矩阵的转置、乘法（初等变换）、逆1 内容提要•矩阵的下列运算的性质与应用•乘法•转置•初等变换•逆2 定义定义 由定义，一个 由定义，一个１１×ｓｓ行矩阵与一个行矩阵与一个ｓｓ×１１ 列矩阵的乘积是一个一阶方阵，也就是列矩阵的乘积是一个一阶方阵，也就是一个数一个数：：乘法3 定义５中矩阵Ｃ定义５中矩阵Ｃ(=AB)的元素的元素cij是矩阵是矩阵A 的的 第第i 行行元素与矩阵元素与矩阵B的的第第j 列列对应元素乘积之和对应元素乘积之和. 注意注意 只有当第一个矩阵只有当第一个矩阵(左左矩阵矩阵)的的列列数等数等 于第二个矩阵于第二个矩阵(右右矩阵矩阵)的的行行数时，数时，两个矩阵才两个矩阵才 能相乘能相乘.4 矩阵的乘法满足下述运算规律矩阵的乘法满足下述运算规律5 矩阵的幂矩阵的幂 A 是一个是一个n 阶矩阵阶矩阵, k 是一个正整数是一个正整数,规定规定矩阵的幂满足规律矩阵的幂满足规律其中其中 k , l 为正整数为正整数.对于两个对于两个 n 阶矩阵阶矩阵 A与与 B，一般说，一般说例例 86 矩阵的转置定义 把矩阵A的行列（按原顺序互换）互换所得到的矩阵称为原矩阵的转置矩阵，以AT表示。
即 A＝(aij)m×n，AT＝(aji)n×m 7 矩阵的转置满足下述运算规律矩阵的转置满足下述运算规律(ABC)T＝CTBTAT对于多个矩阵相乘，有8 证明：设记由矩阵的乘法定义，有而BT的第i行为AT的第j列为因此所以即D=CT，亦即BTAT=(AB)T.9 方阵的行列式运算满足下述规律方阵的行列式运算满足下述规律 : 定义定义 由由 n 阶矩阵阶矩阵 A 的元素（按原来的位置）的元素（按原来的位置）称为方阵称为方阵 A 的行列式的行列式,构成的行列式，构成的行列式，方阵的行列式方阵的行列式10 那么那么于是于是11 2. 设设 A 为为 3 阶矩阵阶矩阵, 那么那么于是于是12 初等矩阵初等矩阵 & 初等变换初等变换 Recall 练习三种初等变换三种初等变换13 1 设A=计算并总结规律１)A(２)A14 AAAA(3)(5)(4)(6)15 16 AA17 AA18 AA19 定义定义 由单位由单位 矩阵经过一次初等变换得到矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵的方阵称为初等矩阵. .三种初等变换对应着三种初等方阵三种初等变换对应着三种初等方阵.初等矩阵的概念初等矩阵的概念20 第i列第j列21 22 i列列j列列23 第第i 列列24 25 26 27 28 Inverse Matrix29 按照矩阵的乘法，线性方程组 按照矩阵的乘法，线性方程组可表示为矩阵的乘积可表示为矩阵的乘积 Ax = b 的形式，其中 的形式，其中 如果 m=n, 可考虑 x=b/A30 一、概念的引入在数的运算中，在数的运算中，当数当数 时，时，有有其中其中 为为 的倒数，的倒数， （或称（或称 的逆）；的逆）； 在矩阵的运算中，在矩阵的运算中， 单位阵单位阵 相当于数的乘法运算中相当于数的乘法运算中 的的1。
因此在矩阵的运算中可以相应的引入逆矩因此在矩阵的运算中可以相应的引入逆矩阵的概念阵的概念31 二、逆矩阵的概念和性质 定义定义 对于对于 阶矩阵阶矩阵 ，如果存在，如果存在 阶矩阵阶矩阵 则说矩阵则说矩阵A是是可逆可逆的，并把矩阵的，并把矩阵B称为称为A的一个的一个逆矩阵逆矩阵.使得使得例例 设设32 说明说明 若若 是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则 的逆矩阵是的逆矩阵是唯一唯一的的.事实上若设事实上若设 和和 是是 的逆矩阵，的逆矩阵，则有则有可得可得所以所以 的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的A的逆记为的逆记为 ，即，即 AA-1=A-1A=E33 例例 设设解解设设 是是 的逆矩阵的逆矩阵,则则 利用待定系数法利用待定系数法34 又因为又因为所以所以35 矩阵可逆的充要条件与逆矩阵的求法矩阵可逆的充要条件与逆矩阵的求法36 37 先就先就 3 阶矩阵给出证明阶矩阵给出证明.