金融计量学张成思,,第4章 平稳金融时间序列: ARMA模型4.1 移动平均过程4.2 自回归移动平均过程4.3 相关函数4.4 样本自相关与部分自相关函数4.5 自相关性检验4.6 ARMA模型的实证分析及应用4.7 实例应用：中国CPI通胀率的AR模型,,4.1 移动平均过程4.1.1 MA(1) 模型,图-4.1 模拟生成的MA(1)序列,,均值,,方差,,,自协方差,,,,自相关函数,,如果 换成它的倒数形式 ，表达式 是保持不变的 所以，对于 取介于-0.5和0.5之间的实数，可以产生完全相同的自相关函数图图4-2 MA（1）过程的 理论自相关函数图,,,,,,,,,可逆性(Invertibility),,,,,,对 进行整理,不难看出其是一种无穷AR过程,或写成 , 即: 以上推导过程说明了一个MA(1)过程的可逆条件，即当 时，MA(1)过程可逆在这种情况下， MA(1)过程可以“逆”过来写成 的形式。
4.1.2 MA(2) 模型,,,,,,图4-3 MA(2)过程模拟 生成的序列,4-4 MA(2)过程的理论 自相关函数图,,,MA(2)过程的可逆 与MA(1)过程对应的概念类似，MA(2)过程的可逆性是指将MA(2)过程转化写成 的特性 MA(2)过程可逆，要求逆特征方程 的根要全部落在单位圆内4.1.3 MA（q）模型 q 阶移动平均过程:,,,,,,MA(q)过程的可逆条件: 逆特征方程 的所有根都落在单位圆外4.2 自回归移动平均过程4.2.1 ARMA（p,q）过程的基本定义,,其中：滞后算子多项式满足,和,其中,滞后算子多项式满足和 4.2.2 ARMA（p ,q）过程的平稳性与可逆性 从MA过程的特性知道，MA过程在任何条件下都是平稳过程，所以，对于ARMA过程的平稳性要求，就完全表现在对AR部分的要求上平稳性 对于任意一个ARMA过程 其平稳性要求是，等式 的根都要落在单位圆内如果其中一个或多个根落于单位圆上，则此时的ARMA(p,q)过程称为自回归单整移动平均过程，记做ARIMA(p,d,q) 。
可逆性 ARMA（p,q）过程的可逆条件是 都要落在单位圆外，与纯MA（q）过程的可逆条件完全相同4.2.3 ARMA（p,q）过程的均值、方差和自协方差,,,,,,,,,4.2.4 ARMA（p,q）过程的自相关函数,,,图4-5 ARMA（1，1）的 理论自相关函数图,,,4.2.5 AR与MA模型的相互转化 如果平稳性和可逆性都满足，那么AR、MA和ARMA之间可以相互转化ARMA转化为MA,,,ARMA转化为AR,,利用滞后算子的特性，可以进一步写成更为直观的形式，即：,其中：,，并且滞后算子,其中： ，并且滞后算子 一般来说，将ARMA模型转化成MA模型的目的，是可以清楚地考查以往的随机冲击因素 当前 的影响效果所以在实证研究中，MA模型或者MA的表达形式经常被用来分析随机扰动因素对代表特定含义的金融或经济变量的影响情况典型的例子就是我们在第2章介绍的脉冲相应函数另一方面，将ARMA模型转化成AR模型的形式，经常可以用来刻画某些金融时间序列变量的动态路径。
4.3 部分自相关函数,部分自相关函数是指 与 之间，在剔除了这两期通过中间的 形成的线性依赖关系后，而存在的相关性对于一个AR(1)模型，因为如果不考虑 在 与 之间的“桥梁”和“纽带”作用，剔除了它的中间影响，那么PACF在第2个滞后期就应该是0图4-6 AR（1）模型的 理论PACF,,,,,,,,,在实际中，还有一种估计PACF的方法,,,PACF可以用来区分AR与MA过程，因为对于一个AR(p)模型，其PACF应该在p个滞后期之后陡然降为0，而对于MA(q)模型来说，由于它可以转化为 的形式，所以其对应的PACF应该呈现出逐渐衰减、向0趋近的态势无论对于ACF还是PACF，如果图示出现在某一期陡然减小为0（并且之后也为0）的现象，通常可以形象地描述为ACF或PACF“在某期后出现截尾特征”相反，如果图示出现逐渐衰减的态势，则可以描述为“拖尾特征”图4-7 AR与MA模型的 PACF比较,,表4-1,AR与MA模型的ACF与PACF特征比较,,4.4 样本自相关与部分自相关函数4.4.1样本自相关函数（SACF）,,Ljung 和Box (1978) Q-统计量,,,4.4.2 样本部分自相关函数(SPACF) 在EViews软件中，样本部分自相关函数的求解过程通过下面的步骤实现： 1)利用样本数据和SACF的模型求出,,2)利用模型进行循环计算获得SPACF在其它各滞后期的值，即,4.4.3 实例演示,,,,,4.5 自相关性检验 4.5.1 Breusch-Godfrey LM 序列相关性检验 基本思路: 将原始回归模型写成一般形式: 其中： 表示包括常数项在内的一组解释变量。
