1、 试证明亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理指出，在由闭合面所包围的体积中的任一矢量场，由它的散度、旋度和边界条件（即限定空间体积的闭合面上的矢量场分布）唯一确定，并可写成一个无旋场和一个无散场之和 下面证明亥姆霍兹定理在图1-1所示三维直角坐标系中有一闭合面，是闭合面所包围的有限空间为有限空间中任意的点，各自坐标分别为、，或者记为、点指向点的矢量记为图1-1利用函数的抽样性质，有限空间中任意一点处的矢量场可以写为：（1-1）方程1-1右端的积分空间为闭合面所包围的有限体积，积分变量是，此时可视为常量并且只有当它位于内时方程1-1才成立 为了对方程1-1做进一步处理，考虑使用如下等式1-2）等式1-2的证明见附录1.1 将方程1-2带入方程1-1可得（1-3）其中积分变量为，而拉普拉斯算子是作用在上，所以交换拉普拉斯算子与积分的运算顺序不影响结果，交换两者运算顺序有：（1-4）根据矢量恒等式：方程1-4可以写为：（1-5）令：（1-6-1）（1-6-2）令：（1-7-1）（1-7-2）则方程1-5可以重新写为：（1-8）在方程1-8中，矢量场是标量的负梯度为无旋场，矢量场是矢量的旋度为无散场，这就将矢量场表示为了一个无旋场与一个无散场的和。
下面对和做进一步处理在方程1-6-1中，由于求散度运算“”作用于变量，积分运算中积分变量是，所以交换两运算的顺序不影响结果交换运算顺序得：（1-9）根据矢量恒等式：（1-10）得：（1-11）考虑到求散度运算“”只作用于变量，而是关于的函数，所以对求散度的结果为零方程1-11右端只剩下一项：，代入方程1-9得：（1-12）考虑到等式：（1-13）其中“”作用于变量的梯度运算等式1-13的证明见附录1.2方程1-12可以重新表示成：（1-14）利用矢量恒等式：（1-15）可得：（1-16）将方程1-16代入方程1-14得：（1-17）对上式右端第二项使用高斯定理：（1-18）代入1-17有：（1-19） 在式1-6-2中，由于求旋度运算“”作用于变量，积分运算中积分变量是，所以交换两运算的顺序不影响结果交换运算顺序得：(1-20)根据矢量恒等式：（1-21）可得到：（1-22）考虑到求旋度运算“”只作用于变量，而是关于的函数，所以对求旋度的结果为零方程1-22右端只剩下一项：，代入方程1-20得：（1-23）再次使用等式1-13，上式可以写为：（1-24）利用矢量恒等式：（1-25）得：（1-26）带入1-24得：（1-27）利用恒等式：（1-28）方程1-27右端的第二项可以写成：（1-29）带入1-27得：（1-30）综上，亥姆霍兹定理可以描述为：在由闭合面所包围的体积中的任一矢量场可以分为用一标量函数的梯度表示的无旋场和用另一矢量函数的旋度表示的无散场两部分，即（1-31）而式中的标量函数和矢量函数分别与体积中矢量场的散度源和旋度源，以及闭合面上矢量场的法向分量和切向分量有关，即（1-32a）（1-32b）上式中闭合面的法线的正方向指向闭合面外。
证毕 附录11.1 证明等式 证明：设直角坐标空间中任意两点、，坐标分别为、，或者记为、，点指向点的矢量记为则点到的距离记为（1.1-1）对求梯度“”：（1.1-2）当时，由的表达式1.1-1可得：（1.1-3a）(1.1-3b)(1.1-3c)带入1.1-2得：(1.1-4)对标量函数求梯度：（1.1-5）将1.1-4带入上式得：（1.1-6）对矢量函数求散度：（1.1-7）其中：（1.1-8）（1.1-9）将1.1-4带入方程1.1-9得：（1.1-10）将1.1-8和1.1-10带入1.1-7得：（1.1-11）在体积上对进行体积分，若积分体积中不包含点则在积分体积中恒成立，则根据1.1-11有被积函数恒等于零，积分结果自然为零如果积分体积中包含点，此时可以选取以点为球心半径为的球面将原积分空间划分为球外和球内两个积分空间在球外的空间中显然已不含点，所以积分结果为零在球内积分时，利用高斯定理有：（1.1-12）其中，是以点为球心半径为的球，是球面将1.1-6带入上式得：（1.1-13）由于位于圆心，位于球面上，所以到的距离恒等于，并且矢量的方向与球面法线方向相同，因此有（1.1-14）所以此情况下在体积上对进行体积分的结果为：（1.1-15）综上，在体积上对进行体积分的结果可以表示为：（1.1-16）上式也可以表示成：（1.1-17）而三维函数的积分性质为：（1.1-18）比较1.1-17和1.1-18两式，可以得出，命题得证。
