§ 4 Taylor 公式和极值问题( 一) 教学目的：掌握二元函数的高阶偏导数与泰勒公式的定义，掌握二元函数的极值的必要条件与充分条件．( 二) 教学内容：二元函数的高阶偏导数；中值定理与泰勒公式；二元函数的极值的必要条件与充分条件．基本要求：(1) 掌握二元函数的高阶偏导数与泰勒公式的定义，能够根据二元函数的极值的必要条件与充分条件寻找二元函数的极值与最大( 小) 值．(2) 较高要求：掌握混合偏导数与求导次序无关的定理的证明以及二元函数的极值的必要条件充分条件定理的证明．( 三) 教学建议：(1) 布置适量的求二元函数的高阶偏导数和求二元函数的极值与最值的习题．(2) 讨论混合偏导和与求导次序无关的多种定理证明的习题有一定的难度，只对较好学生布置有关习题．————————————————————一． 高阶偏导数 : 1.高阶偏导数的定义、记法：例 9 ,2 yxez求二阶偏导数和23xyz. 例 10 xyarctgz. 求二阶偏导数. 上面两个例子中，关于yx 和,的不同顺序的两个二阶偏导数都相等，，但是这个结论并不对任何函数都成立，例如)0,0(),(,0)0,0(),(, ),(2222yxyx yxyxxy yxf)0,0(),(,0)0,0(),(, )(4(),(2224224yxyx yxyyxxyyxfx)0,0(),(,0)0,0(),(, )(4(),(2224224yxyx yxyyxxxyxfy1lim)0,0(),0(lim)0,0( 00yyyfyff yxxyxy1lim)0,0()0,( lim)0,0( 00xxxfxf f yyyxyx由此可知，),(yxf关于yx 和,的不同顺序的两个二阶混合偏导数与求次序有关。
那么在什么条件下两个二阶混合偏导数与求次序无关呢？定理 177 若),(),(yxfyxfyxxy和都在),(00yx连续，则),(),(0000yxfyxfyxxy约定：今后除特别指出外，都假定相应的混合偏导数连续例 11 ),( yxxfz. 求22xz和 yxz2 . 验证或化简偏微分方程: 例 12 22lnyxz. 证明22xz+ 22yz0. ( Laplace方程 ) 例 13 将方程0 xuy yux变为极坐标形式. 解 xyarctgyxrryrx,.sin,cos22. rxyxxxr22, ryyr, 2ryx, 2rxy. uryrurxxuxrruxu2, urxruryyuyrruyu2; 因此 , uuryxuryrurxyurxrurxyxuy yux2222222. 方程化简为0u. 例5 试确定 a 和b, 利用线性变换byxtayxs,将方程03422222yuyxuxu化为02tsu. 解 tusuxttuxssuxu, tub sua yttuyssuyu. 22xu= xtusu22suxs+ tsu2xt+ stu2xs+ 22tuxt= =22su+2 tsu2 +22tu. yxu2 = ytusu22suys+ tsu2yt+ stu2ys+ 22tuyt= =22sua+)(ba tsu2 +b 22tu. 22yu= ytub sua22 2sua+ab2 tsu2 +2b22tu. 因此 , 2222234 yuyxuxu)341(2aa22su+ ()6442abba tsu2+ )341(2bb22tu. 令03412aa, 1, 31,03412babb或 31,1ba或 ⋯⋯ , 此时方程03422222yuyxuxu化简为02tsu. 二中值定理和泰勒公式 . 定理 17.8 设二元函数f在凸区域D2R上连续 , 在 D的所有内点处可微 . 则对D内任意两点int),(,),(kbhaQbaPD , 存在)10(, 使kkbhafhkbhafbafkbhafx),(),(),(),(. 证令),()(tkbthaft，则)(t是定义在]1,0[上的一元函数，满足一元函数中值定理，⋯对于闭凸区域上的情况: 见 p.134 注意 . 推论若函数f在区域D上存在偏导数 , 且xfyf0, 则f是D上的常值函数 . Taylor公式 : 定理 17.9 (Taylor公式 ) 若函数f在点),(000yxP的某邻域)(0P内有直到1n阶连续偏导数 , 则对)(0P内任一点),(00kyhx, 存在相应的)1,0(, 使ninikyhxf yk xh nyxf yk xh ikyhxf00010000).,( )!1(1),( !1),(例 4 求函数yxyxf),(在点)4,1(的Taylor公式 ( 到二阶为止 ) . 并用它计算.)08.1(96.3三. 极值问题 : 1 极值的必要条件先看两个二元函数的图像一个是椭圆抛物面222),(yxyxf的图像另一个是半球221),(yxyxg的图像x=-1:1/100:1; y=x; [x,y]=meshgrid(x,y); z1=2*x.^2+y.^2; z2=(1-x.^2-y.^2).^(1/2); z3=real(z2); subplot(1,2,1), mesh(x,y,z1) ,hold on subplot(1,2,2) , mesh(x,y,z3) 椭圆抛物面在原点取得极小值0)0,0(f，半球面在原点取得最大值1)0,0(g. 可以看出，在极值点处两个一阶偏导),(,),(0000yxfyxfyx都为零，另外从二元函数极值的定义也不难看出, 若函数),(yxf在点),(00yx取得极值 , 则一元函数),(,),(00yxfyxf也必分别在00,xxyy处取得极值，从而, 在极值点处如果偏导存在 ,两个一阶偏导必为零. 定理 17.10 (极值必要条件) 若函数),(yxf在点),(00yxP存在偏导数 , 且在点),(00yxP取得极值 , 则必有0),(),(0000yxfyxfyx我们也称),(00yxP为稳定点 . 