专题01圆锥曲线的常用结论=1( 2+ 九〉0 ).—■椭焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形4Ay 1标准方程乂 + 兰=i(a > b > 0) a 2 b 2兰 + 兰=1(a > b > 0)a 2 b 2范围-a < x < a 且-b < y < b-b < x < b 且-a < y < a顶点A (-a,0 )、A (a,0 )1 2B (0, -b)、B (0, b)1 2A (0, -a)、A (0, a)1 2B (-b,0 )、B (b,0 )1 2轴长短轴的长=2b 长轴的长=2a隹占八\、八、、F (-c,0 )、F (c,0 )1 2F (0, -c )、F (0, c)1 2焦距FF = 2c(c2 = a2 -b2)1 2对称性关于x轴、y轴、原点对称离心率e = — = J1 — — (0 < e < 1)e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁 a V a 21.⑴与椭圆-+右=1共焦点的椭圆的方程可设为亍+b^(2)与椭圆—+ ^~ = 1有相同的离心率的椭圆可设为—+ ?—=九,a 2 b 2 a 2 b 2 b 2 a 22•椭圆的两焦点分别为F,F ,P是椭圆上任意一点,则有以下结论成立：1 2(1)IFF! + PF = 2a ；(2)a一c < PF < a + c ；⑶b2 < PF - PF < a2 ；(4)焦半径公式I PF 1= a + ex ,1 PF 1= a -ex( F (-c,0) , F (c,0) M(x , y )).1 0 2 0 1 2 0 03.椭圆的方程为p g=1(a> b >0),左、右焦点分别为f仆p匕z是椭圆上任意一点,则有:⑴y 2 = 一C2_x 2),X 2 = 一(b2 -y 2)；⑵参数万程］0 为参数)；0 a 2 0 0 b 2 0 I y = b sm 02b204•设P点是椭圆上异于长轴端点的任一点耳迅为其焦点记牛PF2 =0 ,则(1)| PF」尸中1 + cos 00(2)焦点三角形的面积: S = c I y I =b2 tan .呷笃 p 2(3)当P点位于短轴顶点处时，0最大，此时SApff也最大;12⑷ cos 0 > 1 - 2e 2.I pM I a(5)点M是ApFif2内心，pm交Fif2于点N，则而= cb25•有关-一的经典结论a2x2 y 2 b 2⑴.AB是椭圆忑+石=1的不平行于对称轴的弦，M(x0, y0)为AB的中点，则k0M -kAB 一石x2 y 2(2) •椭圆的方程为一+二=1 (a>b>0), A , A为椭圆的长轴顶点,P点是椭圆上异于长轴顶点的任一a 2 b 2 1 2 —b2点，则有K K =--pA1 pA2 a2x 2 y 2(3) .椭圆的方程为一 + —= 1 (a>b>0)，B ,B为椭圆的短轴顶点, P点是椭圆上异于短轴顶点的任a 2 b 2 1 2b2一点，则有K K =—-pB1 pB2 a2x2 y 2(4).椭圆的方程为一 + 1 = 1 (a>b>0，过原点的直线交椭圆于A,B两点, P点是椭圆上异于A,B两 a2 b2b2 点的任一点，则有K K =--pA pB a2x 2 y 26.若mW，人)在椭圆石+社=1上’则b 2 x(1) 以P (x , y )为切点的切线斜率为k =— 亠；0 0 0 a 2 y0(2) 过P的椭圆的切线方程是T +字=1.0 a 2 b 2X 2 y 27•若P (x ,y )在椭圆一 +「= 1外，则过P (x ,y )作椭圆的两条切线切点为氏，则切点弦卩占-的0 0 0 a 2 b 2 0 0 0 1 2 直线方程是亠+a 2 b 28.椭圆的两个顶点为A1(—a,0) , A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于片、卩2时A』］与A2P2交点的轨迹方程b 29.过椭圆上任一点A*, y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且kBCb 2 x亠（常数）.a2 y010.若P为椭圆上异于长轴端点的任一点，耳，F 2是焦点，ZPFF二a , ZPF F二卩，则 1 2 1 2 2 1c sin (a + p)e =—= —.a sin a + sin p11. P为椭圆上任一点，耳，片为二焦点，A为椭圆内一定点，则2a — I AF 1<1 PAI + I PF l< 2a + I AF I,当且仅 1 2 2 1 1当A, F ,P三点共线时，等号成立.212.O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP丄OQ.1 1 1 11)+ = + ;I OP |2 | OQ |2 a2 b2 '4a2b2(2) IOPI2+IOQI2的最大值为 ；a2 +b2a2b2(3) S 的最小值是 .aopq a 2 + b 213.已知A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(X0‘O),则a2 -b2< x < Oac14.离心率e=a15.过焦点且垂直于长轴的弦叫通经,其长度为2b2a16. 从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点.17. 