童嘉森老师个人简介：童嘉森老师是北京市第八十中学数学特级教师，现 任八十中学教科研室主任、数学教师童嘉森老师1974年 1月参加教育 工作，至今从教已有35 年35年来他先后担任过班主任、年级主任、学 校团委书记、主抓教学的副校长等工作童嘉森老师对数学学科具有系统 的理论基础知识和丰富的教学经验，教学中注重学生基础知识、基本概念、 基本方法的形成和落实，善于启发学生的思维，调动学生的学习积极性， 从教 35 年来教学成绩显著所教学生谢治平获1996 年全国数学联赛北京 赛区重点中学高中组一等奖；施海夏获1998年全国高考北京市理科状元 35 年来他在完成教育、教学工作的同时先后参加了《高中数学题库、》《高 中数学知识应用问题》、《学习目标检测》（高一、高二、高三数学）、《高 考综合科目备考与题解》、《走向优等生》、《龙门高考复习（数学）》、《2004 全国普通高考复习指导 3+x 数学》、《数学阅读与欣赏》、等书的编写，并 担任《高中数学复习精粹与练习》、《最新中学生数理化公式学习手册》、《乐 学易考》、《巨人金榜高考》等书的主编多年来数十篇论文发表在《中学 生数学》、《高三数、理、化》、《中学数学杂志》、《中小学数学教学》、《中 学数学研究》、《中学数学杂志》、《朝阳教育研究》、《中国教育报》等报刊、 杂志上。
著述近 90 万字其中“圆锥曲线的位置关系”一文被《中华优 秀科技论文》（教育卷）选录论文“比较法在数学教学中的运用”编入 《中国改革开放研究成果录》一书中价值百万美圆的数学题”一文被 《香港现代教学论坛杂志》录用92年参加全国教育科学“八五”计划国 家教委和北京市教委重点课题《中学各科德育研究》，97 年参加全国“九 五”教育科学国家重点课题《高师、中小学数学建模理论、实践与跨世纪 数学教育改革》的研究并担任子课题《中学数学建模理论与中学教学实 践》的组长2001年主持研究北京市和朝阳区“十五”课题《中学生数学 阅读能力培养的研究》被评为朝阳区“十五”优秀科研成果，童嘉森老师 在教学中还十分注重培养青年教师的成长，多年来和他签约的徒弟有二十 多名，其中有些青年教师已经成长为市、区骨干教师，在指导和培养青年 教师课堂教学方面有显著的成绩对数学高考复习的建议北京第八十中学 童嘉森为了帮助参加高考的同学们在最后的高考冲刺复习阶段提高效率，我 就数学高考冲刺复习谈谈个人的一点意见，供同学们参考一、要注意数学知识的整体性、综合性高考本身就其性质来讲是一次选拔性考试，由于受到考试时间和考试 范围的限制，不可能将我们所学过的数学知识逐一编题进行考察，特别是 我们要通过考试考察同学们的数学水平和数学能力，题目出得太难了和太 容易了都不可能，那么只能在知识的整体性、综合性上动脑筋了，请看下 面的例子：例1•对于实数集R上可导函数f( x)，满足x八)< 0，则必有(A.f (-i)+ f (i)> f (0) B. f(-i)+ f(i)<2f(0)C Df(-2)+ f(i)< f(0) f(-i)+ f(i)> 2f(0)解：由x八)< 0知f( x)在(-.,0 ) 上递增，在(o, +.)上递减二 f(-1)< f (0)，f (0) > f ⑴即：f (_i)+ f (i)< 2f (o)这里题目虽然没有复杂的计算却巧妙的考察了有关不等式、导数、函 数的单调性等概念。
对于我们每个同学来说，清晰我们学过的基本概念是 我们搞好高考复习的基本要求骣 p亠*2 sin 卡 x + ±+ 2 x2 + x的最大值为M,最小值为N,((例2已知 f (x) =2 x 2 + cos xA.M+N=4B. .M-N=4C. M+N=24匸D. .M—N=2解：T f(x)= 1 +令 g(x)max• M+N=2x + sin x •>2 x 2 + cos x 则 g (x )1mix选C•••令 g(x)-A，于 f (x)x +血x，则g(x)是奇函数2 x 2 + cos xmax=A + 1 , f (x) = - A + 1m i x本题主要考察了有关的三角公式、函数的奇偶性以及函数的最值性 等概念使我们再一次看到整体掌握数学概念、综合运用所学数学知识解 题的重要性例 3 两游泳者在 50 米游泳池的对边上同时开始游泳，1 人以每秒 2.5 米、另一人以每秒12米的速度进行，他们游了 4分钟，若不计转向时的时3间，则他们迎面闪过的次数为（)A.7 次B.8 次 C.9 次D.10 次解：我们不妨观察时间的一半2 分钟的情形：•••甲游50米用50 x2 = 20秒；5乙游50米用50 x 3 = 30秒5.••在120秒内甲可以游六个单程，（50米）乙可以游四个单程（50米）如图所示：显然甲 2分钟后经过6个单程、乙2分钟后经过4个单程都回到各自的出发点，他们相遇的情况如下图所示：如图中点A、B、C、D、表示2分钟，若不计转向时的时间，则他们迎 面闪过的次数为4次，所以本题选B本题的解法不止一种，这里我们采用的是物理学中常常使用的作出两 人运动的时间——位移图来进行分析，使抽象的问题直观化，从而达到把 复杂的问题简单化的目的。
