一般就不等于零思考思考：积分等于多少：积分等于多少?§1 留数定理留数定理 结论：结论：从上面的讨论可知从上面的讨论可知, 积分的计算可转化为求被积积分的计算可转化为求被积函数的罗朗展开式中函数的罗朗展开式中z- z0的负一次幂项的系数的负一次幂项的系数c- -1或[思路一思路一] 将将f (z)在此邻域内展开为罗朗级数在此邻域内展开为罗朗级数 f (z)=...+c-n(z-z0)-n+...+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...后后,两端沿两端沿C逐项积分逐项积分, 右端各项积分除留下右端各项积分除留下 c-1 (z-z0)-1的的一项等于一项等于2 ic-1外，外， 其余各项积分都等于零，所以其余各项积分都等于零，所以若令n=-1, 得[思路二思路二] 由由罗朗级数系数罗朗级数系数公式公式 为函数为函数f (z)在在z0的留数的留数(Residue)，记作记作 Res[f (z),z0] 一、一、 留数的定义留数的定义 定义定义 若若f (z)在去心邻域在去心邻域 内解析，内解析，z0是是f (z)的的孤立奇点，孤立奇点，C是是 内包围内包围z0的的任意一条正向简单闭曲线，定义任意一条正向简单闭曲线，定义积分积分即即 留数定理： 如果函数f (z)在一条正向简单闭曲线C上连续，在C的内部除有限个孤立奇点z1,z2,...,zn外处处解析。
则二、留数定理二、留数定理[证] 把在C内的孤立奇点zk(k=1,2,...,n)用互不包含的正向简单闭曲线Ck围绕起来, 则根据多连通域的柯西积分定理有根据留数的定义，有 讨论问题：讨论问题：柯西积分定理、柯西积分公式与留数定理的关系如何？意义：意义：把计算沿路径积分的整体问题化为计算各孤立奇点留数的局部问题 2、求求罗罗朗级数中c-1(z-z0)-1项的系数c-1 三、留数的计算三、留数的计算1、留数只对、留数只对孤立奇点而言才有意义孤立奇点而言才有意义2）如果）如果z0是是f (z)本性奇点本性奇点, 将将f (z)在其在其z0的去心邻域中的去心邻域中展开为罗朗级数，求展开为罗朗级数，求c- -1 ;如果知道奇点的类型如果知道奇点的类型, 对求留数可能更有利对求留数可能更有利 1）如）如z0是是f (z)的可去奇点的可去奇点, 则则Res[f (z), z0]=0;3）如果）如果z0是是f (z)的极点的极点, 则可以利用以下的规则：则可以利用以下的规则： （极点留数的计算规则）规则规则2 如果z0为f (z)的m级极点， 则规则规则1 如果z0为f (z)的一级极点, 则 规规则则3 设 , P(z)及Q(z)在z0都解析, 如果P(z0)0, Q(z0)=0, Q′(z0)0, 则z0为f(z)的一级极点, 且注意规则注意规则3的应用条件的应用条件 123、奇点留数计算公式总结：奇点 z0 的类型m 阶极点本性奇点一阶极点可去奇点普遍公式 例例2: 计算计算z=0是本性奇点是本性奇点例例1: 解解. z=i与z=-i为 的一阶极点,故从而 例3.计算 例例4. 计算 解解 以z=0为其三阶极点, 故由留数定理得 例例5.不讲不讲 计算 解解 在单位圆周|z|=1内, 以z=0为其孤立奇点,我们应用罗朗展式求 为此注意 由此即得故后面那个因式在z=0解析, 且显然可以展为常数项为1的幂级数 因此在z=0的无心领域内有 [解] 由于有两个一级极点+1,-1, 而这两个极点都在圆周|z|=2内, 所以 由规则1, 得 我们也可以用规则III来求留数：这比用规则这比用规则1要简单些，但要注意应用的条件。
要简单些，但要注意应用的条件 [解] 被积函数有四个一级极点1,i都在圆周|z|=2内, 所以. [解] z=0为被积函数的一级极点, z=1为二级极点, 而 [方法一方法一]、首先应定出极点、首先应定出极点z=0的级数由于的级数由于因此因此z=0是是z- -sin z的三级零点，也就是的三级零点，也就是f (z)的三级极点的三级极点例例9：：计算计算 在在z=0处的留数处的留数. 应用公式得应用公式得由此可见由此可见, 二阶导数的计算过程将十分繁杂二阶导数的计算过程将十分繁杂 如果函数f(z)的极点z0的级数不是m, 它的实际级数要比m低, 这时表达式的系数的系数c- -m，，c- -m+1，，…中可能有一个或几个等于零中可能有一个或几个等于零, 显然显然规则规则2的的公式仍然有效公式仍然有效一般说来一般说来, 在应用在应用规则规则2时时, 为了计算方便不要将为了计算方便不要将m取得比实际的级数高取得比实际的级数高注意：注意：在应用在应用规则规则2时，时，为了计算方便，可以将为了计算方便，可以将m取得取得比实际的级数高。