和一元函数极值一样(1) 这个定理只是极值存在的必要条件, 不是充分条件 , 即稳定点不一定都是极值点; (2) 偏导数不存在的点也可能是极值点例 1 函数1),(22yxyxf在原点)0,0(两个偏导0)0,0()0,0(yxff但原点既不是),(yxf的极大点也不是极小点clf, x=-1:1/20:1; y=x; [x,y]=meshgrid(x,y); z=x.^2-y.^2+1; mesh(x,y,z) 2 极值的充分条件 : 代数准备 : 给出二元 ( 实 ) 二次型222),(cybxyaxyxg. 其矩阵为cbba . 1）),(yxg是正定的顺序主子式全0, ),(yxg是半正定的 ,顺序主子式全0; 2）),(yxg是负定的 ,0||)1(1kijka, 其中kija1||为k阶顺序主子式. ),(yxg是半负定的 , 0||)1(1kijka. 3） cbba 0 时, ),(yxg是不定的 . 充分条件的讨论: 设函数),(yxf在点),(000yxP某邻域有二阶连续偏导数 . 由Taylor公式 , 有)()( !21)(),(),(20200000Pf yk xhPf yk xhyxfkyhxf)(0Pfxh+)(0Pfyk + )()()(2)( !21220020kPfhkPfhPfyyxyxx. 令)(0PfAxx, )(0PfBxy, )(0PfCyy, 则当0P为驻点时 , 有)(2 21 ),(),(2220000oCkBhkAhyxfkyhxf. 其中22kh. 可见式),(),(0000yxfkyhxf的符号由二次型222CkBhkAh完全决定 .称该二次型的矩阵为函数),(yxf的Hesse矩阵 . 于是由上述代数准备, 有i) 0,02BACA, 0P为 ( 严格 ) 极小值点 ; ii) 0,02BACA, 0P为 ( 严格 ) 极大值点 ; iii) 02BAC时, 0P不是极值点 ; iv) 02BAC时, 0P可能是极值点 , 也可能不是极值点 . 综上 , 有以下定理 . 定理 17.11 设函数)(Pf在点0P的某邻域内有连续的二阶偏导数 , 0P是驻点 . 则i) 0)(,0)(020PfffPfxyyyxxxx时 , 0P为极小值点 ; ii) 0)(,0)(020PfffPfxyyyxxxx时 , 0P为极大值点 ; iii) 0)(02Pfffxyyyxx时 , 0P不是极值点 ; iv) 0)(02Pfffxyyyxx时 , 0P可能是极值点 , 也可能不是极值点 . 例 2 求函数5126)(23yxxyxf的极值。
f='y^3-x^2+6*x-12*y+5';dfdy=diff(f,'y') dfdx=diff(f,'x') dfdy =3*y^2-12 ， dfdx =-2*x+6 sy=' 3*y^2-12';sx='-2*x+6' ; [z1,z2]=solve(s1,s2) z1 = 3 , 3 ; z2 = 2, -2稳定点有两个（3， 2）和（ 3,-2 ）diff(sx),diff(sx,'y'),diff(sy) ans = -2; 0; 6*y对于稳定点012,12,0,2,)2,3(2BACCBA所以)2,3(不是极值点对于稳定点012,12,0,2,)2,3(2BACCBA， 且0A所以)2,3(是函数的极大点例 3 讨论xyxyxf2),(是否存在极值点例 4 讨论)2)((),(22xyxyyxf在原点是否存在极值解 显然原点是稳定点，且02xyyyxxfff，无法用上面充分条件判定原点是否存在极值，但有函数定义知道222 xyx时，0f其它处0f，因此，该函数不可能在原点存在极值＋ ＋＋＋－－y=2x2＝2 y=x2函数的最值：和一元函数一样最值只可能出现在稳定点、偏导不存在点以及属于区域的界点上，一次比较这些点处的函数值，其中最大者（最小者）为最大值（最小值）。
例 5 求函数),(yxfyxyxyx4102422在域 D = }4,0,0|),({yxyxyx上的最值 . 解令 .0444),(,01042),(yxyxfyxyxfyx解得稳定点为)2,1(. 1)2,1(f. 在边界)40(0yx上 , yyyf42),0(2, 稳定点为1y , 2)1 ,0(f; 在边界)40(0xy上 , xxxf10)0,(2, 没有稳定点 ; 在边界)40(4xxy上 , 16185)4,(2xxxxf, 稳定点为8.1x, 2.0)8.14,8.1(f. 又24)0,4(,16)4,0(,0)0,0(fff. 于是)}0,4(,)4,0(,)0,0(,)2.2,8.1(,)1 ,0(,)2,1(max{),(maxffffffyxf D2.0}24,16,0,2.0,2,1max{. ),(minyxf D24}24,16,0,2.0,2,1min{. 例 6 证明：圆的所有外切三角形中以正三角形面积最小解) 222(2tgtgtgRS⋯⋯A B C 解得唯一稳定点：32最小二乘法问题设通过观测或试验得到一组数据｛ xi, yi ｝，它们大致在一条直线上，希望从这些数据中找出一个经验公式，即确定出一条直线baxy使得与这些测得的数据点偏差平方最小，以用于指导今后的生产。
学了二元函数极值的求法，我们可以把偏差平方最小问题化为二元函数极值问题来解决设所求的直线方程是baxy则数据点),(iiyx与此直线相应点的偏差为iiybaxbae),(，显然，偏差e与ba,有关，是a,的函数这 n 个数据点偏差的平方和为niiiybaxbaE12)(),(于是问题就归结为求二元函数),(baE的最小值0)(20211iniibniiiiaybaxf)yb(axxfy=ax+b 求解这个关于ba ,的二元一次方程组，即得),(b。