我们再一次看到综合灵活地运用我们学过知识 来分析、解决问题的优越性，和整体把握知识的必要性下面我们再来看一个几何的例子：例4如图正四面体ABCD中M、N分别是BC和AD的中点,AM与CN所成角的余弦值为解法1设正四面体边长为a , O为MD的中点,连接 ON、OC，则 ON II AM 并且|ON| = 1 |AM | AM2•ZONC或其补角为异面直线AM与CN所成角1ON = 一 AM2CN• - |oc| 八''MC2 + MO2 = 1 a2 + — a24 16在厶CON中由余弦定理得cos厶cno =<7=a1 34— a2 + a2 一 ——a4 16 16即：异面直线AM与CN所成角的余弦值为2a • — a解法 2：设正四面体边长为 2女口图• AM = AC + CM， CN = CA + AN--AM - CN = AC - CA + AC - AN + CA - CM + CM - AN=-AC 2 + ac| - [AN cos 60 °+ CA - CM cos 60 ° + 0• cos < AM , CN >=AM - CN则异面直线2• ••异面直线AM与CN所成角的余弦值为2AM CN,3这里解法 1我们运用的是传统的方法，显然辅助线的添加方法是有技巧的，计算量也是偏大的，而解法2灵活运用了我们学过的向量的知识， 解起来显得比较轻松。
总之，在高考复习中注意数学知识的整体性、综合性，就是要将不同 单元、不同学科、不同年级所学的数学知识进行去伪存真、去粗取精、由 表及里、由浅入深的提炼加工建立知识之间的横纵联系，使知识系统化、条理化、网络化，以便于记忆、储存、提取和应用就是要求我们在复习 中要深刻领会所学过的数学概念，全面掌握所学过的数学知识，灵活运用 所学过的数学方法，寻求多种途径和最佳的解题方法二、解题中要注意思维的严谨性、深刻性从 2005 年开始在数学高考中命题中就重点强调：对数学基础知识的 考查，既要全面又要突出重点，注重学科的内在联系和知识的综合对于 支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试题的主体 注重知识的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面我个人 分析在 09年的高考题中大概很少会出现同学们看到题目后，没有任何思 路，或者是有思路但计算十分繁杂的问题但是，我们要特别防止出现考 生一看就会，一做就错的问题一份高水平的试题应该是有一定区分度的， 让基础薄弱的学生高高兴兴地丢分，痛痛快快地犯错，是我们在高考复习 中值得重视的一个问题请看以下几个例子例1求双曲线竺_21 = 1中，被点P (2, 1 )平分的弦所在的直线方94［错误解法〗 用代点作差法，设所求弦的两个端点分别为:A(x，y )、11B(x ，y )则②-①得亠-厶=1X + ②)(x - x ) (y + y )(y - y )9 4 ——1 2 1 —-——1 2 1 — = 0y - y 4 (x + x ) 81 29当x HX时，12kAB9 (y + y ) 91 '即：8 x - 9 y - 7 = 0x - x所以AB方程为：y - 1 = % x -22)9错因分析〗 如果我们将直线方 程代 入双曲 线方 程中 得28 x 2 - 112 x + 373 = 0 '此时 A = (- 112 )2— 4 x 28 x 373 < 0 所以直线与双曲线无交点，故中点弦不存在。
为了避免发生上述错误，我们应该对中点弦是否存在先作出判断，一种方法是先作草图直观观察，另一种方法是用“△”判定我们强调同学们在高考复习中要做到思维的严谨性和深刻性就是要 强调我们同学要把握对所学数学概念的准确性和对所遇数学问题思考的 正确性，这是我们提高复习效率的关键我们再来看下列问题例2已知椭圆x2 + y2 = 1上一点p与椭圆的两个焦点25 16垂直，求APF F的面积12解答一：设椭圆上有一点P，则由椭圆的定义：|PF |+ |PF | =1 2①式两边同时平方，可得:|pf |2 + 2|PF |PF |+ |PF I1 1因为APFF是直角三角形，则|PF |2 +|PF |1 2 1 2所以:|pF I • |pF I = 321 2APF F 的面积为： S1 2 A PF1F解 答 二 ： 直 接 代 入 椭 圆9S = b2 tan = 16 tan 45 ° = 16APF1F2 2解答二：设椭圆上有一点P (%, y )，由已知：f (— 3,0 ), F(3,0 )，12••PF1 丄 PF2 则 K X K =— 11 2 PF1 PF 2即亠•亠=—1 则：x 2 + y 2 — 9 = 0 ①x + 3 x — 3又因为点p在椭圆上，贝口 ：丄+圧=125 16由①、②可得：y 2 = 256 x 2 =— 175 (这是不可能的)99因此没有这样的点符合已知条件。
显然，解法一和解法二总可以求出面积，而解法三则不能求出面积 请同学们想一想在上述这三种方法中是不是有一种方法是错误的，错在 哪里？例3已知向量a =F , F 的连线互相122a=10 ①1 22 = 1002 22 = （2c）2 = 361=一 PF2 1的焦点三角形面积公式得' |-|PF |= 161 2，令 f (x )= a • b，是否存在实数 x e [0,兀]，使 f (x )+ f' (x )= 0 (其中 f' (x )是 f (x )的 导函数)？若存在，则求出x的值；若不存在，则证明之〖错误解法〗f(x)= a=2^2 cos —x2 cos —,tan2x e^2 sinV 2 \ 24丿丿 (，是否存在实数x e[0,/，使f (x)+ f'(x)（x 兀）_+ 一V 2, tan一 L x -b = 2^2 cos sin （五2。