齐次方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三节一、齐次方程一、齐次方程*二、可化为齐次方程二、可化为齐次方程 第七章 一、齐次方程一、齐次方程形如的方程叫做齐次方程齐次方程 .令代入原方程得两边积分, 得积分后再用代替 u, 便得原方程的通解.解法:分离变量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 解微分方程解解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)( C 为任意常数 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 解微分方程解解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在(C 为任意常数)求解过程中丢失了. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 可得 OMA = OAM = 例例3. 在制造探照灯反射镜面时,解解: 设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线 绕 x 轴旋转而成 .过曲线上任意点 M (x, y) 作切线 M T,由光的反射定律:入射角 = 反射角取x 轴平行于光线反射方向,从而 AO = OM要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状. 而 AO 于是得微分方程 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用曲线的对称性, 不妨设 y > 0,积分得故有得 (抛物线)故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为(齐次方程) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 顶到底的距离为 h ,说明说明:则将这时旋转曲面方程为若已知反射镜面的底面直径为 d ,代入通解表达式得机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( h, k 为待 *二、可化为齐次方程的方程二、可化为齐次方程的方程作变换原方程化为 令 , 解出 h , k (齐次方程)定常数), 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求出其解后, 即得原方 程的解.原方程可化为 令(可分离变量方程)注注: 上述方法可适用于下述更一般的方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求解解解:令得再令 Y＝X u , 得令积分得代回原变量, 得原方程的通解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 得 C = 1 , 故所求特解为思考思考: 若方程改为 如何求解? 提示提示:作业作业 P276 1(1), (4), (6); 2 (2), (3); 3; 4(4)第四节 目录 上页 下页 返回 结束 。