为待定常数）γβα,,ta nmlnmlnmleEtT2)(λ−=⇒再解02=+′TaTλ从而得到满足方程与边界条件的一族解),,(),,,(2zyxUeCtzyxunmlta nmlnmlnmlλ−=), 2 , 1,,(?=nml ∑∑∑∞=∞=∞==⇒111),,,(),,,(lmnnmltzyxutzyxu（Fourier）∑∑∑∞=∞=∞=−=111),,(2lmnnmlta nmlzyxUeCnmlλ… …???????????三重级数注：（2）关键是特征函数族特征函数族的正确求解（1）直角区域上的高维齐次波动方程与高维Laplace 方程可类似求解（3）非齐次方程以及非齐次边界条件的处理与低维情形类似问题： （1）非直角区域（如圆盘）可否应用分离变量法？（2）无界区域是否有相应的分离变量法？如如无界弦的振动（选取坐标使之成为“直角”区域）（特征函数积分）。