03 第三节 逆矩阵

第三节 逆矩阵内容分布图示★ 引例 ★ 逆矩阵的定义★ 例 1 ★ 例２ ★ 例３★ 伴随矩阵 ★ 例 4★ 逆矩阵与伴随矩阵的关系★ 例 5 ★ 例 6 ★ 例 7 ★ 例 8★ 逆矩阵的运算性质★ 矩阵方程★ 例 9 ★ 例 10 ★ 例 11 ★ 例 12★ 例 13 ★ 例 14 ★ 例 15★ *矩阵多项式及其运算★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题 2-3★ 返回内容要点：一、逆矩阵的概念在数的运算中, 对于数 总存在唯一一个数 ,使得,0a1a.1数的逆在解方程中起着重要作用，例如，解一元线性方程bx当 时，其解为0aa1对一个矩阵 ，是否也存在类似的运算？在回答这个问题之前，我们先引入可逆矩阵A与逆矩阵的概念.定义 1 对于 阶矩阵 ,如果存在一个 阶矩阵 ,使得nnB,EBA则称矩阵 为可逆矩阵,而矩阵 称为 的逆矩阵.命题 若矩阵 是可逆的, 则 的逆矩阵是唯一的.A定义 2 如果 阶矩阵 的行列式 ,则称 为非奇导的,否则称为奇异的.n0|二、伴随矩阵及其与逆矩阵的关系定义 3 行列式 的各个元素的代数余子式 所构成的矩阵|AijA.nnnAA  212121称为矩阵 的伴随矩阵.A定理 1 阶矩阵 可逆的充分必要条件是其行列式 . 且当 可逆时, 有n 0|A,|1*A其中 为 的伴随矩阵.*A由定理证明得伴随矩阵的一个基本性质 .|*E推论 若 (或 ), 则 .EBA1AB三、逆矩阵的运算性质(1) 若矩阵 可逆, 则 也可逆, 且1;)(1(2) 若矩阵 可逆,数 则 ;A,0kAk(3) 两个同阶矩阵可逆矩阵 , 的乘积是可逆矩阵, 且B;)(11(4) 若矩阵 可逆, 则 也可逆, 且有 AT ;)()(TTA(5) 若矩阵 可逆, 则 .1||A四、矩阵方程对标准矩阵方程 )3(,21,CAXB利用矩阵乘法的运算规律和逆矩阵的运算性质, 通过在方程两边左乘或右乘相应的矩阵的逆矩阵, 可求出其解分别为 )3(,21,11CBAX而其它形式的矩阵方程, 则可通过矩阵的有关运算性质转化为标准矩阵方程后进行求解.五、矩阵多项式及其运算设 为 的 次多项式, 为 阶矩阵, 记mnxaax10)( An,)(10maEA称为矩阵 的 次多项式.)(A因为矩阵 和 都是可交换的,所以矩阵 的两个多项式 和 总是可交换lk,EA)(Af的, 即总有 ),()(ff从而 的几个多项式可以像数 的多项式一样相乘或分解因式. 例如Ax.3)( ,2332AEA(1) 如果 则 从而,1PA,1Pk.)()(1 110 PaaEmm(2) 如果 为对角阵, 则,(21ndiag),,(21knkkdiag从而maE10)(  knkmnaa  21210.)()(21n例题选讲：逆矩阵的概念例 1 设 求 A 的逆矩阵.,012A例 2 证明列矩阵 A 无逆矩阵: .01例 3 (讲义例 1) 如果 其中 . 试验证,021naa   ),21(0nii./10/12 naA  伴随矩阵及其与逆矩阵的关系例 4 (讲义例 2) 设矩阵 求矩阵 的伴随矩阵 .,52301AA*例 5 设 均为 n 阶矩阵, 且满足 则下式中哪些必定成立, 理由是什么?CBA, .EBC.)5(;)4( ;)(;21EEA例 6 (讲义例 3) 求例 4 中矩阵 的逆矩阵 .1例 7 求 的逆阵.1032A例 8 (讲义例 4) 已知 试用伴随矩阵法求 .,504320A1A矩阵方程例 9 设有线性方程组:(1).2122 121nnnbxaxa  假定这个方程组的系数矩阵为 A, 则方程组可改写为(2)其中 .,2121nnbx当 时, 存在. 用 左乘(2)式得0|A11AbAx11)(即 .例 10 (讲义例 5) 设 是同阶矩阵, 且 A 可逆, 下列结论如果正确 , 试证明之, 如CBA果不正确, 试举反例说明之.(1) 若 则,;(2) 若 则,CBA.例 11 (讲义例 6) 设 求矩阵 X 使满足,1302,5,3412CB .CAB例 12 设矩阵 满足 其中 为 的伴随矩阵, BA, ,82*EA,12A*为单位矩阵, 求矩阵E.例 13 设 求,,201,4PAP.n例 14 (讲义例 7) 设方阵 A 满足方程 证明 A 为可逆矩阵, 并求,2OcEba( 为常数, ).1Acba0例 15 设三阶矩阵 A, B 满足关系: 且,61BA,7/1042/求 B.课堂练习1.求方阵 的逆矩阵.3412A2.设 是同阶矩阵, 且 A 可逆, 下列结论如果正确, 试证明之, 如果不正确, 试举CB反例说明之.(1) 若 则,OA;(2) 若 则,BC.3. 求解矩阵方程 .412351X。