第二章：连续时间系统的时域分析2.1 连续时间系统的数学模型2.2 连续时间系统的响应2.3 单位冲激响应2.4 卷积一、连续时间系统的数学模型2.1 连续时间系统的数学模型一般，对于一个线性系统，其输入与输出之间关系 ，总可以用下列形式的微分方程来描述：f(t):输入；y(t)：输出 n阶常系数线性微分方程一、n阶常系数线性微分方程的求解法全响应= 齐次解 + 特解（自由响应） （受迫响应）（经典法） 全响应= 零输入响应 + 零状态响应时域分析法变换域分析法微分方程求解2.2 连续时间系统的响应二、经典法解线性微分方程由数学微分方程理论可知，微分方程的完全解为齐次解和特解之 和，即 不同特征根所对应的齐次解齐次解称为系统的自由响应（固有响应），其形式与输入信号函数形式无关，仅取决于系统方程的自身固有特性（即系统特征根）系统特征方程的特征根称为系统的“固有频率”（“自由频率”、“自然频率”）特解是满足微分方程并和激励信号形式有关的解下表列出了几种激励及其所对应特解的形式备注B（常数）AA（待定常数）不等于特征根等于特征单根重特征根所有特征根均不等于零重等于零的特征根激励特解或等于A有所有特征根均不等于特解称为系统的强迫响应，特解形式由激励信号形式以及与齐次方程特征根的关系确定。
上面例1与例2求出的齐次解和特解相加，即得系统的完全解（全响应）可以看到，给定微分方程和激励信号，方程要有惟一解还必须给出一组求解 区间内的边界条件，用于确定完全解中的待定常数可以看到，给定微分方程和激励信号，方程要有惟一解还必须给出一组求解 区间内的边界条件，用于确定齐次解中的待定常数对于n阶微分方程，若激励信号f（t）在t＝0时刻加入，则把求解区间定为 0＋≤t﹤ ﹤ ∞，一组边界条件可以给定为在此区间内任一时刻t0，要求解满足 y(t0)， y’(t0)， y（2）(t0)，﹒﹒ ﹒﹒ ﹒﹒ y（n）(t0)的各值通常取t0 ＝ 0＋ ，这样定义的一组条件称为初始条件如上例中，给定y(0＋ )＝2， y’(0＋ )＝1，就可确定方程的惟一解 将y(0＋ )＝2， y’(0＋ )＝1带入方程 得 将y(0＋ )＝2， y’(0＋ )＝1带入方程 得 注意：全响应中齐次解的待定常数只有在建立了全响 应的关系式后，才能由初始条件求得如果系统在激励信号加入之前瞬间有一组状态，定为{y(0－)， y’(0－)，y（2）(0－)， ﹒﹒ ﹒﹒ ﹒﹒ y（n）(0－) }，称为系统的初试状态（简称0－状态）。
在激励信号f（t）加入后，由于受激励的影响，这组状态从0－到0＋时刻可能发生变 化，而确定完全解中的常数是由0＋时刻的一组状态确定 { y(0＋)， y’(0＋)， y（2） (0＋)，﹒﹒ ﹒﹒ ﹒﹒ y（n）(0＋) }，这一组状态称为初始条件（简称0＋状态）可见用时域经典法求解系统的响应时，为确定自由响应部分的常数，还必须根据系 统的0－状态和激励信号求出0＋状态对于一个具体的电网络，系统的0－状态是系统中储能元件的储能情况，即uc（ 0－ ）和iL（ 0－ ），当电路中没有冲激电流（或阶跃电压）作用于电容以及没有冲激电压（或阶跃电流）作用于电感，则换路期间电容两端电压和流过电感中的电流不会发生突变，即uc（ 0＋） ＝uc（ 0－ ），iL（ 0＋ ）＝ iL（ 0－ ），否则将发生突变当系统用微分方程表示时，系统从0－状态到0＋状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含δ（t）及其各阶导数如果包含δ（t）及其各阶导数，说明0－状态到0＋状态发生跳变，即y（ 0＋） ≠y（ 0－ ）， y’（ 0＋） ≠y’（ 0－ ）等等如果已知0－状态，如何确定0＋状态并没有统一的模式，应根据不同的已知条 件采用不同的方法来解决。
经典法解微分方程的流程如下微分方程齐次解Ceαt（系数待定）特解完全解＝齐次解＋特解（C待定）给定系统0－状态求出对应0＋状态已确定系数的完全解（全响应）三、零输入响应与零状态响应时域经典法求解系统的全响应是把响应分成自由响应和强迫响应为确定完全响 应中的常数，要把给定的0－状态转换成0＋状态以便求解系统响应的另一种广泛应用的重要分解是零状态响应与零输入响应T[ ]f(t)y(t)=T[f(t)] + T[y(0－)]{y(0－)}含初始状态的系统框图线性时不变系统，把输出响应分成由激励信号f(t)引起的响应T[f(t)]（零状态响 应），和由系统的初始状态{y(0－)}引起的响应T[y(0－)] （零输入响应） 两者的叠加零输入响应：没有外加激励信号的作用，只有初始状态（起始时刻 系统储能）所产生的响应，上述T[y(0－)] 项，记为yzi(t)零输入响应的形式和齐次解的形式一样，它是齐次解中的一部分思考：系统的零输入响应与系统的自由响应（齐次解）的关系如何？将y(0－ )＝－1， y’(0－)＝1带入上面方程得 零状态响应：初始状态等于零，仅 由系统的外加激励信号所产生的 响应，上述T[f(t)]项，记为yzs(t)。
零状态响应＝（齐次解－零输入响应）＋特解可见它即与系统特性有关，又与激励有关，从形式上，零状态响应和完全解的形式相同系统响应的分解：齐次解 ＋ 特解零输入响应 ＋ 零状态响应2.3 单位冲激响应一.冲激响应1.定义：当激励为单位冲激函数δ（t）时，系统的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，用h(t)表示零状态例1.描述某系统的微分方程为:试求该系统的冲激响应h(t)解：由冲激响应的定义，当f(t)= 时,故冲激响应的形式与齐次解的形式相同接下来是如何确定初始条件 以求得C1、C2n已知系统的数学模型，求冲激响应：2. h(t)的求解方法通过以上过程得到初始条件求冲激响应的过程：（1）确定冲激响应的形式（与齐次解的形式相同）（2）确定初始条件（3）利用初始条件确定冲激响应试求该系统的冲激响应h(t)n针对具体电路，求冲激响应h(t)的求解过程如下例：+ uc(t)-n另外，因为冲激信号与阶跃信号的有如下关系性时不变系统分析中，单位冲激响应有着重要的作用：一方面利用h（t）可以方便的求解系统在任意激励信号作用下的零状态响应；另一方面由h（t）可以很好的描述系统本身的特性，如因果性和稳定性等。
2.4 卷积卷积的定义：三、卷积的图解法0.5四、卷积的性质(1)交换律：(2)分配律：(3)结合律：(4)卷积的微分性质(5)卷积的积分性质(6)由4.5两性质可得(7)函数与冲激函数的卷积(8)函数与阶跃函数的卷积(a) (b)。