第六章 二次型及其标准形1 1. 二次型的定义二次型的定义定义定义 含有个变量含有个变量 的二次齐次函数的二次齐次函数称为二次型称为二次型. (二次齐次多项式二次齐次多项式) 当系数当系数 为复数时，为复数时， 称为复二次型；当系称为复二次型；当系数数 为实数时，为实数时， 称为实二次型称为实二次型. 2 其中其中 为对称阵：为对称阵： . ——二次型的矩阵表示式二次型的矩阵表示式说明说明Ø对称阵与二次型一一对应；对称阵与二次型一一对应；Ø若若 ，，Ø二次型的矩阵二次型的矩阵 满足：满足：⑴⑴ 的对角元的对角元 是是 的系数；的系数；⑵⑵ 的的 元是元是 系数的一半系数的一半. 则对称阵则对称阵 称为称为 二次型二次型 的矩阵的矩阵；二次型；二次型 称为称为对称阵对称阵 的的 二次型；二次型；3. 二次型的矩阵表示式二次型的矩阵表示式 6 例如：例如：二次型二次型的矩阵为的矩阵为于是于是7 二、二次型的标准形二次型研究的主要问题是：二次型研究的主要问题是：寻找寻找可逆变换可逆变换 ，使，使 这种只含平方项的二次型称为这种只含平方项的二次型称为二次型的标二次型的标准形准形(法式法式). 特别地，如果标准形中的系数特别地，如果标准形中的系数 只在只在三个数中取值，那么这个标准形称为三个数中取值，那么这个标准形称为二次型二次型的规范形的规范形. 标准形的矩阵是对角阵标准形的矩阵是对角阵. 8 三、化二次型为标准型1. 经可逆变换后，新旧二次型的矩阵的关系：经可逆变换后，新旧二次型的矩阵的关系：因为有因为有所以所以 与与 的关系为：的关系为：9 2. 矩阵的合同关系矩阵的合同关系定义定义 设设 和和 是是 阶矩阵，阶矩阵， 若有可逆矩阵若有可逆矩阵 ，，使使则称矩阵则称矩阵 与与 合同合同. 说明说明Ø 合同关系是一个等价关系合同关系是一个等价关系. Ø 设设 与与 合同，若合同，若 是对称阵，则是对称阵，则 也对称阵也对称阵. Ø 对称阵一定对称阵一定合同相似合同相似于一个对角阵于一个对角阵.Ø 若若 与与 合同，则合同，则 . Ø 经可逆变换经可逆变换 后，二次型的矩阵由后，二次型的矩阵由 变变 为与为与 合同的矩阵合同的矩阵 , 且二次型的秩不变且二次型的秩不变. 10 把二次型化成标准形相当于把对称阵把二次型化成标准形相当于把对称阵 用合用合同变换化成对角阵同变换化成对角阵(称为把称为把对称阵合同对角化对称阵合同对角化)，，3. 化二次型为标准形化二次型为标准形 对二次型对二次型 作可逆变换作可逆变换 ，，相当于对对称阵相当于对对称阵 作合同变换；作合同变换；即寻找可逆阵即寻找可逆阵 , 使使 . 定理定理8 任给二次型任给二次型 , 总总其中其中 是是 的矩阵的矩阵 的特征值的特征值.即任何二次型都可用正交变换化为标准形即任何二次型都可用正交变换化为标准形.（主轴定理，（主轴定理，P262 Th6.1）） 存在正交变换存在正交变换 ，使，使 化为标准形化为标准形11 推论推论 任给二次型任给二次型 ，总，总有可逆变换有可逆变换 ，使，使 为规范形为规范形. 即任何二次型都可用可逆变换化为规范形即任何二次型都可用可逆变换化为规范形. 12 推论推论 任给二次型任给二次型 ，总，总有可逆变换有可逆变换 ，使，使 为规范形为规范形. 即任何二次型都可用可逆变换化为标准形即任何二次型都可用可逆变换化为标准形. 4. 用正交变换化二次型为标准形的步骤：用正交变换化二次型为标准形的步骤：⑴⑴ 写出二次型的矩阵写出二次型的矩阵 ；；⑵⑵ 求出求出 的特征值；的特征值；⑶⑶ 求出求出 的两两正交的单位特征向量；的两两正交的单位特征向量；⑷⑷ 用用 表示在中表示在中⑶⑶求得的特征向量构成的矩求得的特征向量构成的矩阵，写出所求的正交变换阵，写出所求的正交变换 和二次型和二次型的标准型的标准型.15 4. 用正交变换化二次型为标准形的步骤：用正交变换化二次型为标准形的步骤：⑴⑴ 写出二次型的矩阵写出二次型的矩阵 ；；⑵⑵ 求出求出 的特征值；的特征值；⑶⑶ 求出求出 的两两正交的单位特征向量；的两两正交的单位特征向量；⑷⑷ 用用 表示在中表示在中⑶⑶求得的特征向量构成的矩求得的特征向量构成的矩阵，写出所求的正交变换阵，写出所求的正交变换 和二次型和二次型的标准型的标准型.