证证 设设于是有于是有因此因此同理可证，同理可证，= 0= 0= 038 证证 设设 A = ( a i j )n×n , 也就是也就是于是有于是有因此因此同理可证同理可证，39 定理定理1 1 矩阵矩阵 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 ，且，且 证明证明若若 可逆，可逆，40 41 按逆矩阵的定义得按逆矩阵的定义得证毕证毕奇异矩阵与非奇异矩阵的定义奇异矩阵与非奇异矩阵的定义42 推论推论证明证明逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质43 证明证明44 证明证明45 46 例例1 1 求方阵求方阵 的逆矩阵的逆矩阵. .解解三、逆矩阵的求法47 同理可得同理可得故故48 解解 例例2 249 50 另一种常用的求矩阵逆的方法•伴随矩阵的方法理论上完善，但计算量大•下面用矩阵的初等（行）变换来求•先讲方法，后介绍其中的道理（也可课后思考）51 逆矩阵的求法• 若矩阵A可逆，则矩阵A总可以经过一系列初等行变换化为单位矩阵。
• 如果把同样的变换施加在单位矩阵上，得到的就是A的逆矩阵 • 因此，我们通常把矩阵A与单位矩阵I并列，构成一个n×2n矩阵，记作[A E]，再经过初等行变换化为[E A-1]，这样就得到了A-1 52 解解例１例１53 54 利用矩阵求解方程55 按照矩阵的乘法，线性方程组 按照矩阵的乘法，线性方程组可表示为矩阵的乘积可表示为矩阵的乘积 Ax = b 的形式，其中 的形式，其中 如果 m=n, 可考虑 x=b/A 56 例: 求解线性方程组 57 58 反 思 59 理论分析60 定理定理1 1 设设 是一个是一个 矩阵，对矩阵，对 施行一施行一次初等行变换，相当于在次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于施行一次初等列变换，相当于在在 的右边乘以相应的的右边乘以相应的 阶初等矩阵阶初等矩阵. .初等变换初等变换初等矩阵初等矩阵初等逆变换初等逆变换初等逆矩阵初等逆矩阵二、初等矩阵的应用61 62 定理定理2 2 设设A A为可逆方阵，则存在有限个初等为可逆方阵，则存在有限个初等方阵方阵证证即即63 利用初等变换求逆阵的方法：利用初等变换求逆阵的方法：64 即即初等行变换初等行变换65 例２例２解解66 67 68 列变换列变换列变换列变换69 解解例例3 370 71 例1. ┌ 3 -1 ┐ 设A＝│ │，求A-1 └ 2 -1 ┘ 解： ┌ 3 -1 1 0 ┐①+(-1)×② ┌ 1 0 1 -1 ┐②+(-2)×① │ │ ─→ │ │ ─→ └ 2 -1 0 1 ┘ └ 2 -1 0 1 ┘ ┌ 1 0 1 -1 ┐②×(-1)┌ 1 0 1 -1 ┐ │ │─→│ │─→ └ 0 -1 -2 3 ┘ └ 0 1 2 -3 ┘ 1 -1 则A-1＝ 2 -3 这表明A不是满秩矩阵，则A不可逆，A-1不存在，因为[AI]的左边不能化为单位矩阵。
所以，如果在阶梯化的过程中出现了0行，则表示矩阵不可逆72 二、解矩阵方程 解矩阵方程AX＝B，即求矩阵X满足此等式 如果矩阵A可逆,把等式两边左乘A-1，即得A-1AX＝A-1B，于是X＝A-1B 因此，先求出A-1，再做矩阵的乘法即可例4. 解矩阵方程AX＝B，其中 -2 1 0 5 -1 A＝ 1 -2 1 ，B＝ -2 3 0 1 -2 1 473 解： ┌ -2 1 0 1 0 0 ┐ │ 1 -2 1 0 1 0 │─→ └ 0 1 -2 0 0 1 ┘ ┌ 1 -2 1 0 1 0 ┐ │ 0 1 -2 0 0 1 │─→ └ 0 0 -4 1 2 3 ┘ ┌ 1 0 0 -3/4 -1/2 -1/4 ┐ │ 0 1 0 -1/2 -1 -1/2 │ └ 0 0 1 -1/4 -1/2 -3/4 ┘ 3 2 1 A-1＝-1/4 2 4 2 1 2 3 74 3 2 1 5 -1 ∴ X＝A-1B＝-1/4 2 4 2 -2 3 1 2 3 1 4 12 7＝－1/4 4 18 4 1775 76 练习 2 个•Page 174. 5 请用三种方法1.先求系数矩阵的逆矩阵, 用伴随矩阵的方法求逆矩阵2.也先求系数矩阵的逆矩阵, 但用矩阵的初等变换的方法求逆矩阵3.用Gauss消元法，请用矩阵的方式表示肖元过程77 2 求下列初等矩阵的逆矩阵(１)(２)(3)(4)78 。