过椭圆竺+兰二1( a > b > 0)左焦点的焦点弦为AB ,则|AB| = 2a + e( x + x )；过右焦点的弦a 2 b 2 1 2|AB| = 2a 一 e(x + x ).18. 内接矩形最大面积：2ab.19. 若椭圆方程为—+兰=1(a > b > 0)，半焦距为c，焦点F (-c,0), F (c,0)，设a 2 b2 1 2(1).过件的直线l的倾斜角为Q ,交椭圆于A、B两点，则有①\AF\ = -—, \BF\ = -— •，② |AB| =匕一1 a - c cos a 1 a + c cos a a2 — c2 cosza⑵.若椭圆方程为些+兰=1(a > b > 0)，半焦距为c，焦点F (—c,0), F (c,0)，设a2 b2 1 2过F的直线l的倾斜角为a，交椭圆于A、B两点，则有：①2|AF| = b一,|BF |= b一 ：②|AB| = 込一2 a+c cos a 2 a~c cos a a2 — c2 cosza―2ab—（焦点在x轴上） 结论：椭圆过焦点弦长公式：|AB| = { a2 -c2 cos2a―2ab—（焦点在y轴上） 、a2 -c2 sima20.若AB是过焦点F的弦，设|AF| = m,|BF| = n，则丄+丄=纽m n b2x 2(2)与一一a 2=1有相同焦点的双曲线方程为丰 0, a2 一九〉0,九 + b2 > 0x 2(3)与一一a 2=1有相同焦点的椭圆方程为:丰 0,a2 +X > X — b2 > 0二•双曲线焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形V』*标准方程兰—兰=1(。
> 0, b > 0)a 2 b 2兰—鼻=1(a > 0, b > 0)a 2 b 2范围x < —a 或 x > a , y g Ry < — a 或 y > a， x g R顶点A (-a,0 )、A (a,0 )1 2A (0, —a)、A (0, a)1 2轴长虚轴的长=2b 实轴的长=2a焦占八\、八、、F (—c,0 )、F (c,0 )1 2F(0,-c)、F (0,c)1 2焦距FF = 2c (c 2 = a 2 + b 2)1 2对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称离心率e = £ = J1 (e> 1), e越大，双曲线的开口越阔a W a 2渐近线方程y = ±叭ay = ± ax bX 2 y 2 x 2 y 21.(1)与一—[=1共轭的双曲线方程为 —「= —1，①它们有公共的渐近线；②四个焦点都在以原点a 2 b 2 a 2 b 2(4)与—+ ^- =1有相同焦点的双曲线方程为:a 2 b2去-占2 =心0,a2"X>0,_b2 >0)(5)与乂 一［= 1有相同离心率的双曲线方程为：①焦点在x轴上时：乞一二=九,(九〉0,九H 1) a2 b2 a2 b2②焦点在y轴上时：—-二=九,(九〉0)a2 b2(6)与 t- = 1有相同的渐近线方程为： 丰-=九,(九H 0,九H1)；a2 b2 a2 b22•双曲线的两焦点分别为F,F ,P是双曲线上任意一点，则有以下结论成立：12⑴ |PF | - |PF | = 2a ； (2)|PF| = a + c, |PF| = c 一 a S在右支上)；1 2 1 min 2 minPF = a + c, PF = c 一 a S在左支上)2 min 1 min3.双曲线的方程为—一 — =1 ( a > 0 , b > 0 ) , , P(x ,y )是双曲线上任意一点，则有: a 2 b2 0 0)；y 2 =冬(x 2 -a2),x 20 a 2 0 04•设P点是双曲线上异于长轴端点的任一点,片、F2为其焦点记牛叮，则(1) 1 PF II PF 1= .1 2 1 一 cos 09(2) 焦点三角形的面积S = c | y |=b2 cot .呷笃 p 2b25•有关一的经典结论a2x2 y2 b2⑴AB是双曲线02一厉=1的不平行于对称轴的弦，M(x°,y0)为AB的中点，则koM -kAB =五，即KABb2x0。
a2y0x2 y 2⑵双曲线的方程为一—二=1 (a>0, b>0), A , A为双曲线的实轴顶点,P点是双曲线上异于实轴顶 a 2 b 2 1 2b2点的任一点，则有K K =—PA1 PA2 a 2x2 y 2⑶双曲线的方程为a2-b2 = 1(a>°，b>0)，为双曲线的虚轴端点,P点是双曲线上异于虚轴端点的任一点，则有%%=忘x2 y 2(4)双曲线的方程为—— y-= 1 (a>0, b>0),过原点的直线交双曲线于A, B两点，P点是双曲线上异 a 2 b 2b2 于A,B两点的任一点，则有K K =—PA PB a2x2 y 26.若P (x , y )在双曲线一—厂=1上，贝90 0 0 a2 b2(1)以P (x , y )为切点的切线斜率为k = 竺 ；(2)过P的双曲线的切线方程是二—学 =1.0 0 0 a2y 0 a2 b20x2 y 27•若P (x , y )在双曲线一—厂=1外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P2，则切点弦P,P2的直0 0 0 a2 b2 1 2 1 2线方程是X —讣=1.a 2 b 28.双曲线的两个顶点为A (—a,0) , A (a,0)，与y轴平行的直线交双曲线于P_ P2时A.P.与A2P2交点的轨 1 2 1、2 1 1 2 2x2 y 2。