将对称阵正交相似对角化的步骤：将对称阵正交相似对角化的步骤：(1)求特征值；求特征值；(2)(2)求两两正交的单位特征向量；求两两正交的单位特征向量；(3)(3)写出正交矩阵和对角阵写出正交矩阵和对角阵. .16 例例1 已知二次型已知二次型 用正交变换把二次型用正交变换把二次型 化为标准形，并写出相化为标准形，并写出相应的正交矩阵应的正交矩阵.解解 析析：此题是一道典型例题：此题是一道典型例题. 目的是熟悉用正目的是熟悉用正交变换化二次型为标准形的交变换化二次型为标准形的“标准程序标准程序”.⑴⑴ 写出二次型对应的矩阵写出二次型对应的矩阵 二次型二次型 对应的矩阵为对应的矩阵为 17 ⑵⑵ 求求 的特征值的特征值 由由 ，求得，求得 的特征值为的特征值为 18 ⑶⑶ 求求 的两两正交的单位特征向量的两两正交的单位特征向量对应对应 ，解方程，解方程 ，由，由得基础解系为得基础解系为将其单位化，得将其单位化，得19 对应对应 ，解方程，解方程 ，由，由得基础解系为得基础解系为将其单位化，得将其单位化，得20 对应对应 ，解方程，解方程 ，由，由得基础解系为得基础解系为将其单位化，得将其单位化，得21 ⑷⑷ 写出正交矩阵和二次型的标准形写出正交矩阵和二次型的标准形 令矩阵令矩阵则则 为正交阵，于是，经正交变换为正交阵，于是，经正交变换原二次型化为标准形原二次型化为标准形22 例例1+：求一个正交变换：求一个正交变换 x = P y ，把二次型，把二次型f = －－2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3化为标准形（规范形）．化为标准形（规范形）．23 例例2 已知二次型已知二次型的秩为的秩为2. ⑴⑴ 求参数求参数 以及此二次型对应矩阵的特征值；以及此二次型对应矩阵的特征值；⑵⑵ 指出指出 表示何种曲面表示何种曲面. 解解 ⑴⑴ 二次型二次型 的矩阵的矩阵因为因为 的秩为的秩为2，， 所以所以 的秩也为的秩也为2，因而，因而26 当当 时，时， 的特征多项式为的特征多项式为 27 于是，于是， 的特征值为的特征值为 ⑵⑵ 由定理由定理8知，必存在正交变换知，必存在正交变换其中其中 为正交矩阵为正交矩阵(不必具体求出不必具体求出)，，使二次型使二次型于是，曲面于是，曲面这表示准线是这表示准线是 平面上椭圆、母线平行于平面上椭圆、母线平行于 轴的轴的椭圆柱面椭圆柱面.在新变量在新变量 下称为标准形下称为标准形28 29 三、惯性定理定理定理9 (惯性定理惯性定理) 设有二次型设有二次型 ，它，它 的秩为的秩为 ，有两个可逆变换，有两个可逆变换及及使使及及则则正数的个数相等正数的个数相等. （证明：（证明：P275 Th6.3））中正数的个数与中正数的个数与中中41 说明说明Ø二次型的标准形正系数的个数称为二次型的二次型的标准形正系数的个数称为二次型的 负系数的个数称为负系数的个数称为负惯性指数负惯性指数. 正惯性指数；正惯性指数；Ø若二次型若二次型 的正惯性指数为的正惯性指数为 ，秩为，秩为 ，则，则 的规范形变可确定为的规范形变可确定为Ø只有用正交变换把二次型化为标准形，标准只有用正交变换把二次型化为标准形，标准 形的系数才是二次型矩阵的特征值形的系数才是二次型矩阵的特征值.42 例例5 下列矩阵中，与矩阵下列矩阵中，与矩阵 合同的矩阵是哪一个？为什么？合同的矩阵是哪一个？为什么？43 解解 析析：此题的目的是熟悉惯性定理，用惯性：此题的目的是熟悉惯性定理，用惯性定理解题定理解题.容易求得容易求得 的特征值的特征值 ，，于是可知，于是可知， 所对应的二次型的正惯性指数所对应的二次型的正惯性指数为为 ；负惯性指数为；负惯性指数为 .合同的二次型应有相同的正、负惯性指数，合同的二次型应有相同的正、负惯性指数，故选故选(B). 应选应选(B)，，理由是理由是:44 例例5 下列矩阵中，与矩阵下列矩阵中，与矩阵 合同的矩阵是哪一个？为什么？合同的矩阵是哪一个？为什么？