下面，就可以写出 Breusch-Godfrey LM 检验利用的辅助回归等式，即：,,Breusch-GodfreyLM 检验的原假设是，待检验的序列不存在最多至m期的序列相关性，即： 而备择假设是：,,Breusch-Godfrey LM检验的统计量等于有效样本大小乘以回归得到的拟合优度（goodness of fit）,即 LM检验统计量 在原假设条件下，Breusch-Godfrey LM检验的统计量服从自由度为m的卡方分布( )荷兰计量经济学家Kiviet(1986): Breusch-Godfrey LM检验过程中，最好使用与原假设合备择建设相对应的F-统计量，即： 其中： 和 分别表示在有约束条件下和无约束条件下回归等式的残差平方和，而k表示辅助回归等式中解释变量的总共个数4.5.2 Durbin Watson 序列相关性检验 D-W检验的统计量定义为： 该检验的原假设为待检验的序列不存在一阶序列相关性，备择假设是存在一阶自相关性注意，该检验只局限在对一阶序列相关性的检验若将统计量中的分子项展开，可得： 将上式代入到统计量中，同时注意到： 那么，可以得到D-W检验统计量的另外一个近似表达式，即：,,由 的数量关系可以得到：若不存在序列相关性，即 接近于0，那么D-W统计量应该非常接近于2，若序列相关性非常强，即 接近于1或者-1，则D-W统计量应该非常接近于0或者4。
在现实中，通过D-W统计量快速判断是否存在一阶自相关性的方法之一就是看D-W统计量与2的比较D-W检验存在至少三个方面的弱点： 1.D-W检验只能检验一阶自相关性，不能用来检验高于一阶的情况 2.D-W检验要求原始回归方程中一定不能含有被解释变量的滞后项 3.D-W检验存在无法判定的检验区域即在某个实数域内，如果检验统计量落在了这个域内，则D-W检验无法判断是否拒绝原假设4.6 ARMA模型的实证分析与应用4.6.1 ARMA模型的滞后期设立 使用ARMA模型分析实际问题，首先需要处理的问题就是模型中的滞后期数如何设立一个“最优”的滞后期数？对这个问题的回答，可以归结到著名的Box-Jenkins模型选择原则，基本思想是在确立滞后期时，应该兼顾模型的简约度和拟合程度一般有两种常见的方法可供选择滞后期使用 第一种方法称为“向下检验”法向下检验”法的基本内容是，从一个最大滞后期开始检验最后一个滞后项的系数是否显著，如果不显著，则去掉该滞后项，依此类推进行下去直至最后一个滞后项系数显著为止以AR模型为例，首先可以根据具体问题设定一个最大的滞后期数，如 ，然后估计AR( )模型，即： “向下检验”法首先进行以下检验： 若拒绝原假设，则最优滞后阶数为 ，从而确定AR( )为实证估计模型。
相反，如果原假设不能被拒绝，那么开始下一轮估计与检验，即估计： 并检验： 如果原假设被拒绝，那么“向下检验”的步骤到此为止，对应选择的最优滞后期数为（ -1）另一个经常使用的滞后期数选择的方法是所谓的信息准则法，常用的信息准则包括Akaike Information Criterion (AIC) 和Schwartz Information Criterion (SIC)，SIC有时也写成BIC假定分析的模型是类似 样的AR模型,对应的有效样本大小为 ，那么AIC和SIC的定义如下：,,4.6.2 ARMA模型的回归估计 假设我们估计下面的AR模型： 假设模型不存在序列相关性，那么可以使用传统的OLS估计，即用当前期的 作为被解释变量，对一个常数项和它本身的p个滞后期进行回归尽管模型可以看作一个传统的回归方程，但是，又存在一个特殊的实践性问题，那就是如何处理初始值 例如，在t=1时，回归方程应该写成：,图4-12 AR模型回归估计中滞后造成的观测值缺失及处理,,,4.7 实例应用:中国CPI通胀率的AR模型 例：考查中国的季度CPI通胀率的动态模型设立与估计。
我们使用公布的月度价格指数（上年同月）的季末月份观测值（减100）作为研究的季度数据，以减少由月度平均数作为季度数据可能带来的序列相关性 首先考虑AR还是MA模型比较适合用来捕捉我国通胀率的动态路径图4-13 中国季度CPI通胀率（％）,1981Q1-2006Q2,,模型是否可能包含滑动平均（MA）项呢？如果通胀率随机时序轨迹的真实数据生成过程含有MA成份，其部分自相关函数应该呈现拖尾态势，而ACF会出现截尾现象从图中看到，通胀率变量的PACF在一定滞后期数后陡然切断到0，而SACF则呈现出拖尾现象，从而表明用AR(p)模型来刻画我国通胀率的时序特性比较合理要利用AR模型获得相对合理可靠的估计，AR模型的滞后期数应该科学有据地选取可以初始设定8期，然后根据AIC标准来确定最优滞后期数（循环减少期数直至AIC达到最小值），从而也符合计量中模型确立的“从一般到特殊”的规则在实践中，依据BIC标准选择的结果也完全一致图4-14中国CPI通胀率的 PACF与SACF,,,根据以上分析，基本的模型设定为： 其中： 代表通胀率， 是截矩项， 是序列不相关的随机扰动误差项表4-2 中国CPI通胀率 AR(5)模型的估计结果,图4-5 AR(5)模型回归的 残差序列,,图4-5 AR(5)模型回归的 残差序列的自相关图,,。