证毕1.2证明等式：证明： 因为：（1.2-1）对求梯“”度有：（1.2-2）当时，由的表达式1.2-1可得：（1.2-3a）(1.2-3b)(1.2-3c)带入1.2-2得：(1.2-4)对标量函数求梯度“”：（1.2-5）将1.2-4带入上式得：（1.2-6）以上的求梯度运算“”是作用在的，若将运算作用在上则有：（1.2-7）当时，由的表达式1.2-1可得：(1.2-8a)(1.2-8b)(1.2-8c)带入1.2-7得：（1.2-9）对标量函数求梯度“”：（1.2-10）将1.2-9带入上式：（1.2-11）比较1.2-6和1.2-11有（1.2-12）即有： 2、 试证明唯一性定理这里主要证明：（一）矢量场唯一性定理；（二）电磁场唯一性定理一） 矢量场唯一性定理这里所考虑的矢量场是不随时间变化的静态场矢量场唯一性定理指出：在任一区域中，若矢量场的散度、旋度以及边界上场量的切向分量或法向分量给定后，则该区域中只可能存在唯一的矢量场 分析：为证明唯一性，首先假设存在两个满足条件的矢量场，接着利用假设，若能够证明这两个矢量场相等则说明唯一性成立证明： 假设存在矢量场及均满足给定条件：二者在区域中具有相同的散度和旋度即：，，在包围的边界上具有相同的法向量或者切向量即：或。
下证令为差场，则在区域中矢量场的差的散度和旋度分别为：（2-1a）（2-1b）根据所假设的条件：两矢量场在区域中具有相同的散度和旋度，则有：(2-2a)(2-2b)因为无旋的场可以表示为标量场的梯度，所以根据2-2b可以令（2-3）其中是任意标量将2-3带入2-2a得：（2-4）根据第一标量Green定理：（2-5）式中的方向为封闭面的正法线方向，标量、为任意标量，若令两个标量相同都为，则方程可写为：（2-6）将2-4带入上式得：（2-7）因为是要往证矢量场和相等即两者场差为零，而由2-3可知证明为零可以转化为证明为零 在假设的条件中还给出了边界上的条件，分为两种情况：给定边界上场量的法向分量或切向分量1）给定边界上场量的法向分量，则有，即根据2-3得（2-8）又由于标量场沿法向的方向导数等于它的梯度在法向上的分量，所以有：（2-9）上式表示，在边界上恒等于零，所以在上的面积分结果为零，带入2-7得：（2-10）考虑到是一个非负函数，所以在上对它进行积分所得结果为零的原因只可能是被积函数恒等于零，进而有根据2-3有：（2-11）所以得到2）给定边界上场量的切向分量，则有，即根据2-3得（2-12）又由于标量场沿切向的方向导数等于它的梯度在切向上的分量，有（2-13）上式说明，在边界上标量沿的切线方向没有变化，即是标量场的等值面，因此方程2-7右端积分号中的可以提出，即（2-14）由于，则方程2-14可以写为（2-15）对使用高斯定理得（2-16）由2-4得，带入上式得（2-17）将2-17带入2-15得（2-18）这样依据情况（1）中同样的推导可以得到。
综上，假设中的两个矢量场、实际是相等的，即在区域及边界上满足条件的矢量场是唯一的矢量场唯一性定理证毕 （二）电磁场唯一性定理 静电荷产生的静电场、恒定电流产生的静磁场都是不随时间变化的静态矢量场，满足上述的矢量场唯一性定理对于随时间和空间都变化的时变电磁场也存在类似的唯一性定理 时变电磁场唯一性定理表明，在闭合面包围的区域中，当时刻的电场强度及磁场强度的初始值给定时，又在的时间内，边界面上的电场强度的切向分量或者磁场强度的切向分量给定时，则在的任何时刻，体积中任一点的电磁场由Maxwell方程唯一决定分析：微分方程是物理规律的数学表达式，因此对电磁场唯一性的证明即是对表示电磁场规律的微分方程的确定性的证明由于微分方程的解可以是一系列满足方程的通解，所以光有微分方程还不足以准确的描述某个特定的物理现象为准确地描述一个特定的物理现象还需要在相应的微分方程上加上特定的条件，通常包括初始状态和边界条件综上，证明电磁场唯一性即是证明满足初始状态和边界条件的Maxwell方程的确定性下面综合微分方程和方程所满足的条件两个方面来证明定理证明：在区域中时变电磁场满足Maxwell方程：(2-19a)(2-19b)(2-19c)(2-19d)由Maxwell方程可以得到时变电磁场的能量定理(2-19e)设有两组解，及，均满足Maxwell方程及能量定理，由于Maxwell方程及能量定理都是线性的，因此差场及也满足Maxwell方程以及能量定理。
所以有2-20由于场差矢量和可以分解为两个互相正交的方向上的分量之和（选取面的切向和方向两个正交的方向）2-20a2-20b其中、为场差的切向分量，、为场差的法向分量所以2-21当边界上的电场强度切向分量或者磁场强度的切向分量给定时，边界上的差场切向分量或，所以上式中第一项为零此外，，所以上式只剩下中间两项带入2-20中的积分，有（2-22）由于矢积和的方向一定垂直于法向n方向所以上式积分结果必为零2-20可重新写为2-23由于上式右端被积函数只可能大于或者等于零，即（2-24）所以（2-25）上式积分值对时间求导结果非正表示。