45 一、正定二次型的概念定义定义 设有二次型设有二次型 ，，⑴⑴ 如果对任何如果对任何 ，都有，都有⑵⑵ 如果对任何如果对任何 ，都有，都有 ，则称，则称 为为负定二次型，负定二次型，并称对称阵并称对称阵 是是负定的；负定的；阵阵 是是正定的正定的；；(显然显然0 )，，则称则称 为为正定二次型，正定二次型，并称对称并称对称46 说明说明Ø按定义，当变量取不全为零的值时，二次型按定义，当变量取不全为零的值时，二次型 若是正定若是正定 ( ) 二次型，则它的对应值总是二次型，则它的对应值总是 正数正数 ( ) .负定负定负数负数Ø若若 是正定二次型，则是正定二次型，则 就是负定二次型就是负定二次型.47 二、正定二次型的性质与判别法定理定理10 二次型二次型 为正定的充要条件为正定的充要条件是：它的标准形的是：它的标准形的 个系数全为正数，即它的个系数全为正数，即它的正惯性指数等于正惯性指数等于 . 推论推论1 正定二次型正定二次型 (正定矩阵正定矩阵) 的秩为的秩为 . 推论推论2 对称阵对称阵 为正定矩阵的充要条件是：为正定矩阵的充要条件是： 的特征值全为正的特征值全为正.证明证明48 定理10的证明证证 已知已知 ，有可逆变换，有可逆变换 ，使，使先证充分性：先证充分性： 设设 ，任给，任给 ，，则则 ，故，故再证必要性再证必要性: 用反证法用反证法. 假设有假设有 ，，取取 (单位坐标向量单位坐标向量) ，，这与这与 为正定相矛盾为正定相矛盾. 这就证明了这就证明了 . 则有则有 ，且，且49 定理定理11 (霍尔维茨定理霍尔维茨定理) ⑴⑴ 对称阵对称阵 为正定的充要条件是：为正定的充要条件是： 的各阶的各阶主子式都为正主子式都为正. 即即⑵⑵ 对称阵对称阵 为负定的充要条件是：为负定的充要条件是： 的奇数的奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正阶主子式为负，偶数阶主子式为正. 即即50 正定二次型的判定：正定二次型的判定： 正定正定的正惯性指数的正惯性指数的的 个特征值全为正个特征值全为正的规范形为的规范形为合同于单位阵合同于单位阵的各阶主子式全为正的各阶主子式全为正51 例例6 判定二次型判定二次型 的正定性的正定性. 解解 析析：此题的目的是熟悉定理：此题的目的是熟悉定理11，用定理，用定理11判定二次型的正定性判定二次型的正定性. 的矩阵为的矩阵为1 阶主子式：阶主子式：2 阶主子式：阶主子式：52 3 阶主子式：阶主子式：根据定理根据定理11知，知，为负定为负定. 53 三、本章小结v 个变量的二次齐次函数称为二次型个变量的二次齐次函数称为二次型. v 只含平方项的二次型称为二次型的标准形，只含平方项的二次型称为二次型的标准形， 将二次型化为标准形相当于把二次型的矩阵将二次型化为标准形相当于把二次型的矩阵 合同对角化合同对角化.v 对于任何一个二次型一定存在正交变换将它对于任何一个二次型一定存在正交变换将它 化为标准形化为标准形. v 配方法是化二次型成标准形配方法是化二次型成标准形(或规范形或规范形)的一的一 种较方便的方法；惯性定理种较方便的方法；惯性定理. v 如果如果 ，总有，总有 (或或 )，，则称则称 二次型二次型 是正定是正定(或负定或负定)的，并称的，并称 的矩阵的矩阵 是正定是正定(或负定或负定)的的. 54 v矩阵的三大关系：矩阵的三大关系： ⑴⑴ 它们的定义它们的定义存在存在 阶可逆阵阶可逆阵 和和 阶可逆阵阶可逆阵 ，使，使 与与 等价等价§ 与与 相似相似§ 与与 正交相似正交相似§ 与与 合同合同§ 存在可逆阵存在可逆阵 ，使，使存在正交阵存在正交阵 ，使，使存在可逆阵存在可逆阵 ，使，使等价、相似等价、相似(正交相似正交相似) 、合同、合同 55 ⑵⑵ 关系不变量关系不变量 § 等价关系的不变量：等价关系的不变量：§ 相似关系的不变量：相似关系的不变量：秩，即秩，即①① 秩，即秩，即②② 特征多项式，即特征多项式，即③③ 特征值特征值. § 合同关系的不变量：合同关系的不变量：①① 秩，即秩，即②② 对称性，即若对称性，即若 是对称阵，则是对称阵，则 也是也是 对称阵；对称阵；③③ 对称阵对称阵 对应的二次型的正惯性指对应的二次型的正惯性指 数和负惯性指数；数和负惯性指数；④④ 对称阵对称阵 对应的二次型的规范形对应的二次型的规范形.56 。