比实际的级数高 [方法三方法三] 用洛朗展开式求c-1就比较方便，因为所以考虑考虑：多值函数的：多值函数的留数计算留数计算 1. 定义： 设函数f (z)在圆环域R<|z|<内解析，C为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线，则积分称其为f (z)在点的留数，记作这里积分路径的方向是顺时针方向，这个方向很自然地可以看作是围绕无穷远点的正向四、四、无穷远点的无穷远点的留数及计算方法留数及计算方法 将 f (z)在 R<|z|<+∞内的罗朗展式为则即 f (z)在点的留数等于函数f (z)在点的罗朗级数中z-1项的系数c-1的变号注意：注意：有限可去奇点的留数为0，z=∞既便是f (z)的可去奇点，f (z)在z=∞的留数也未必是0，为什么？ 方法1 如果f(z)在 的洛朗展开式为 则有Res[f (z),∞]=-C-12、、无穷远点无穷远点留数留数的的计算方法计算方法方法2 z=∞是f (z)的可去奇点，并且 则f (z)在z=∞的留数 方法3 此结论请同学们课后自行证明 例 设f(z)=z5/(1+z6), 求z=∞的留数解：（方法一）由于f (z)在1<|z|<+内解析，所以z=∞是可去奇点， z=∞的留数为Res[f (z),∞]=-C-1=-1（0）（方法二） z=∞是可去奇点，并且则 Res[f (z),∞] [定理]：如果函数f (z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点，那末f (z)在所有各奇点(包括点)的留数总和必 等于零.[证] 除点外, 设f (z)的有限个奇点为zk(k=1,2,...,n)。
又设C为一条绕原点的并将zk(k=1,2,...,n)包含在它内部的正向简单闭曲线，则根据留数定理与在无穷远点的留数定义，有 §4.2 应用留数理论计算实变函数定积分 (重点的重点)一、需解决的问题许多场合中需要计算实变函数的定积分，而这些定积分利用高等数学中的知识较难求得或无法求得二、解决问题的基本思路把需求解的定积分与复变函数的围道积分联系起来，再利用复变函数的知识以便得到定积分的解33 三、具体解法试求：1.将实变函数的积分路径与复平面上的一段路径C等同起来abxxyzazbCxyCabxzazb34 2.若对应的复变路径C不构成闭合围道，则补上一段路径C’使得C+C’构成一闭合围道abxxyC’zazbCxyCabxC’zazb35 3.利用留数定理求出在C+C’上的积分，再利用其它方法求出在C’上的积分，相减后得到问题的答案36注意：一般来讲在C’上的积分利用约当引理，可证为零 1.形如形如的的积分分 为cos与sin 的有理函数，且在[0，2]上连续 从而，积分化为沿正向单位圆周的积分：令z=eiθ ，那么dz=ieiθdθ, dθ=dz/iz其中zk(k=1,2,…,n)为包含在单位圆周 内的f (z)的孤立奇点。
注意注意：1）f (z)为z的有理函数； 2）R(cos, sin )在[0，2],则f (z)在单位圆周 上无奇点； 3）积分限可以为[- ，] 4）若R(cos, sin )为偶函数，则 例1 计算 的值.解：令 延伸：计算开普勒积分 例例2 计算积分计算积分解解则则 例例3 计算计算解解 令令 极点为极点为 :(在单位圆内在单位圆内)(在单位圆外在单位圆外) 例4 计算 的值.[解] 由于0
特别： 则证证明明 只需证明对>0，当R充分大时，有 即可 因为 例 1 例例2 计算积分计算积分解解 在上半平面有二级极点在上半平面有二级极点一级极点一级极点 例 3 解： 3.形如形如的的积分分(1) Q(z)比P(z)至少高一次 ；(2) R(z)在实轴上没有奇点;(3) >0;其中zk为R(z)在复平面上半平面上半平面的奇点则设z1z2z3yCR-RROx 引理引理2(Jordan2(Jordan引理引理) ) 设f (z)在CR上连续，CR： 如果在CR上 ，则证明：证明：设f (z)在CR上连续， ， 且满足 也可写为不等式, 当 时 的图示yqOpy=sinq1 例 计算 的值.[解] 这里m=2,n=1,m-n=1.R(z)在实轴上无孤立奇点,因而所求的积分是存在的. 在上半平面内有一级极点ai, 例例 计算积分计算积分解解 在上半平面只有二级极点在上半平面只有二级极点又又 §§2 2 留数在计算实积分上的应用( (二）当被积函数在积分路径上存在奇点时，积分如何？例如积分 小圆弧引理：小圆弧引理：设f (z)在Cr上连续，Cr： ，且在Cr上有则 。
证证明明 只需证明对>0，当r充分小时，有 即可 因为 (1) Q(z)比P(z)至少高一次 ；(2) R(z)在实轴上有有限个单极点x1,x2,…，xm(3) >0;其中zk为R(z)在复平面上半平面的奇点则被积函数在积分路径上存在奇点时的积分 例 计算积分 的值.[解] 因为 是偶函数, 所以CrCRyxO-rrR-R 为了使积分路线不通过原点, 取如下图所示的路径. C: 由柯西积分定理, 有 令x=-t, 则有因此, 要算出所求积分的值, 只需求出极限 由大圆弧引理：由小圆弧引理： 作业：作业：P132-134必做：必做：1（（1,3,）；）；2（（3, 4,无无穷远穷远点的点的不做不做）；）；3（（1,2））选选做：；做：；4（（1）；）；5（（1））要求：要求：1、写出必要的、写出必要的计计算步算步骤骤；； 。