拉格朗日插值法 问题的提出 问题的提出 插值问题该多项式的函数曲线要经过该多项式的函数曲线要经过上已知的这上已知的这个点个点同时在其它同时在其它上要估计误差上要估计误差当当时时,求一次多项式求一次多项式, 一次插值 二次插值 拉格朗日插值公式n线性插值（一次插值） 线性插值n插值函数和插值基函数 线性插值n基函数的特点：1001 例子 例子 二次插值多项式 二次插值基本多项式100010001 二次插值基本多项式 拉格朗日型二次插值多项式拉格朗日型二次插值多项式 例子10152011.17611.3010 例2（续） 拉格朗日型拉格朗日型n次插值多项式次插值多项式 插值基函数 插值基函数 n次拉格朗日型插值多项式Pn(x) 例子 拉格朗日插值多项式的截断误差 拉格朗日插值多项式的截断误差 例子 例子 牛顿插值 均差 均差的性质 均差的性质 利用均差表计算均差 n利用均差的递推定义利用均差的递推定义,可以用递推来计算均差可以用递推来计算均差n如下表：如下表：n如要计算四阶均差如要计算四阶均差,应再增加一个节点应再增加一个节点,表中还要增表中还要增加一行xif(xi)一阶均差一阶均差二阶均差二阶均差三阶均差三阶均差x0f(x0)X1f(x1)f[x0, X1]x2f(x2)f[x1, X2]f[x0, X1, X2]x3f(x3)f[x2, X3]f[x1, X2, X3]f[x0, X1, X2 , X3] 例子n例1：已知1347021512计算三阶均差f[1,3,4,7] 例子解：列表计算一阶均差一阶均差二阶均差二阶均差三阶均差三阶均差10321415134712-1-3.5-1.25 牛顿插值公式 牛顿插值公式 例2例2：已知1347021512求满足以上插值条件的牛顿型插值多项式。
例2（解） 例3xkf(xk)一阶均一阶均差差二阶均二阶均差差三阶均三阶均差差四阶均四阶均差差五阶均五阶均差差X-xk0.400.410750.1960.550.57815 1.11600.0460.650.69675 1.18600.2800-0.0540.800.88811 1.27570.35880.1970-0.2040.901.02652 1.38410.43360.21370.0344-0.4541.051.25386 1.51560.52600.23100.03460.0003 拉格朗日插值与牛顿插值的比较 等距牛顿插值公式n插值节点为等距节点：hhh……hx1x0x2x3Xn-1Xn 差分的概念（向前差分） 差分的概念（向后差分） 差分的性质（性质1） 差分的性质（性质1续） 差分的性质（性质2） 差分的性质（性质2续） 等距节点的牛顿插值公式x1x0x2x3X 牛顿插值公式（向前插值公式） 牛顿插值公式 牛顿插值公式（向后插值公式） 例子xiyiΔΔyiΔΔ2 2yiΔΔ3 3yiΔΔ4 4yi12.718281.763411.143960.742100.481461.54.481692.907371.886061.2235627.389064.793433.109622.512.182497.90305320.08554 例子（解） 例子（解） 。