精品资源§ 3.7 弧长及扇形的面积一一应用一、教学目标：1、进一步理解弧长及扇形面积的计算公式并能正确应用；2、利用数学知识解决实际问题，逐步培养学生的应用意识；3、经历对物体翻滚过程的体验，逐步发展学生的空间观念；二、教学重点：弧长及扇形面积计算公式的应用，对物体翻转过程的想象三、教学难点：对物体翻滚过程的想象，并将其抽象成数学问题加以解决四、教学过程：（一） 复习与回顾：上一节课我们讨论了弧长及扇形面积的计算公式今天，请同学们先完成以下问题:1801、在半径为R的圆中，n用勺圆心角所对的弧长l的计算公式为：1=口里3602、如果扇形的半径为R,圆心角为n，那么扇形面积的计算公式为：S = %R3、扇形的弧长l与扇形的面积S之间的关系为：S=-lR2接下来，我们通过几个具体问题来看看弧长及扇形面积的应用二）典型题探讨：1、课本习题变式探讨：如图1,折线AOBC是一段围墙，一根5米长的绳子的一端拴在 点处的柱子上，另 一端拴着一只小羊请在图1中画出小羊的最大活动区域按钮2；按钮3.按包4 |.搜出5］■搜出6］首先，让学生快速回忆以前解决过的原问题， 并通过依次点击按钮1——按钮5来展示小羊活动的最大区域及其形成过程，如图 2中由曲线Dt Ft Gt Bt Ot D所围成的 区域。
然后，点击尸口按钮,显示以下 变式问题：如果O七6米，O氏3米，BC= 5米，/ AO由90° , O OBC 120° ,则小羊活动的最大区域的面积为 o［解析］:根据最大区域的形成过程知该区域的面积分成了扇形 DOF和扇形FBG两部分 因此，小羊的最大活动区域的面积应为：90 二 52 60 二 22 83 /业 2、+ = n （米）360 360 12此时，点击按钮6显示答案［评注］:该问题中小羊活动的路径为两段圆弧，而最大活动区域实际上分别是线段 OD、BF绕着点O、B旋转时扫过的图形面积之和2、典型问题赏析:问题1、将以边长为1的等边三角形木板沿水平线翻滚（如图3所示），那么点B从开 始至结束所经过的路径的长度为欢下载［解析］:让学生动手操作，去体会点 B的运动路径并将其在图形中画出来，然后加以计算在大多数学生获得结果时依次点击按钮1、按钮2、按钮1,帮助学生进步想象物体的运动以及点B的路径至于计算，有图3易知两段弧相等，各弧的圆心角为120° ,半径为1,故可求得答案为Bo此时，点击按钮3显示答案问题2、边长为2的正方形木块在水平地面上翻滚两周（如图4所示）后,顶点A所经过的路径总长为,A点与旋转中心连线所扫过的面积为A'按钮1段钮2按钮3按钮4按钮5按钮6D 图 4 D'A点的运动［解析］:让学生组成两人学习互助组，共同协作动手操作，去寻找并体会 路径并在图形中画出来;适时指点遇到障碍的学习小组，给予必要的提示。
点击按钮1、按钮2、按钮1,让学生验证自己的想象以及操作结果，使学生从中获得 成就感A点路径的计算可以分别计算弧 AC、弧CA'的长，然后相加即可依次点击按钮 3显 示辅助线和A点路径长的答案;点击按钮5显示A点与旋转中心连线所扫过的图形为两个扇形， 点击按钮6显示A点 与旋转中心连线所扫过的图形的面积［评注］:在该问题中，A点在两次翻滚时所绕的旋转中心发生了变化， 因此旋转半径也 发生了变化这一点，应给学生强调，并与课本变式题进行对比，让学生体会问题之关键 所在问题 3、在△ ABC中，/ C= 90° , /A= 60° , AC= v3 ,将△ AB%点 B 旋转至△ BDE 的位置，且使点A B、D在同一条直线上，请在图中画出AC边扫过的面积，并求这个面积IWTI［解析］:本题也是考虑一条线段扫过的图形面积，那么它与课本变式题和问题 2中的 问题是否一样呢？请同学们动手试一试，想一想，也可以将你的想法和同伴进行交流适时地指点和给出必要的提示： 线段与两个端点之间的关系，点的运动路径能找出来 吗？线段的中点的路径又如何呢？试着再找找线段上其它点的运动路径，你能发现什么呢？点击按钮1显示图5中的阴影部分，此即为线段 AC扫过的图形。
方法一、利用“阴影部分面积=总面积—空白部分面积”，即阴影部分面积=（扇形ABE 的面积+△ BDE的面积）一（4ABC的面积+扇形 CBD的面积）=扇形ABE的面积一扇形 CBD的面积；方法二、图5中阴影部分的面积可以利用图6或图7的方法将其转化为扇环的问题进行求解；点击按钮2可得图6,点击按钮3可得图7;方法三、扇环是圆环的一部分，那么能否将方法二中的扇环与圆环联系起来呢？请同学们试着将△ ABC继续绕点B顺时针旋转，再依次转过两个120看看能得到什么图形？ 从中你能得到什么启示？在学生有了初步认识后，点击按钮 4可得图8利用图8,我们不又t得到图5中阴影 部分的面积为兀［评注］:在该问题中，线段AC扫过的图形尽管不是规则图形，但我们可以通过对图形的组拼将其转化为规则图形这正是求解不规则图形面积的常用方法五、课时小结：1、弧长与扇形面积的计算关键是找准扇形的半径和圆心角的大小；2、翻滚问题关键是搞清物体在翻滚时是围绕那一个点翻滚的，翻滚的角度是多大;3、求解不规则图形的面积要注意观察图形的特征，抓住特征进行简单的图形组拼六、课后巩固练习:的位置（如图9所示），A 5n B 、 5冗 C 3 6辿n D 、逋八3 62、如图10,矩形ABCD勺长和宽分别为2和1, AB在直线m上。
依次以B、C1、D1为1、在4ABC中，/C= 90° , /A= 60° , AC=虱,将4AB微点 B旋转至△ A' B' C 且使点A B C'在同一条直线上，则点A经过的路径长为中心将矩形ABCDi顺时车+旋转90° ,这样点A按曲线At A1TA2T A3移动，其中弧AA 与边CD交于点P⑴、求A点运动的路径At At A2T A3的长度；（2）、求图中阴影部分的面积；（3）、求A点的运动路径At At A2T A3与直线m所围图形的面积3、在4ABC中，如果/ A= 45° , / B= 75° , BO2,将△ AB微点 B旋转至△ BDE的位置（如图11所示），且使点A B D在同一条直线上，请在图中画出 AC边扫过的面积，并求这个面积提示：注意先多考察几个线段上不同位置的点的运动路径，然后再考虑线段所扫过的图形，最后对组合图形进行求解。